Регулярные фракталы

Искусственные модельные фракталы, сгенерированные по специальным алгоритмам, носят название "регулярные фракталы". [c.78]

При изучении поверхностных явлений, например явления адсорбции, для воспроизведения реальных поверхностей необходимо искусственно задавать неоднородность. Выяснилось, что ее можно успешно формировать, используя методы фрактальной геометрии. Известно несколько способов, основанных на различных моделях регулярных фракталов. [c.32]

На соотношении, подобном (28), основаны многие методы определения фрактальной размерности самоподобных, структур [40, 41]. Различают геометрические, или регулярные, фракталы (типа множества Кантора, [c.34]

Рассмотренные выше регулярные фракталы делают понятие фрактальной размерности исследуемых природных объектов простым и наглядным. Однако они малопригодны для моделирования большинства реальных структур, характерных для природных объектов, поскольку позволяют имитировать лишь дискретный спектр размерности, соответствующий дискретным наборам структурных параметров. Для устранения этого недостатка можно использовать рекуррентные процедуры построения аппроксимирующих решеток, в которых на каждом шаге масштабных преобразований структурные параметры с вероятностью р,- принимают одно из возможных значений, а условием нормировки является - [c.42]

Фурье-анализ профилей (ФАП) заключается в получении спектра мощности (суммы квадратов амплитуд) профилей поверхности. Для регулярных фракталов и статистически самоподобных структур в интервале самоподобия спектр мощности s(k) можно аппроксимировать зависимостью вида [c.51]

Примеры регулярных фракталов приведены на рис. 1.1. Регулярные фракталы были первыми объектами в теории фракталов, которые подтверждали принципиальную возможность существования геометрических объектов дробной топологической размерности. [c.23]

Несмотря на кажущуюся простоту, регулярные фракталы находят применение в некоторых областях науки. Однако для механики материалов наибольший интерес представляют стохастические фракталы. Примером объектов такого рода является приведенный на рис. 1.2 фрактальный кластер. [c.25]

Как уже отмечалось выше, объектом описания теории фракталов являются самоподобные множества дробной топологической размерности. Наряду с наличием дробной размерности одним из наиболее значимых свойств фракталов является их самоподобие, т. е. локальная инвариантность относительно полугруппы (для регулярных фракталов дискретной полугруппы) дилатаций (сжатий) с параметром X. регулярных фракталов зто точное свойство, для [c.28]

Необходимо сделать еще одно замечание относительно связи фрактальной геометрии и фрактальной физики со случайными процессами и их исследованием методами математической статистики. Дело в том, что свойства той или иной фрактальной структуры целиком определяются процессами её породившими. Если не рассматривать регулярные фракталы, представимые как предел последовательности некоторых рекурсивных преобразований в математических примерах конструирования подобных объектов, то в остальных случаях наиболее важными являются стохастические фрактальные системы, порождаемые в ходе некоторого случайного процесса. Например, широко используемом для порождения и анализа свойств фрактальных объектов в численных экспериментах является метод ограниченной диффузией агрегации (ОДА) [43], при котором процесс образования фрактального агрегата описывается как последовательное налипание частиц диффундирующих издалека к области, где растет агрегат таких частиц, к какой-либо точке (частице), уже сформированного на предыдущих шагах агрегата. Другие примеры связаны с анализом задач о случайном блуждании (обобщения статистических моделей диффузии, броуновского движения и т.п.). Статистические свойства характеризующих эти случайные процессы случайных величин и порождаемых ими в физическом или фазовом пространстве траекторий оказываются в общем случае описываемыми устойчивыми по Леви распределениями [44], представляющими собой обобщение классических нормальных (гауссовых распределений). [c.149]

Другим типом регулярных фрактальных решеток для идентификации природных фракталов являются решетки с немонотонной зависимостью размерности подобия от структурных параметров. В таких решетках размерность монотонно растет с увеличением числа масштабных преобразований М, а зависимость фрактальной размерности D от количества самоподобных частей N на каждом структурном уровне немонотонна [48, 49]. На рис. 22 представлен пример использования рассматриваемой решетки для идентификации фрактальной структуры чечевицеобразного мартенсита. Обратим особое внимание на то, что в этом примере имеет [c.41]

Развитие механики композиционных и дисперсных материалов привело к формированию нового научного направления — структурной механики. В самом названии зтого направления подчеркивается роль структуры при описании свойств материала. Однако долгое время доступными для описания оставались регулярные и близкие к ним структуры. С появлением теории перколяции и теории фракталов были созданы предпосылки для того, чтобы уравновесить оба фактора и наряду с развитием собственно методов механики материалов развивать и методы описания их структур. [c.7]

При разработке количественного описания структуры древесины на микроуровне традиционно применяются стандартные статистические методы построения эмпирических распределений, вычисления средних значений структурных характеристик и использование их в дальнейшем для идеализации структуры, которая в конечном итоге становится регулярной. Теория фракталов позволяет сделать следующий шаг в данном направлении и перейти к учету в моделях неоднородностей. [c.185]

Рисунок 2.3 - Ковер Серпинского Физический смысл определения фрактальной размерности регулярных фракталов сводится к след> ющему. Прямая линия представляет собой множество точек в пространстве при любом изменении масштаба мы получаем то же самое множество точек. Кроме того, параллельное смещение линии не изменяет множество. Это означает, что прямая инвариантна относительно переноса и изменения масштаба, т.е. обладает свойством самоподобия. Размерность подобия d для прямых, плоскостей и кубов равна, соответственно, 1, 2 и 3. В случае фрактальных множеств маспггабный множитель равен

Интуитивно можно констатировать, что свойства природных фрактальных объектов чрезвьГчайно разнообразны и сложны, в силу чего для их исследования используются модельные фракталы, сгенерированные по специальным алгоритмам. Такие искусственные фрактальные объекты носят название "регулярные фракталы". [c.25]

Поскольку поверхности реальных объектов имеют случайный, иногда сильно изрезанный характер, их моделирование при помощи регулярных фракталов типа кривой Кох зачастую невозможно. Далее приведена модель образования фрактальных пористых систем, которые получили название 1 убки Менгера (по фамилии ученого, впервые предложившего такой механизм моделирования фрактальных объектов). [c.34]

При этом можно увидеть интересную аналогию формы линии получившейся фигуры - "звезды Давида" (рис. 74, а) и формы генератора классического фрактала - триадной кривой Кох (рис. 74, б) Методами фрактальной геометрии создано несколько способов формирования неоднородности поверхности [71]. Среди них есть и способы построения неоднородных поверхностей, основанные на моделях регулярных фракталов. Например, поверхность обобщенной триады Кох. Вначале строится фрактальная кривая в масштабе р, а затем вся фрактальная кривая переносится параллельно самой себе на длину порядка Л. В результате получается гофрированная поверхность, которая служит моделью неоднородной поверхности (см. рис. 17), полученной при направленном шлифовании сколов поликристаллических сплавов. [c.116]

Что такое регулярные фракталы Объяснить принцип построения регулярных фракталов на примере триадной кривой Кох. [c.158]

Т1шьную размерность других регулярных фракталов, например, плоского регулярного фрактала - салфетки Сершш-ского (рис. 2.6). [c.91]

Фрактальные объекты можно разделить на два класса — регулярные фракталы, иногда их называют предфракталы [52], и стохастические фракталы. [c.23]

Рис. 1.1. Примеры регулярных фракталов а — кривая Кох б — ковер Серпинского

Класс фрактальных объектов не ограничивается самоподобными множествами, фракталами являются, например, самоафинные множества [52]. Можно привести и другой пример. На основе модификации алгоритма построения регулярных фракталов в [53] предложен новый самоподобный геометрический объект — скейл, который не является фракталом, но в некоторых случаях может оказаться полезным для описания пористых полидис — персных систем. [c.29]

В последние годы для анализа структурного состояния и сложной поверхности статического и усталостного разрушения все шире используются методы фрактальной и мультифракталь-ной параметризации [41, 78-85]. Дело в том, что большинство сложных объектов и структур в природе обладают фундаментальным свойством геометрической регулярности, известной как инвариантность по отношению к масштабу, как самоподобие. Если рассматривать эти объекты в различном масштабе, то постоянно обнаруживаются одни и те же фундаментальные элементы. Эти повторяющиеся закономерности определяют дробную, или фрактальную размерность структуры. Фрактальная геометрия описывает природные формы изящнее и точнее, чем евклидова геометрия. По определению Б. Мандельброта фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому и друг другу [86]. Это простое определение фрактала не является строгим и полным. Регулярные фракталы - это прежде всего язык геометрических образов (моделей). Они принципиально отличаются от привычных объектов евклидовой геометрии, таких как прямая линия или окружность. Фракталы выражаются не в первичных геометрических формах, а в алгоритмах, наборах математических процедур. Эти алгоритмы трансформируются в геометрические формы с помощью компьютера. Независимо от природы и мето- [c.140]

Регулярные (геометрические) фракталы строят методом итераций. Рассмотрим их на примере триадной кривой Кох [40]. Она получается путем превращения прямой линии затравки (л = О, рис. 14) в ломаную в определенной последовательности. Например, верхняя фигура на рисунке, так называемый образующий элемент (п = 1), получена путем деления отрезка прямой на три равные части с последующим преобразованием прямой в ломаную. Если эту операщ1Ю продолжить для каждого прямолинейного участка, то получим серию из п поколений кривых с п = 2, 3, 4,. .. Первое поколение состоит из четырех прямолинейных звеньев длиной 1/3 каждое. Тогда длина всей кривой первого поколения будет равна L(l/3) = 4/3, а второго L(l/9) = (4/3) = 16/9. Кривая и-го поколения при любом конечном т называется пред-фракталом. Длина каждого ее звена 5 = 3 " связана с числом поколений соотношением [40] [c.35]

Пример аппроксимации природных фракталов регулярными предфракталами, получаемыми с помощью рекуррентных процедур разбиения исходной фигуры на части, или покрытия аппроксимируемой структуры элементами определенной формы и размера представлен на рис. 21. Данная структура отражает фрактальную модель структуры дисперсно-наполненных композитов на базе ковра Серпинского (светлые области -матрица, темные - дисперсные включения D = 1п8ДпЗ). [c.41]

Новая область явлений возникает в диссипативных системах, фазовый объем которых не остается постоянным, а сокращается со временем. Конечное состояние в этом случае представляет собой движение на некотором подпространстве, называемом аттрактором, размерность которого меньше размерности исходного фазового пространства. Изучение регулярного движения в таких системах восходит к Ньютону и в дальнейшем было связано с развитием теории обыкновенных дифференциальных уравнений. На этой ранней стадии было выяснено, что траектория может притягиваться к таким простым аттракторам, как неподвижные точки, замкнутые траектории и торы, на которых устанавливается, соответственно состояние равновесия, периодическое и квазипериоди-ческое движение. И только сравнительно недавно, в пионерской работе Лоренца [283], было показано, что и в диссипативных системах встречается хаотическое движение. Лоренц обнаружил такой аттрактор в модели, описываемой системой обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. Рюэль и Тэкенс [355 ] использовали для аттрактора с хаотическим движением термин странный аттрактор ). Топология странных аттракторов весьма примечательна. Она характеризуется масштабной инвариантностью ), при которой структура аттрактора повторяется на все более мелких пространственных масштабах. Такие структуры, называемые фракталами, обладают любопытным свойством дробной размерности, промежуточной между размерностью точки и линии, линии и плоскости и т. д. [c.19]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...