Канонические преобразования. Производящая функция канонического преобразования

Найдем производящую функцию канонического преобразования, [c.690]

Рассмотрим классическое определение производящей функции канонических преобразований, устанавливающее связь этой функции с механическим действием, соответствующим принципу Гамильтона — Остроградского. Механическое действие согласно Гамильтону — Остроградскому [c.368]

В настоящее время эту функцию принято называть производящей функцией канонического преобразования.— Примеч. ред. [c.230]

Функция W, не зависящая от времени, введена нами просто как часть производящей функции 5 в случае, когда Н не содержит явно t. Мы сейчас увидим, что ее можно рассматривать как производящую функцию некоторого канонического преобразования, свойства которого отличны от свойств преобразования, осуществляемого функцией S. Рассмотрим каноническое преобразование, при котором новые импульсы являются константами движения г, причем i равно Н. Если производящую функцию этого преобразования обозначить через W(q, Р), то уравнения преобразования будут иметь вид [c.308]

Функция S называется производящей функцией канонического преобразования. Вариация S имеет вид [c.238]

Из формул (7.7.6) видно, что S — производящая функция канонического преобразования, переводящего точку qi, pi в точку Qi, Pi. Для обратного же преобразования производящей функцией будет —S.— Прим. ред. [c.251]

Резюме. В то время как производящая функция канонического преобразования является чисто математическим понятием, Гамильтон ввел главную функцию , тесно связанную с интегралом действия. В его геометрической интерпретации эта функция имеет ясный смысл. Она задает расстояние между двумя точками в соответствующим образом определенном метрическом пространстве, являясь при этом функцией координат этих двух точек. Главная функция Гамильтона является производящей функцией того частного канонического преобразования, которое связывает два состояния фазовой жидкости, принадлежащие двум различным моментам времени, причем связывает их непосредственно, без помощи какой-либо промежуточной внешней точки. [c.263]

Функции 8 и Н называются производящими функциями канонического преобразования. [c.832]

F называется производящей функцией канонического преобразования, параметр % — его валентностью. [c.197]

Примечание. Главная функция Гамильтона представляет собой действие по Гамильтону, вычисленное при переменном верхнем пределе и выраженное через начальные и текущие значения обобщённых координат. Будучи производящей функцией канонического преобразования начальных значений обобщённых координат и импульсов в их текущие значения, главная функция позволяет ответить на вопрос какие [c.219]

Применение леммы позволяет получить новую картину движения с замедлением времени вблизи нерегулярной точки в уравнениях плоской задачи трёх тел (в нерегулярной точке лемма и производящая функция канонического преобразования не применимы). [c.221]

Пусть 8 = 8о + е81+ 52 +. .. — производящая функция канонического преобразования из теории возмущений (см. 3). Положим 8т = теъ 0 ). Согласно (4.5), [c.203]

Если оно соблюдено, то можно принять за производящую функцию канонического преобразования, причем вторая группа равенств (8.7) [c.527]

Производящие функции канонических преобразований. [c.264]

Валентность и производящая функция канонического преобразования qi = (pi qj, pj, 1), р1 = i qj,pj,t) (г, = 1,п) в (р, р -онисании равны со и /7о(р , ). Построить каноническое преобразование валентности с с производящей функцией и р ,р ,1) = С/о(р ,Р ,0 + + /2(р ,0- При решении использовать структурные формулы канонического преобразования в (р, р)-онисании. (См. задачу 23.115.) [c.251]

Валентность и производящая функция канонического преобразования qi = (pi qj,pj, t), pi = fi qj, pj, t) i = l,n) в q, p)-онисании равны q и ФQ qi, pi, t). Построить каноническое преобразование валентности с с производящей функцией Ф qi,pi,t) = [c.252]

Валентность и производящая функция канонического преобразования qi = qi qj,pj,t), pi =Pi qj,Pj, t) (г = 1, n) в (p, -онисании равны q и R [pj,qj,t). Построить каноническое преобразование валентности с с производящей функцией R pj,qj,t) = = Ro pj, qj, t) + fi[pj, t) + f Qj, i)- При решении использовать структурные формулы канонического преобразования в [р, -онисании (см. задачу 23.147). [c.254]

При изучении производящих функций канонических преобразований нам потребуется [c.196]

Рассмотрим функцию 8 д, ах, а ), которая в этом случае называется полным интегралом уравнения (7.3), в качестве производящей функции канонического преобразования д,р) (/3,а) [c.77]

Так как выбранная нами производящая функция канонического преобразования относится к типу ig, Р, t), то согласно формулам [c.207]

Определение П32.5. Функция А(Р, д) называется производящей функцией канонического преобразования А. [c.233]

Здесь S — производящая функция канонического преобразования г, ф W. Интеграл в (6.7) вычисляется при условии [c.65]

Решая уравнение Гамильтона — Якоби, получаем производящую функцию канонического преобразования. [c.72]

Если теперь мы будем рассматривать аир как новые канонические переменные, связанные со старыми переменными q, р формулами (5.237) или (5.239), то очевидно, что характер зависимости производящей функции от и а ие изменится (формулы (5.239) не содержат производных по времени). Потребовав, чтобы уравнения (5.24) удовлетворялись при переменных а и р, мы должны будем положить (в соответствии с теорией канонических преобразований) [c.357]

Если 021 о, то /7=02,"ЧС-0229) И производящая функция канонического преобразования равна [c.167]

Заменим а на -О и примем функцию 1V(q, -С, г) за производящую функцию канонического преобразования от переменных (р, д) к переменным (Р, О). Имеем [c.183]

Тогда на основе теоремы о неявной функции можно выразить а ,а через / ,..., / и получить производящую функцию канонического преобразования Ж(д, I) = Ж (д, а(1)), I = (/,,..., / ). Связь между старыми (р, д) и новыми (I, ф) каноническими переменными определяется соотношениями [c.185]

Дважды непрерывно дифференцируемая функция S (аналогично функции F из формулы (6)) называется производящей функцией канонического преобразования. Она генерирует такое каноническое преобразование х, у)- х, у ), в котором новый гадшльтониан Н представляет собой постоянную величину [c.201]

Так как det d W/dqdx = det d V/dqdx ф О, то W[q,x) — полный интеграл уравнения (7.3) — можно принять в качестве производящей функции канонического преобразования p,q —> у,х у = = dW/dx, р = dW/dq. В новых канонических переменных х,у функция я становится равной К х), поэтому уравнения Гамильтона сразу интегрируются х = xq, у = уо + w xo)t, ш х) = дК/дх. [c.98]

Принцип супеппозиции 257 Присоединенная масса 500 Прицельное расстояние 121 Продольная волна 509, 539, 564 Производные вектора по времени в разных системах отсчета 168 Производящая функция канонических преобразований 429 Пространство 8, 11—13 [c.571]

В этой главе преобладает координатная точка зрения. Развитый Гамильтоном и Якоби аппарат производящих функций канонических преобразований является самым мощным из имеющихся методов интегрирования дифференциальных уравнений динамики. Кроме этого аппарата, глава содержит нечетномерный подход к гамильтоновым фазовым потокам. [c.205]

Резюме. Общая форма произвольного канонического преобразования связана с производящей функцией, которая определяет собой это преобразование. Любая функция переменных qi и Q,- может быть выбрана в качестве производящей функции для соответствующего канонического преобразования. В дополнение к этой функции а priori может быть задан ряд определенных соотношений между qi и Q,-. В этом случае мы получаем обусловленное каноническое преобразование. Число заданных заранее условий может меняться от одного до п. Формулы канонического преобразования имеют ту особенность, что они не задают преобразование в явном виде. Вместо выражений для новых переменных через старые либо наоборот — старых через новые мы имеем некоторое смешанное представление. Старые и новые импульсы выражаются через старые и новые позиционные координаты. [c.240]

Описанный в предыдущем параграфе комплекс программ является универсальным в том смысле, что с ого помощью можно нормализовать гамильтониан канонической системы с произвольным числом степеней свободы. Однако такой комплекс нуждается в больших ресурсах ЭВМ, поэтому для решения конкретных механических задач важное значение имеет создание быстродействующих вычислительных алгоритмов, нормализующих гамильтоновы системы с небольшим числом степеней свободы. Большое количество задач связано с нормализацией автономных гамильтоновых систем с двумя и тремя степенями свободы (порядок системы дифференциальных уравнений равен 4 или 6), для которых знание коэффициентов нормальной формы до члено четвертого порядка включительно позволяет часто рехпить задачу об устойчивости положения равновесия. При этом знапие самого нормализующего преобразования (производящей функции) но является необходимым, а коэффициенты нормальной формы вычисляются через коэффициенты исходного гамильтониана с помощью явных и относительно простых формул. Соответствующие алгоритмы и основанные па них вычислительные программы разработаны и описаны в работах [173, 174]. [c.228]

После установления С. Ли канонического варианта взаимосвязи, в силу отождествления первых интегралов с производящими функциями бесконечно малых канонических преобразований симметрии системы, теорему Пуассона — Якоби можно было бы сформулировать следующим образом инвариантность закона сохранения системы (интеграл движения Gj) относитель-ппо но бесконечно малого канонического преобразования с производящей функцией ( 2 имеет следствием постоянство соответствующих скобок Пуассона Gil, которые в некоторых случаях дают новый закон сохранения = = [Gi, G ] = onst (в остальных случаях, как известно, [G , G2I обращаются в нуль или выражаются как функции G и G . Большого практического значения теорема Пуассона — Якоби не имела, так как для клас-ческих интегралов, связанных с евклидовой группой и однородностью времени, она приводила к тем же самым, т. е. уже известным, интегралам (например, [Мх, Му = Mz, [Мх, Ру = Pz,. .., где Мх, Му, Mz, Рх, Ру, Pz — соответственно х, г/, z-компоненты момента импульса и импульса) или вообще не давала интегралов, приводя к обращению в нуль скобок Пуассона (например, [Рх, Ру] = [Рх, Pz] = [Ру, Pz] = [Н, Рх] = [Я, Ру] =. .. = 0). [c.238]

Смотреть страницы где упоминается термин Канонические преобразования. Производящая функция канонического преобразования : [c.684] [c.685] [c.847] [c.877] [c.216] [c.242] [c.362] [c.362] [c.302] [c.528] [c.166] [c.187] [c.702] [c.355] [c.245] [c.392]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...