Преобразования канонического производящая функция

Определение 9.7.3. Каноническое преобразование с производящей функцией вида [c.684]

Преобразование 5 = К os 2/7, = У sin 2jo является свободным унивалентным каноническим преобразованием с производящей функцией [c.154]

Наиболее общая форма канонического преобразования возникает в том случае, когда преобразование обладает производящей функцией S и, кроме того, существуют дополнительные соотношения между qt и Qi, как в случае преобразований Матье. Применение метода неопределенных множителей Лагранжа показывает, что уравнения преобразования имеют вид [c.239]

Воспользуемся теперь групповыми свойствами канонических преобразований (см. гл. VII, п. 7). Оба преобразования, как qi. Pi, к Qi, Pi, так и Qt, Pi к qi, pi являются каноническими. Следовательно, результирующее преобразование от qi. Pi в qi. Pi тоже каноническое. Производящая функция результирующего преобразования равна разности двух производящих функций отдельных преобразований [см. (7.7.3)]. Отсюда получается следующее замечательное соотношение [c.300]

Бесконечно малые канонические преобразования. Рассмотрим фазовое пространство переменных / , q2,...,qh, ри Р2, , pk-Каноническое преобразование, задаваемое производящей функцией W t, q, Q), определяет множество преобразований этого пространства с помощью формул преобразования [c.477]

Полученное равенство определяет каноническое преобразование с производящей функцией V Ь, д, а) при переходе от канонических переменных рз к новым переменным ав, Рз- Новые переменные удовлетворяют каноническим уравнениям Гамильтона [c.602]

Равенства (28) имеют вид свободных унивалентных канонических преобразований с производящей функцией П и независимыми переменными , qf, р1, г = [25]. Эти переменные могут рассматриваться как независимые за счёт учёта в функции П условных уравнений, выражающих зависимости между переменными, с неопределёнными множителями р/. [c.141]

Если с самого начала мы рассмотрим каноническое преобразование с производящей функцией [c.151]

Отсюда получаем такие системы канонических преобразований, осуществляемых производящими функциями каждого из типов [c.522]

Показать, что множество Со унивалентных канонических преобразований с производящей функцией рг,1)=0 образует подгруппу Со группы канонических преобразований. [c.258]

Рассмотрим каноническое преобразование с производящей функцией типа Рг (д, О, t). В этом случае выражения, стоящие под знаками интегралов (35.3) и (35.4), связаны соотношением (35.5) или [c.199]

Чтобы получить уравнения канонических преобразований, соответствующих производящим функциям остальных трех типов, необходимо произвести в соотношении (35.5а) подходящее преобразование Лежандра. Например, если к обеим частям указанного со- [c.200]

Отсюда видно, что формулами канонических преобразований с производящей функцией типа F (q, Р, t) являются [c.201]

В качестве конкретного примера подобного канонического преобразования можно указать преобразование, осуществляемое производящей функцией [c.201]

Именно, рассматривая теперь уже произвольную механическую систему, сделаем каноническое преобразование с производящей функцией ф =(р(<7, Р, t), так что [c.138]

В первой части мы выяснили, что такое преобразование есть каноническое преобразование с производящей функцией [c.403]

Итак, произвольный выбор производящей функции S, удовлетворяющей условию (129), сразу позволяет получить как формулы для соответствующих свободных канонических преобразований, так и выражение для гамильтониана преобразованной системы через новые гамильтоновы переменные. В этом смысле выбор функции S и числа с О задает свободное каноническое преобразование. [c.319]

Наоборот, если задаются старый гамильтониан Н и новый гамильтониан Н, то равенство (127) служит для определения производящей функции S. Поэтому в случае свободных преобразований можно, задав гамильтониан непреобразованной системы и желаемый гамильтониан преобразованной системы, найти производящую функцию S и, зная ее, восстановить соответствующее каноническое преобразование. [c.319]

Теорема 9.7.3. Пусть IV есть производящая функция в смысле определения 9.7.2. Тогда каноническое преобразование можно задать с помощью следующих уравнений [c.683]

Следствие 9.7.3. Каноническое преобразование полностью определяется, если задать его валентность и производящую функцию IV. Существенную роль здесь играет состав аргументов этой функции. Всего получается 2" возможных вариантов выбора аргументов. [c.684]

Производящая функция может зависеть от параметра. Каждому значению параметра будет соответствовать отдельное каноническое преобразование, а в целом мы получим семейство преобразований. При непрерывном изменении параметра величины 0, Ц., = 1, . будут его функциями. [c.686]

Рп = 1, , )-> ( 1( 1),Р1(а1), г = 1,..., п), суть два канонических преобразования одной и той же валентности с производящими функциями [c.687]

Следствие 9.7.6. Движение, описываемое каноническими уравнениями Гамильтона, можно интерпретировать как каноническое преобразование, в котором роль параметра играет время 1, а производящей функцией служит функция 5 действия по Гамильтону. [c.687]

Замечание 9.7.2. С помощью канонических преобразований обобщенные импульсы можно переводить в обобщенные координаты, и наоборот. В самом деле, пусть, например, обобщенный импульс р, требуется преобразовать в обобщенную координату и, наоборот, координату q, — в импульс, а остальные канонические переменные оставить без изменений. Для зтого достаточно применить производящую функцию вида [c.688]

Найдем производящую функцию канонического преобразования, [c.690]

Вариант 2. Предположим, что функция Но допускает введение переменных действие-угол. Это значит, что существует каноническое преобразование q,p) —> , п) с производящей функцией [V, удовлетворяющей уравнению типа уравнения Гамильтона-Якоби [c.700]

Рассмотрим классическое определение производящей функции канонических преобразований, устанавливающее связь этой функции с механическим действием, соответствующим принципу Гамильтона — Остроградского. Механическое действие согласно Гамильтону — Остроградскому [c.368]

Здесь впервые обнаруживается соответствие между главной функцией Гамильтона и производящей функцией V канонических преобразований, превращающих все обобщенные координаты в циклические. Однако соответствия между равенствами [c.370]

СКОРО — Гамильтона— Якоби, доказанную иным способом в 124. Вместе с этим доказано совпадение главной функции Ш, Гамильтона и производящей функции V канонических преобразований, превращающих все обобщенные координаты в циклические. [c.372]

Функция S называется производящей функцией свободного канонического преобразования (4). [c.295]

Канонические преобразования (КП) х, р- х, р реализуемые производящими функциями (ПФ), имеют вид [7, 23, 86—89] [c.240]

Частица движется в поле f7=t7(x). Найти производящую функцию F] (х, х, t) канонического преобразования к постоянным координатам и импульсам 1) t7(x)=0 2) (7(х) = /а гсо л . [c.271]

В настоящее время эту функцию принято называть производящей функцией канонического преобразования.— Примеч. ред. [c.230]

Функцию F будем называть производящей функцией, а постоянную с — валентностью рассматриваемого канонического преобразования (1). Каноническое преобразование будем называть унивалентным, если для него с=1. [c.149]

Замечание. Если преобразование (1) является каноническим, то суш,ествуют производящая функция F и валентность с фО такие, что имеет место равенство (9) при любой функции Н и соответствующей Н. Однако если равенство (9) [c.149]

Перебирая различные производящие функции 5, удовлетворяющие условию (5), и различные валентности с О, мы с помощью формул (3) можем охватить все свободные канонические преобразования ). [c.152]

После установления С. Ли канонического варианта взаимосвязи, в силу отождествления первых интегралов с производящими функциями бесконечно малых канонических преобразований симметрии системы, теорему Пуассона — Якоби можно было бы сформулировать следующим образом инвариантность закона сохранения системы (интеграл движения Gj) относитель-ппо но бесконечно малого канонического преобразования с производящей функцией ( 2 имеет следствием постоянство соответствующих скобок Пуассона Gil, которые в некоторых случаях дают новый закон сохранения = = [Gi, G ] = onst (в остальных случаях, как известно, [G , G2I обращаются в нуль или выражаются как функции G и G . Большого практического значения теорема Пуассона — Якоби не имела, так как для клас-ческих интегралов, связанных с евклидовой группой и однородностью времени, она приводила к тем же самым, т. е. уже известным, интегралам (например, [Мх, Му = Mz, [Мх, Ру = Pz,. .., где Мх, Му, Mz, Рх, Ру, Pz — соответственно х, г/, z-компоненты момента импульса и импульса) или вообще не давала интегралов, приводя к обращению в нуль скобок Пуассона (например, [Рх, Ру] = [Рх, Pz] = [Ру, Pz] = [Н, Рх] = [Я, Ру] =. .. = 0). [c.238]

Параметры с , Су равны друг другу в невозмущенной системе и близки по величине в возмущенной системе. Невозмущенную систему можно рассматривать как два несвязанных между собой нелинейных осциллятора, фазовые портреты которых представлены на рис. 8. Введем переменные действие-угол ( и Ч и-> Iv,4 v) посредством канонического преобразования с производящей функцией S — S Iu, Iv u,v, Pt,r), которая содержит г, Pj в качестве параметров. В новых переменных невозмущенный гамильтониан трансформируется в Tio = = У-oiIu, Iv,Pt,T) = Uuilu, Pt,r) + Hy Iy, Pt,r). Функция S имеет вид [c.179]

Согласно формулам канонических преобразований новые координаты, вообще говоря, зависят как от старых координат, определяющих положение системы, так и от старых импульсов. Поэтому с помощью новых координат нельзя задать положения оистемы,, и только совокупность всех новых переменных Q и определяет цоложения и скорости точек механической системы. Однако в частном случае канонических преобразований с производящей функцией [c.434]

До казательство. Рассмотрим каноническое преобразование с производящей функцией 5 (О, д). Имеем, согласно (2), д8 [c.229]

Тогда 113 последних п равенств (4) можно выразить р через q, Р п t и можно получить производящую функцию Si канонического нреобразоваппя (4), зависящую не от q, Q, t, как это было в случае свободного преобразования, а от переменных q, Р, В самом деле, перепишем (18) в виде [c.298]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...