Некоторые достаточные условия экстремума

Некоторые достаточные условия экстремума [c.25]

Наибольшее распространение в решении таких задач получили методы нелинейного математического программирования (методы поиска). Последнее название точно отражает существо методов, состоящее в организации движения изображающей точки, соответствующей варианту проекта, в пространстве параметров 1,. . ., х , в результате которого достигается приближение к экстремуму функции цели. Применение этих методов связано с многократным вычислением значений функций цели и ограничений, что для ЭМУ представляется достаточно объемной вычислительной задачей. Поэтому методы поиска получили повсеместной распространение прежде всего благодаря возможности применения вычислительной техники. Существуют общие особенности поисковых методов, дающие основание рассматривать их в качестве особой группы. Прежде всего методы поиска — это численные методы, позволяющие определять только некоторое приближение к экстремуму функции цели, т. е. решающие задачу с определенной степенью точности, достижение которой, как правило, представляет собой условие окончания поиска. [c.150]

Неравенства (3.33), (3.34), (3.36)—(3.38), согласно которым первая вариация характеристических функций 5, 11, 1, Р,Ф в состоянии термодинамического равновесия равняется нулю, есть необходимое, но еще не достаточное условие, так как оно не гарантирует устойчивости равновесия. Из дальнейшего будет ясно, что равновесие будет устойчиво, если условие экстремума соответствующей характеристической функции удовлетворяется во втором, а в некоторых случаях и в более высоком порядке. [c.112]

В самой математике уже издавна разрабатывались методы определения максимума или минимума функции одной или нескольких переменных. Как известно, необходимое условие экстремума определяется из простого условия в искомой точке экстремума все первые производные функции по каждой переменной должны равняться нулю. Однако если точка удовлетворяет этим условиям, то это еще не означает, что именно в ней достигается экстремум. Эти условия являются лишь только необходимыми условиями экстремума, но далеко не всегда достаточными. Правда, если заранее известно, что точка экстремума наверняка существует и она единственная, то необходимые условия экстремума выделяют именно эту искомую точку. Даже если мы и не уверены заранее, что точка максимума (или минимума) единственна, то необходимые условия помогают нам выделить некоторую ограниченную совокупность точек, нз которых нетрудно даже простой поочередной проверкой каждой точки из этой совокупности установить, в какой же именно точке достигается абсолютный максимум (или минимум — в зависимости от того, что, мы ищем). [c.146]

Если бы вариации бю были совершенно произвольными (удовлетворяющими нун<ным условиям на границе), то полученное решение было бы точным, так как вариационный принцип полностью эквивалентен системе уравнений равновесия и граничным условиям для напряжений. В данном случае условие экстремума выполняется лишь по отношению к некоторым Ью, поэтому полученное решение является приближенным. Однако если система функций — полная система, т. е. если любую функцию из данного класса, в частности, Ьгс х, у, ), можно приближенно с любой степенью точности представить в виде линейной комбинации этой системы функций, то, взяв достаточное число членов в (9.9), можно получить решение, вообще говоря, весьма близкое к точному. [c.393]

Подложки для ПАВ можио выбирать из целого ряда комбинаций ориентации поверхности, направления распространения волны и кристаллографической симметрии сред. Наиболее широкое распространение получили материалы с относительно высокой кристаллографической симметрией. Это связано с тем, что направление потока энергии в ннх параллельно волновому вектору. Эти направления соответствуют экстремумам кривой медленности (рис. 6.1). Некоторые экстремумы определяются значениями упругих и пьезоэлектрических констант, другие только кристаллографической симметрией среды. Необходимым и достаточным условием для существования чистой моды является удовлетворение одного из следующих условий [170, 106] [c.274]

Резюме. Задача о нахождении точки, в которой некоторая функция имеет относительный максимум или минимум, приводит к необходимости исследования бесконечно малой окрестности этой точки. Это исследование должно показать, что функция обладает стационарным значением в рассматриваемой точке. Хотя это утверждение само по себе без дополнительных условий и не может гарантировать наличия экстремума, для общих задач динамики его достаточно задачи движения требуют лишь нахождения стационарных значений, а не обязательно минимумов некоторого определенного интеграла. [c.60]

Но при этом следует иметь в виду еще одно обстоятельство. В случае если данный функционал обладает экстремальными свойствами, то предложенные приближенные прямые методы дадут приближенное уравнение или численные данные, определяющие искомую экстремаль. Однако остается невыясненным, будет ли этот экстремум максимум или минимум заданного функционала, так как найденная экстремаль еще ничего не говорит об этом. Во-вторых (что, пожалуй, еще важнее), вполне возможен случай, когда заданный функционал имеет первую вариацию, равную нулю (что и доставляет нам определенную экстремаль / (д )], а экстремума все-тахи не имеет. Вполне строгое с математической точки зрения обоснование и требует исследования второй вариации функционала, как требуется исследование второй (или высших) производной в дифференциальной задаче. Для реальных же случаев применения вариационных методов в задачах вариационного характера при исследовании динамических систем можно избежать этих относительно тяжелых моментов исследования. Обычно решение вопроса о том, имеет ли экстремум характер максимума или минимума, решается легко самим существом задачи, а второе условие достаточности может потребовать после нахождения экстремали дополнительных подсчетов обратного характера, т. е. вычисления значений функционала по найденному виду у (х) в интересующей нас области х, как значений практически реализуемых, и некоторых изменений параметров найденной функции. [c.244]

В статье приводятся некоторые результаты исследований зависимостей свойств покрытий от основных технологических параметров. Для получения математической модели процесса предлагается использовать зкспернмептадьво-статистические методы теории планирования эксперимента. Этот подход реализовав ва примере определения количественных характеристик зависимости пористости покрытий от глубины загрузки, дистанции напыления и содержания ацетилена в детонирующей смеси. По полученной модели из условия существования экстремума функции многих переменных были рассчитаны оптимальные значения технологических параметров. Наличие минимума проверялось по достаточным условиям существования экстремума. Последующие аксперикевты подтвердили правильность расчетов. Лит. — 3 вазв., ил. —2. [c.262]

В некоторых случаях вьшолнение достаточных условий существования экстремума функционала определяется знаком второй вариации функциотала 5V. При этом ЪЧ>й на нижней грани infJ и 8V<0 на верхней грани sup/. В других случаях требуются более сложные исследования, например, на основе достаточного условия К.Вей шп асса. Более подробно об условиях необходимости и достаточности существования экстремума функционала изложою в следующем подразделе. [c.267]

В результате исследований, посвященных принципу максимума и аналогичным ему критериям классического вариационного исчисления, были разработаны общие приемы построения необходимых признаков оптимальности, по-видимому, вполне достаточные для большинства типичных экстремальных задач о программном управлении. Как правило, в настоящее время решение этого вопроса не вызывает принципиальных затруднений, во всяком случае, если речь идет о минимизации (максимизации) функционалов вида (8.2) и подобных им. При встрече с новым кругом задач этого типа обычно удается учесть дополнительные обстоятельства и составить соответствующие необходимые условия экстремума по широко известным теперь общим рецептам. Однако составление дифференциальных уравнений, выражающих необходимые условия оптимальности, является лишь первым, хотя и чрезвычайно важным этапом в решении конкретных проблем. Следующий этап состоит в интегрировании этих уравнений с учетом краевых условий, которым должно удовлетворять искомое оптимальное движение. Эта краевая задача, связанная с необходимостью привести управляемый объект в заданное состояние, остается до сих пор трудной проблемой. Дело заключается в следующем. Необходимые признаки оптимальности, выражаемые дифференциальными уравнениями Эйлера — Лагранжа для координат Х1 1) и множителей Лагранжа Я-г ( ) (или для имеющих тот л е смысл координат г) г 1) вектора -ф ( ) в случае принципа максимума), определяют внутренние свойства оптимальных движений, описывая их локальное поведение в окрестности каждой точки на данной траектории. В силу этих свойств каждое оптимальное движение развертывается во времени совершенно определенным образом, отталкиваясь от начальных условий х ( о) и ( о)-Начальные данные ( о) обычно задаются по условиям задачи. Величины ( о) ("Фг ( о)) определяют по условиям принципа максимума направление в пространстве х , в котором уходит оптимальное движение х (t) из точки X to). Трудность состоит в выборе величин (Ьо), которые обеспечивают прицеливание оптимального движения как раз в заданное конечное состояние X 1х) (или на заданное многообразие М конечных состояний и т. п.). Эффективное преодоление этой трудности, как правило, тормозится невозможностью получения явной зависимости между величинами х ( 1) и А, ( о) вследствие неинтегрирз емости в замкнутой форме дифференциальных уравнений задачи. Каждая новая серия соответствующих краевых задач, особенно, если речь идет о нелинейных объектах, требует обычно для своего разрешения подбора специальных вычислительных алгоритмов. Лишь для отдельных классов задач выведены некоторые закономерности, облегчающие их конкретное решение. [c.192]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...