ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Главные семейства из "Теория бифуркаций " При бифуркации нескольких гомоклинических траекторий получаются поля, описываемые с помощью топологической схемы Бернулли. [c.112] ПОЛЯ djdt на прямом произведении /XQ, /= /е[0, 1] , с помощью склейки V. точек (О, а в) и (1, ш). Фазовый поток на подмножестве 2 евклидова пространства топологически эквивалентен надстройке над схемой Бернулли, если существует гомеоморфизм переводящий исходное поле в Х . [c.113] Замечание. Подмножество S похоже на прямое произведение канторова совершенного множества на окружность. [c.113] Пример. Пусть Ki и /Tj—два квадрата на плоскости со сторонами длины 1, параллельными координатным осям, и центрами (1, 0) и (3, 0). Рассмотрим отображение f . KxUKi R2 отображение /1 (j , -А ((j , у)-faj —суперпозиция переноса на вектор и гиперболического поворота Л R R2, X, у)- Юх,0, у) (рис. 41), ai = (—1, 1), а2 = ( —3, 3). Множество точек плоскости, на которых определены все (положительные и отрицательные) итерации отображения /, гомео-морфно отображается на пространство последовательностей нз двух символов следующим образом точке Р соответствует последовательность аь(Р), причем аь(/ )= , если и только если f P)( Ki. Нетрудно доказать, что это отображение — гомеоморфизм очевидно, он сопрягает отображение / со сдвигом а. [c.113] Теорема ([ИЗ]). В типичном однопараметрическом семействе векторных полей встречаются векторные поля с вырожденной особой точкой О, имеющей одно собственное значение О, седло по гиперболическим переменным и р гомоклинических траекторий Г,- точки О, р 1. Тогда для всех полей v , соответствующих достаточно близким к критическому значениям параметра, лежащим по одну сторону от критического значения, справедливо следующее утверждение. Для некоторой окрестности и объединения ОиГ,- ограничение потока поля на множество неблуждающих траекторий топологически эквивалентно надстройке над топологической схемой Бернулли из р символов. [c.113] Требования общности положения на семейство — те же, что в п. 3.2. Механизм возникновения инвариантного множества при р = 2 иллюстрируется примером п. 3.2. [c.114] Напомним, что векторное поле удовлетворяет аксиоме А, если его множество неблуждающих точек гиперболично и в нем плотны периодические траектории поля. Условие сильной трансверсальности состоит в следующем устойчивые и неустойчивые многообразия всех неблуждающих траекторий пересекаются трансверсально. Подробнее о гиперболической теории см. том 2 настоящего издания. [c.114] Аналогично строятся главные деформации уравнений, описанных в п. 3.1, и формулируется теорема об их версальности. Для каждого п главная деформация единственна. [c.115] Вернуться к основной статье