Уравнение гармоническое с переменными коэффициентами

Иногда изложение теории волн начинают с определения гармонической волны (П.8) или (П.7), мотивируя тем, что эти функции самые простые из периодических функций. Такой ответ вряд ли удовлетворителен, так как простота - в достаточной мере неопределенный критерий. Особая роль этих функций связана с тем, что системы, которыми пользуются в физике и технике для приема и анализа колебаний и волн, описываются дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Если же перейти к другим системам, описываемым, например, линейными уравнениями с переменными коэффициентами, то гармонические функции потеряют свое особое значение. [c.296]

Такого рода линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами, описывающие вынужденные квази-гармонические колебания, в общем виде не решаются. Численное решение получено на аналоговой вычислительной машине МН-7. [c.51]

Уравнение (1-171) подобно (1-164) и отличается от него лишь тем,, что коэффициент гармонической линеаризации в последнем случае зависит от двух переменных амплитуды первой гармоники Мд.а и постоянной составляющей сигнала Мд.о на входе нелинейного элемента,. [c.46]

До сих пор мы рассматривали системы с однозначными нелинейностями, коэффициенты гармонической линеаризации которых не зависят от частоты. Однако рассмотренный прием может быть обобщен и на случай систем с неоднозначными нелинейностями, коэффициенты гармонической линеаризации которых могут быть функциями не только амплитуды, но и частоты, В этом случае коэффициенты гармонически линеаризованного уравнения также будут функциями двух переменных а и ( ). Однако если выразить частоту (й через амплитуду а при помощи системы уравнений (IV-10), то коэффициенты а,- вновь можно рассматривать как функцию только амплитуды а и использовать для ее определения уже рассмотренную методику. [c.236]

Однако для гармонических волн в слоистой среде удается получить уравнение распространения, не содержащее в своих коэффициентах производных от параметров среды, пригодное, в отличие от (1.26) и (1.41), как при плавных, так и при скачкообразных изменениях этих параметров. Этого удается достичь путем перехода к новой независимой переменной [94]. [c.18]

Гармонический характер колебаний некоторой группы переменных указывает на то, что в системе существует звено или несколь- 0 звеньев, выделяющих из сложного спектра частот, возникающих при прохождении возмущений через нелинейные звенья, одну единственную гармонику. В подобного рода ситуациях принято говорить, что линейная часть рассматриваемой системы содержит элементы, обладающие свойством фильтра, не пропускающего высокие частоты [79]. Поскольку частотная характеристика осциллятора при малых декрементах затухания имеет высокие коэффициенты усиления только вблизи собственной частоты колебаний , в рассматриваемой задаче роль фильтра играет звено, описывающее продольные колебания корпуса [см. уравнение (1.4.26)]. [c.141]

А. Marines u [1.241] (1967) исследует свободные и вынужденные колебания стержня со свободными концами. Предполагается, что стержень имеет переменные по длине массу и жесткость, которые являются гладкими функциями продольной координаты. Система уравнений балки Тимошенко приведена к одному уравнению с переменными коэффициентами. Выписаны члены, которые, по мнению автора статьи, учитывают внутреннее демпфирование, аэродинамическое демпфирование, осевые и восстанавливающие силы. Для низших мод не учитываются инерция вращения, деформация сдвига и демпфирование. Рассмотрены три типа возмущающих сил гармонические, случайные, разрывные. Возмущающая сила вводится в правую часть дифференциального уравнения, при этом допущена ошибка — вместо пространственно-временного дифференциального оператора в правой части записана единица. Решение выписывается в виде бесконечного ряда по системе собственных, по предположению, ортогональных функций, которые в работе не определяются. [c.69]

Оно представляет собой дифференциальное уравнение гармонического осциллятора. Если переменная физическая веяичина х(/1 удовлетворяет дифференциальному уравнению (Зб.З). можно утверждать, что она изменяется по закону гармонического колебания (36.3 с круговой частотой о> . равной квадратному корню из коэффициента при j /t в этом уравнении, и с амплитудой и начальной фазой, которые определяются через начальные данные формулами вида Oe.eV [c.116]

Все программы, расчета на ЭВМ состоят из двух частей. Первая часть включает описание системы уравнений станка, подпрограммы для расчета отдельных коэффициентов этой системы. Вторая часть включает стандартные программы для решения системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений (процессор). В процессоре используется метод комплексных амп-, литуд, при котором решение находится в виде линейной комбинации функции где —комплексная амплитуда ш — круговая частота гармонических колебаний, задаваемых правыми частями уравнений. Система решается для ряда значений (до 100) в заданном интервале частот. На печать выдаются значения выходной координаты и всех переменных системы уравнений станка, что позволяет графически построить амплитуднофазовую частотную характеристику и формы колебаний станка при любой частоте. Если известна характеристика резания и возмущения от привода и фундамента, то задача решается от начала до конца с помощью ЭВМ. [c.185]

Квадратные скобки. Квадратные скобки, входящие в уравнения (128), содержать суммы произведенйй восьми частных производных, а именно частных производных от Хо и уо по каждому из четырех элементов промежуточной орбиты, причем с самого начала используются постоянные численные значения а, п, е и ш. Для этих восьми частных производных можно найти аналитические выражения, однако, по-видимому, самым легким путем для их вычисления будет применение гармонического анализа к частным значениям, вычисленным для равноотстоящих значений независимой переменной. При вычислениях также будет удобно умножить отдельные ряды на такие множители, которые сделают коэффициенты функциями только от эксцентриситета и безразмерными. Поэтому вместо рядов, входящих в уравнения (128), мы вычисляем [c.353]

Отметим, что дисперсионное соотношение можно получить с помощью принципа гармонического баланса, т. е. подставив Ф = асо8 0 в уравнение (5.8.1) и приравняв коэффициенты при OS0 в обеих частях. В силу равенств со=—0, и k = % уравнение Эйлера—Лагранжа, соответствующее переменной 0, запишется в виде [c.236]

Положение меняется при переходе к задаче определения вероятностных характеристик динамической системы со случайными воздействиями при заданных краевых условиях. Например, в задаче о вычислении вероятностных характеристик коэффициентов отражения или прохождения гармонической волны через слой со случайными в пространстве свойствами наличие переотраженных волн приводит к тому, что характеристики волны в некотором сечении зависят от состояния волнового поля перед этим сечением и после него. Как следствие этого, в уравнении волны (по пространственным переменным) [c.131]

Если длина I постоянна, то второе слагаемое левой части этого уравнения исчезает и уравнение опишет простое гармоническое движение, причем g/l играет роль коэффициента жесткости, разделенного на массу в ураопепии (Ь), стр. 167. Изменение длины, вследствие которого появляется второй член в уравнении (74), может оказать такое же влияние на колебания, как переменная жесткость, рассмпт-рсниая R предыдущих примерах. Сравнивая уравнение (74) с уравне-ниеи (31), стр. 72 для затухающих колебаний, мы видим, что член, содержащий производную d /dt, занимает место члена, представляющего вязкое сопротивление в уравнении (31). При соответствующем [c.171]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...