Мак-Кормака схема

Для расчета чисто сверхзвуковых стационарных течений может быть использована схема Мак-Кормака, но при этом в окрестности разрывов наблюдаются осцилляции решения, связанные с немонотонностью схемы. [c.277]

Интегрирование системы уравнений ведется с помощью конечно-раз-ностной схемы Мак-Кормака [25] с введением односторонних разностей второго порядка точности по координате на теле и на волне. [c.95]

В приведенной форме метод Лакса—Вендроффа является явным и имеет второй порядок точности. Он дает хорошие результаты для гладких течений при отсутствии резких градиентов и разрывов. В общем случае, когда присутствуют сильные ударные волны, необходимо добавлять в уравнения искусственную вязкость. Различные модификации этого метода широко используются в аэродинамических расчетах. В последнее время широкое применение нашла схема того же порядка аппроксимации — схема Мак —Кормака [32]. Оба подхода дают одну и ту же окончательную разностную формулу для одномерных уравнений в консервативной форме (1.21) —(1.23), но формулы для двумерных уравнений различны. Обзор по рассматриваемому вопросу можно найти, например, в [33]. [c.39]

С ростом эффективности вычислительной техники основным методом решения обсуждаемых задач становится метод установления в различных вариантах. Идея метода состоит в решении нестационарных уравнений и нахождении искомого стационарного течения как предела при больших значениях времени. Преимущество состоит в том, что при таком подходе решаются уравнения гиперболического типа, для которых легче выполнить условия устойчивости. Существуют многочисленные реализации идеи установления основное их различие состоит в способах аппроксимации уравнений во внутренних точках. Одной из наиболее распространенных является схема Мак-Кормака, опубликованная в 1969 г. [28] (см. также [29]). [c.176]

Рис< 5.1. Расчет распространения ударной волны при М = 3 на эйлеровой сетке при помощи двухшаговых схем Лакса - Вендроффа с максимальным числом Куранта 0.95. По оси абсцисс отложено расстояние, по оси ординат — давление. Ударная волна распространяется слева направо. Показаны распределения давления через равные промежутки времени. (Заимствовано из работы Тайлера [1970].) а — двухшаговая схема Рихтмайера, 6, = 0 б — модифицированная схема Мак-Кормака, 6,=0 в — двухшаговая схема Рихтмайера, 6i = 0,15 г — модифицированная схема Мак-Кормака, 6, =0 325 [c.343]

Очень интересная двухшаговая схема была разработана Мак-Кормаком [1969, 1970]. В ней на двух последовательных шагах по времени попеременно используются конечные разности вперед и назад по пространственным переменным. Для [c.376]

Существует возможность использования чередующихся операторов А и А, л для построения явной схемы, аналогичной схеме Мак-Кормака, ее можно представить следующим образом. На первом шаге определяется UI из уравнения [c.121]

Упражнение. Показать, что в приложении к одномерному модельному уравнению (5.1) при С = (7Д//Ал = 0 схема Мак-Кормака дает точное решение [c.378]

Показать, что схема Мак-Кормака аппроксимирует уравнение [c.378]

Поэтому предполагая, что градиенты функций течения вдоль лучей малы по сравнению с градиентами в двух других направлениях, можно свести систему уравнений к двумерной, в которую продольная координата входит как параметр. В результате получается система уравнений Навье - Стокса в слабо консервативной форме [12]. Следует отметить, что в окрестности вершины крыла и его передних кромок, особенно на режиме сильного вязко-невязкого взаимодействия, а также на линии излома поверхности крыла, данное предположение нарушается и течение не является близким к локально-коническому. Полученная система нестационарных уравнений в частных производных решается явной двухшаговой схемой "предиктор-корректор" Мак-Кормака [13]. Для нахождения решений в областях с большими градиентами функций используются сглаживающие члены четвертого порядка [14]. [c.168]

Распределенные интерференционные аэродинамические нагрузки для случая двух тел определены численно А.Н. Кравцовым с помощью комплекса программ, описанного в [10]. В этих программах обтекание тела (системы тел) сверхзвуковым потоком газа рассчитывается маршевым методом с выделением основных ударных волн и при отсутствии в поле течения дозвуковых зон. Конечно-разностная схема (Мак-Кормака) имеет второй порядок точности. Заметим, что численное решение задачи обтекания тел с ярко выраженными областями разрежения (в данном случае это течения Прандтля - Майера в окрестности изломов образующей тела при переходе от конического носка к цилиндрической части корпуса) даже в случае выделения ударных волн в качестве разрывов имеет лишь первый порядок точности из-за разрывов первых производных газодинамических функций на начальных характеристиках вееров разрежения. Тем не менее, как показывают сравнения, выполненные в [10], эксперимент и расчет дают очень близкие результаты по силовым и моментным характеристикам для тел рассматриваемого класса. [c.194]

Упражнение. Показать, что в приложении к одномерному модельному уравнению (5.1) при С = йА1/Ах = 0 схема Мак-Кормака дает точное решение Г = " . Показать, что с.хема Мак-Кормака аппроксимирует уравнение (5.1) в неконсервативной форме. Описать схему с центрированием по времени. [c.378]

Таким образом, пятистадийная схема обладает наиболее высокой эффективностью. Возьмем, для сравнения, известную схему Мак-Кормака 1969 г. [c.59]

Зидим, что схема Мак-Кормака требует двух вычислений оператора Ри. В то же время легко показать, что условие устойчивости этой схемы имеет вид < 1. Таким образом, е/ = 1/2 = 0.500 для схемы Мак-Кормака. [c.59]

Следуя Рихтмайеру [1963], стало традицией любую схему, которую можно интерпретировать как разложение в ряд Тейлора до членов второго порядка по времени включительно, называть двухшаговой схемой Лакса — Вендроффа или схемой типа Лакса — Вендроффа и т. д. Представляется, что это слишком широкая и несколько неточная классификация она объединяет, иаиример, как схемы Адамса — Бэшфорта (разд. 3.1.12) и Хойна (разд. 3.1.15), разработанные ранее схемы Лакса — Вендроффа, так п схемы Лейта (разд. 3.1,13) и Мак-Кормака (которая будет обсуждаться ниже). Мы сознаем, что отдельные схемы должны классифицироваться конкретнее, но, следуя традиции, приводим их все в настоящем разделе. [c.374]

Модификация схемы получается чередованием конечных разностей вперед и назад на последовательных (полных) шагах по времени. В двумерном случае конечные разности вперед и назад могут браться различно в направлениях х и у и циклически чередоваться на двух или четырех последовательных шагах по времени. Кроме того, эта схема может использоваться вместе с методом Марчука расщепления по времени (разд. 3.1.13). Детали этой схемы можно найти в работах Мак-Кормака [1971], а также Катлера и Ломекса [1971]. Мак-Кормак и Полли [1972] рассматривали различные аспекты расщепления по времени применительно к данной схеме, а также аппроксимации для смешанных производных в членах уравнений, включающих вязкость. [c.377]

Не совсем очевидно, что эта схема является схемой типа Лакса — Вендроффа, не очевидно даже, что схема аппроксимирует исходные уравнения в частных производных, однако полученные при ее помощи замечательные результаты (Мак-Кормак [1969, 1970], Катлер [1969], Ломекс с соавторами [1970], Катлер и Ломекс [1971]) поддерживают уверенность в этом. Поскольку в схеме не требуются значения / 1/2 в точках с полуцелыми по пространству индексами, здесь не возникает трудностей с применением граничных условий (за исключением вариантов схемы с использованием расщепления по времени). [c.377]

В настоящее время схема Мак-Кормака весьма широко применяется для расчетов аэродинамических задач. Однако Таркел [1974] отметил, что эта схема может быть неустойчивой при [c.377]

При отношении давлений иа скачке порядка десяти схема Рихтмайера (5.79) дает толшпну скачка около ЗДл и максимальный всплеск за скачком около 20% модифищ-фованная схема Мак-Кормака (5.90) дает толщину скачка около бДл при определении ее по выходу на почти равномерный поток или около ЗДх при определении ее по иоложс нию фронта максимального всплеска при этом максимальный всплеск составляет около 8%. В упомянутой выше статье можно найти и сравнения других схем, но самое важное в ней состоит в том, что Тайлер показал, каких замечательных результатов можно добиться добавлением в уравнения количества движения и энергии членов с явной искусственной вязкостью (объемной) типа фон Неймана— Рихтмайера по аналогии со схемой Лонгли (разд. 5.4.2). Тайлер добавляет член с искусственной вязкостью вида [c.379]

Мак-Кормак применил двумерный вариант своей схемы (5.90) как к вязким, так и к невязким членам, используя условие устойчивости при отсутствии вязкости при расчете течений с большими числами Рейнольдса (Мак-Кормак [1970]) и дополнительное условие в виде At <. Ь ReAx при расчете течений с большей вязкостью (Мак-Кормак [1969] )). Если вязкие члены не аппроксимируются надлежащим образом, то при этом теряется второй порядок точности схемы (см. приложение Б). [c.385]

Подробности расчета вязких членов в схеме Мак-Кормака и соответствующие условия устойчивости изложены в работе Мак-Кормака и Болдуина [1975]. [c.385]

К сожалению, главные достоинства метода Моретти часто указываются неверно. Моретти пе применял консервативных уравнений, н часто утверждают, что расчет течений с выделением ударной волны с помощью преобразования Моретти предпочтительнее расчета с помощью консервативных уравнений. На самом деле метод Моретти должен противопоставляться не схемам с консервативными уравнениями, а подходу с размазыванием ударных волн (разд. 5.3). Успех применения метода Моретти зависит главным образом от выбранного преобразования, связанного с выделяемой ударной волной, и от точного учета условий на поверхности тела, а не от отсутствия свойства консервативности использованных уравнений и даже не от варианта конечно-разностной схемы, принятой для расчета во внутренних точках. Так, например, Барнуэлл [1971] рассчитывал трехмерную задачу обтекания с отошедшей ударной волной, применяя II преобразование Моретти, и разновидность схемы Браиловской (разд. 5.6.3), основанную на консервативных уравнениях. Ксерикос [1968] в такой же трехмерной задаче применял преобразование Моретти в сочетании со схемой Лакса (разд. 5.5.4) для внутренних точек Ли [1971] рассчитывал осесимметричное обтекание затупленных тел с химическими реакциями по схеме Мак-Кормака (разд. 5.5.6). Томас с соавторами [1971] также использовал в трехмерной задаче преобразование для ударного слоя, применяя при этом схему Мак-Кормака для продвижения решения по одной из пространственных координат. [c.436]

Аналогичные результаты имеют место для схем Лакса—Вендроффа, Моретти, Мак-Кормака и друхшаговой схемы Лакса—Вендроффа. [c.521]

Модификация схемы получается чередованием конечных разностей вперед и назад на последовательных (полных) шагах по времени. В двумерном случае конечные разности вперед и назад могут браться различно в направлениях х я у и циклически чередоваться на двух или четырех последовательных шагах по времени. Кроме того, эта схема может использоваться вместе с методом Марчука расщепления по времени (разд. 3.1.13). Детали этой схемы можно найти в работах Мак-Кормака [1971], а также Катлера и Ломекса [1971]. Мак-Кормак и Полли [c.377]

Вычислительная гидродинамика (0) -- [ c.376 , c.378 , c.436 , c.521 , c.522 ]

Вычислительная гидродинамика (0) -- [ c.376 , c.378 , c.436 , c.521 , c.522 ]

Вычислительная гидродинамика (1980) -- [ c.376 , c.378 , c.436 , c.521 , c.522 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...