Характеристического уравнения равные корни

Характеристического уравнения равные корни 130 [c.503]

Корни характеристического уравнения равны X 2 = e . Следовательно, уравнение движения диска запишется в виде [c.225]

Если в числе корней характеристического уравнения имеются корни, вещественная часть которых равна нулю, то есть нулевые или [c.652]

Если все три корня характеристического уравнения равны между собой, то каждая ось — главная. [c.50]

Если вещественные части некоторых корней характеристического уравнения равны нулю, а вещественные части остальных корней отрицательны, то невозмущенное движение устойчиво, но не асимптотически все г,, ограничены, и часть из них стремится к нулю) ). [c.100]

Со вторым приближенным методом (их существует значительно больше) мы познакомимся в следующем параграфе, а сейчас остановимся на случае, когда среди корней характеристического уравнения имеются корни, равные +1 или —1. [c.239]

Линии чисто мнимых корней суть кривые в плоскости параметров, на которых вещественные части корней характеристического уравнения равны нулю. Поэтому, положив g — iy и отделяя вещественную и мнимую части, получим [c.231]

Наконец, если действительная часть комплексных корней характеристического уравнения равна нулю или один действительный корень равен нулю, а все остальные имеют отрицательные действительные части и при t—>оо lim xdt) не стремятся ни к нулю, ни к бесконечности, то в этом случае система нейтральна или, иначе говоря, находится на границе устойчивости. Из изложенного следует, что необходимым и достаточным условием устойчивости системы является отрицательность действительных частей всех корней характеристического уравнения. [c.212]

В критических случаях, когда вещественные части некоторых корней характеристического уравнения равны нулю, в то время как вещественные части остальных корней отрицательны, об устойчивости невозмущенного движения нельзя судить по уравнениям первого приближения — необходимо рассмотреть влияние нелинейных членов Xf. [c.39]

Для третьего уравнения (3.3.8) корни характеристического уравнения равны Si = ik, Sz = —ik. Его решение имеет вид [c.109]

Для решения этого линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами составим соответствующее характеристическое уравнение X + =0. Корни характеристического уравнения равны Xi,2 = и решение уравнения запишется в виде [c.236]

Точка X является его неподвижной точкой. Особенностью отображения (4.21) является неотрицательность его якобиана, и позтому характеристическое уравнение неподвижной точки не может иметь нечетного числа отрицательных корней. Более того, при т = 0 отображение (4.21) —тождественное, и все корни его характеристического уравнения равны +1. Отметим, что между корнями 1, Хг,. .. характеристического уравнения состояния равновесия и корнями 21, 2г,. .., характеристического уравнения соответствующей неподвижной точки точечного отображения име- [c.117]

Сумма корней характеристического уравнения равна 11( 2)+ 22( 2)- Из формулы (15.12) следует, что [c.259]

Если среди корней характеристического уравнения нет корней с положительной вещественной частью, но есть корни, равные нулю или чисто мнимые, то исследования одного линейного приближения оказывается недостаточно, — нужно исследовать остаточный член ряда Тейлора, отброшенный при линеаризации. [c.98]

В случае, если действительные части корней характеристического уравнения равны нулю или если один из корней равен нулю, а другой отрицателен, то уравнения первого приближения (21.22) не дают ответа на вопрос об устойчивости состояния равновесия. [c.516]

Пусть п = т, тогда корни характеристического уравнения равны [c.172]

Четыре корня характеристического уравнения равны [c.260]

Устойчивость систем автоматического регулирования является одной из основных динамических характеристик этих систем. Понятием устойчивости определяется свойство системы возвращаться к установившемуся состоянию после прекраш,ения действия воз-муш,ения, которое вывело ее из первоначального состояния [7]. Устойчивость линейных (или подлежащих линеаризации) систем автоматического регулирования характеризуется тем, что любое ограниченное по абсолютной величине воздействие вызывает также ограниченное изменение величин, характеризующих состояние системы. Теорией автоматического регулирования доказано, что необходимым и достаточным условием устойчивости системы является отрицательность действительных частей всех корней характеристического уравнения системы. Характеристическое уравнение системы можно получить, если приравнять к нулю знаменатель передаточной функции системы (см. уравнения 5—13). Так, для одноступенчатых редукторов (см. уравнения 5—7) характеристическое уравнение равно [c.146]

Система имеет три положения равновесия В точке 1(0,0) корни характеристического уравнения равны р1 2 = 1/2, следовательно это седло. В точке Р2(1/2/3, 0) получаем р = —1/2, р2 = +(1 —2а/3)/[2(1 + 2а/3)], [c.65]

Корни характеристического уравнения равны, когда [c.197]

Для точки Р корни характеристического уравнения равны = о > и 2 = -с < О, следовательно, Р - седло при любых положитель значениях параметров. . [c.136]

Корни характеристического уравнения равны X,, 2 = 4 . Вопрос об устойчивости решается с помощью функции у(х,у) = Ьх + ау . [c.351]

Рассмотрим теперь случай, когда b>k, т. е. когда сопротивление по сравнению с восстанавливающей силой велико. Вводя обозначение Ь —найдем, что в этом случае корни характеристического уравнения (78) равны П1 =—Ь г, т. е. оба действительны и отрицательны (так как г<СЬ). Следовательно, решение уравнения (76), описывающее закон движения точки, имеет при b>k вид [c.240]

Л расположена справа от мнимой оси, то аргумент вектора меняется на —я. Обращаясь к формуле (30) и учитывая, что изменение аргумента произведения равно сумме изменений аргументов сомножителей, заключаем, что общее изменение аргумента характеристического вектора, вычерчивающего годограф Михайлова, будет равно тл/2, если все корни Я,- характеристического уравнения расположены слева от мнимой оси, и будет заведомо меньше, чем тя/2, если хотя бы один корень расположен справа от мнимой оси. Отсюда следует, что годограф Михайлова будет протекать так, как это [c.224]

Рассмотрим теперь консервативную систему. Пусть (Oi, со ,. ... .., й) —ее собственные частоты (см. б этой главы). Собственными колебаниями системы служат гармонические колебания с этими частотами, а это означает, что все корни характеристического уравнения консервативной системы — чисто мнимые и что они равны [c.247]

Так как n = k, то Xj = Xj = — я, т. е. корни характеристического уравнения являются вещественными и равными. Уравнение движения груза имеет вид [c.95]

Характеристическое уравнение имеет вид корни равны [c.227]

Пусть 1, Яг,. .., Яп — действительные части корней характеристического уравнения, взятые со знаком минус. Если наименьшее из чисел Я, равно нулю, то устойчивость движения зависит лишь от свойств членов измерений более высоких, чем первый, в правых частях уравнений, которым удовлетворяют величины Ха, и выбором этих членов можно сделать движение устойчивым или неустойчивым, по желанию ). [c.344]

Это линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами легко решается обычным приемом составления характеристического уравнения. Замечая, что корни характеристического уравнения в данном случае будут чисто мнимыми и равными ki, заключаем, что общее решение (второй интеграл) уравнения движения (4) будет [c.64]

Пусть теперь при е = 0 характеристическое уравнение (5) системы (3) имеет только чисто мнимые корни го (А =1, 2,. .., п). Тогда уравнение (14) при е = 0 имеет только такие корни (мультипликаторы), модули которых равны единице. Изучим поведение мультипликаторов при малых е, отличных от нуля. [c.399]

Здесь г равно показателю кратности корня a+Pi в характеристическом уравнении + = 0 (если характеристическое уравнение такого корня не имеет, то г = 0) Р/(х) и Q,(x) —полные многочлены от х степени I с неопределен- [c.51]

Обозначим точные значения корней характеристического уравнения (20.103) через % = — h riji, а приближенные значения через kj = — hj kji, где h, вычислены по формулам (20.105), а йу —корни частотного уравнения (20.104). Покажем, что сумма точных значений корней характеристического уравнения равна [c.500]

Впервые такой критерий в общем виде был разработан и предложен еще в 1877 г. английским математиком Раусом по просьбе своего товарища по выпуску из Кэмбридж-ского университета Д. К- Максвелла, когда последний, занимаясь теорией автоматических регуляторов, предложил Раусу эту чисто математическую задачу (1873 г.). Рассуждения Рауса основываются на том обстоятельстве (известном, впрочем, еще со времени Коши), что число перемен знака некоторых коэффициентов, вычисляемых по определенным правилам по значениям коэффициентов характеристического уравнения, равно числу корней с положительной действительной частью. [c.134]

Число корней характеристического уравнения равно числу незавиопшх реактивных элементов схемы (два последовательных или параллельных элемента одного знака, например, даа параллельно включенных конденсатора следует счшать за один элемент). [c.656]

У (х) = х [Qi (х) os bx + Q., (х) sin bx], где Qj (х) и Qiix)—многочлены степени т с неопределёнными коэфициентами, р—кратность корня характеристического уравнения, равного а -f- Ы (если число а + Ы не явля т-ся корнем характеристического уравнения, то р = 0). [c.169]

Для точки С корни характеристического уравнения равны Xj = т.е. С - асимптотически устойчивое положение равновесия системы (4.19) типа узла при всех А > 0. Вблизи точки С на экваторе фазовые траектории стремятся к С при t —> +оо, а от точки С, они отходят [направление движения сменено на обратное, так как правые части системы (4.18) домножались на z]- [c.121]

Теорема 2.3. Если характеристическое уравнение системы первого приближения не имеет корней с положительными вещественными частями, но имеет корни с вещественными частями, равными нулю, то Щ1ены высших порядков в уравнениях возмущенного движения можно выбрать так. чтобы получить по желанию как устойчивость, тате и неустойчивость. [c.83]

Действительно, если среди п корней характеристического уравнения есть п — к корней с положительными или равными нулю действительными частями, то можно исключить соответствующие им частные интегралы из состава общего интеграла системы уравнений (II. 331а), подбирая сответствующим способом п — к постоянных интегрирования. Но тогда нельзя удовле- [c.336]

Действительно, рассмотрим для наглядности случай и = 2. Характеристическое уравнение (14) будет уравнением четвертого порядка. Пусть Pj (у = 1, 2, 3, 4) — его корни при е = 0. Будем изо-брангать их па комплексной плоскости р (рис. 157, а). Пусть при малых 8 один из корней, нанример pi, сошел с окружности и стал по модулю больше единицы. Из-за вещественности коэффициентов уравнения (14) комплексно сопряженный корень рГ с необходимостью сместился бы в точку, симметричную относительно вещественной оси, А так как число всех корней равно четырем и смещения корней р2> при малых е ма ы, то у сместившегося корня pi [c.399]

Если среди корней характеристического уравнения нет равных (корни аростые), то всегда существует такое [c.98]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...