Функции Якоби

Введенный так функционал W является аналогом действия по Гамильтону 1. Он получается из действия по Гамильтону, если функцию Лагранжа заменить на функцию Якоби, t на q и ограничить выбор пучка сравниваемых кривых изоэнергетическим [c.330]

В частном случае, когда рассматривается натуральная (т. е. консервативная) система, действию по Лагранжу можно придать определенный механический смысл. Вспомним с этой целью выражения для Р и АГ и представим функцию Якоби в виде [c.331]

Функция sn и (синус-амплитуда и) представляет собой так назы-ваемую эллиптическую функцию Якоби. Поскольку, согласно уравнению (27), н = / Л то, переходя в равенстве (30) от а к ф [c.412]

Между функциями Якоби существуют очевидные соотношения [c.410]

Из этих соотношений видно, что каждые две функции Якоби могут быть выражены через третью. [c.410]

На основании формул (с) — (h) можно найти производные от функций Якоби. Получим [c.410]

Характеристическая функция Якоби [c.372]

Вместо главной функции Гамильтона введем характеристическую функцию Якоби. Характеристическая функция связана с главной функцией некоторым соотношением. Это соотношение совпадает с соотношением между механическим действием согласно Гамильтону и Остроградскому и механическим действием согласно Эйлеру и Лагранжу. Рассмотрим снова функцию [c.372]

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ЯКОБИ [c.373]

Функция 3 после исключения из нее на основании интеграла анергии разности I — /о называется характеристической функцией Якоби. [c.374]

Основными эллиптическими функциями Якоби являются [c.501]

Функции Якоби по определению удовлетворяют соотношениям [c.502]

Легко находятся производные функций Якоби d sn d sin [c.502]

Значения эллиптических функций Якоби для аргументов, кратных К ) [c.502]

В табл. 10 приведены значения эллиптических функций Якоби для аргументов О, К, 2К, ЗК и АК. [c.502]

Графики эллиптических функций Якоби представлены на рис. 95. [c.154]

Это действительно так, если считать, что основная задача механики состоит лишь в интегрировании уравнений движения. Но такая ограниченная точка зрения была бы несправедливостью по отношению к далеко идущим исследованиям Гамильтона. Пользоваться непосредственно главной функцией Гамильтона действительно нельзя, и приходится прибегать к методу Якоби, но тем не менее главная функция Гамильтона остается важной и интересной функцией и служит гораздо более глубоким целям, чем простое интегрирование канонических уравнений. Поэтому сравнение tt -функции Гамильтона с S-функцией Якоби заслуживает того, чтобы на нем остановиться. Постигнув все тонкости теории Гамильтона, мы придем к заключению, что в теории Гамильтона два уравнения в частных производных столь же необходимы и естественны, как одно уравнение в теории Якоби. [c.292]

До сих пор аналогия с S-функцией Якоби, удовлетворяющей тому же самому дифференциальному уравнению, кажется совершенно полной. Обе функции зависят от 2п переменных и каждая из них может рассматриваться как производящая функция некоторого канонического преобразования. После интегрирования уравнения (8.5.4) обе функции будут содержать п констант интегрирования. [c.293]

При помощи S-функции Якоби производится преобразование изоэнергетических поверхностей Н = Е в плоскости Qn = Е. Смысл уравнения в частных производных заключается здесь в том, что в одну из новых переменных Q преобразуется функция Гамильтона. В гамильтоновом случае ситуация совершенно иная. Построение Гамильтона вовсе не преобразует изоэнергетические поверхности в плоскости оно целиком развертывается на изоэнергетической поверхности Я = , не выходя за ее пределы. В случае Якоби мы имеем регулярное преобразование, разрешимое как относительно Qk, Pk, так и относительно Qk, Pk- Здесь нет тождества, которому бы удовлетворяли координаты, так как уравнение в частных производных устанавливает некоторое соотношение не между одними qk, pt, а между q , Pk и Q . [c.293]

Для того чтобы показать это, вернемся к развитой ранее теории бесконечно малых преобразований (см. гл. VII, п. 7). Будем считать S-функцию Якоби производящей функцией бесконечной последовательности непрерывно изменя- [c.300]

Некоторые сведения из теории эллиптических интегралов и эллиптических функций Якоби. В этой главе и в некоторых других разделах книги будут использоваться так называемые эллиптические интегралы и эллиптические функции. Дадим здесь необходимые [c.184]

Эллиптические функции Якоби удовлетворяют следующим легко проверяемым тождествам [c.186]

Пусть при = О = 0. Тогда из (19), согласно п. 95, получаем Л = am т. Решение уравнений Эйлера (6) в рассматриваемом случае записывается через эллиптические функции Якоби в виде [c.196]

Принцип Мопертюи-Лагранжа. При заданной константе энергии h уравнения движения консервативной или обобщенно консервативной системы могут быть записаны в форме уравнений Якоби (см. уравнения (36) п. 152). Эти уравнения имеют форму уравнений Лагранжа второго рода, где в качестве функции Лагранжа L выступает функция Якоби Р, а роль независимой переменной играет обобщенная координата qi. По аналогии с действием S по Гамильтону введем действие по Лагранжу [c.483]

Пусть система консервативна. Тогда функция Якоби Р вычисляется по формуле (38) п. 152 и действие по Лагранжу может быть преобразовано к виду [c.484]

Пусть теперь движение системы происходит в потенциальном поле (П 0). Тогда функция Якоби Р может быть вычислена по формуле (40) п. 152. Поэтому [c.487]

Уравнения можно выразить также не через эллиптические функции Якоби, а через 1 >-функции Вейерштрасса. [c.316]

Мы получили уравнения траектории в виде К = X (в), (х = (0). Параметр для эллиптических функций Якоби в выражении (17.12.3) определяется формулой (17.12.4), а соответствующий параметр в выражении (17.12.8) — формулой (17.12.9). [c.326]

Величина to в уравнении (34.5) — произвольная постоянная и эллиптическая функция Якоби sn имеет в качестве [c.100]

Итак, решение, выраженное через эллиптические функции Якоби модуля к, таково ) для > 2ВТ [c.168]

Эти функции sin (am и), eos (am и), А (am а) называются эллип тичсскими функциями Якоби. [c.410]

Тепс )ь для функций Якоби применяют также обозначения [c.410]

Некоторые сведенпя из теории эллиптических функций Якоби. Интеграл [c.153]

Решение. Рассматриваемый интеграл является решением дифференциального уравнения x-=f x) с начальным условием л (0) = =0. Вводя фазовое л-, р-пространство и гамильтониан H=pf x), мы получи.м возможность использовать мощные методы теории канонических преобразований. Рассмотрим функцию Якоби. г= =sn(/, k) — эллиптический спиус. В этом случае f= [c.319]

ЛКПТИЧ6СКЙХ функций в - расстояние между рядами. Функции Якоби от аргумента X определяются при значении моду.дя К, а от аргумента -npi К. [c.86]

В литературе дифференциальное уравнение (7.9.22) часто называют дифференциальным уравнением в частных производных Гамильтона — Якоби . Это название совершенно справедливо. Несмотря на фундаментальную важность функции расстояния Гамильтона, его первоначальная схема была неприемлема для целей практического интегрирования. Замечательное открытие Гамильтона дало Якоби ключ к каноническим преобразованиям, что в свою очередь расширило рамки применимости метода самого Гамильтона. С помощью функции Якоби S, на которую наложено гораздо меньше условий, можно найти и гамильтонову lF-функцию. Но было бы практически невозможно найти U -фyнкцию непосредственно путем решения двух совместных уравнений в частных производных. Связь между этими двумя теориями будет обсуждаться более подробно в следующей главе. [c.263]

Тем не менее для того, чтобы обнаружить существенное различие между этими двумя функциями, не нужно даже прибегать к помощи второго уравнения в частных производных. В теории Якоби энергетическая постоянная Е была одной из новых переменных Qn- Кроме энергетической постоянной Е, в рещении содержалось лишь п — 1 констант интегрирования. В теории Гамильтона все переменные находятся в равном положении и энергетическая постоянная играет роль заданной константы, а не переменной. Гамильтоново решение уравнения в частных производных является не полным, а -сверхполнымъ, так как оно содержит на одну константу больше, чем полное решение. Однородность по всем переменным является характерным свойством, отличающим гамильтонову U -функцию от S-функции Якоби. Эта однородность приводит к тому, что преобразование, определяемое функцией W, в корне отличается от S-преобразования. [c.293]

Приравнивая каждую часть уравнения (17.12.1) величине 2 0, можем выразить X и (А через 0 множеством способов, используя эллиптические функции Якоби или Вейер-штрасса. В результате получим уравнения кривой в параметрической форме X = X (0), U = [А (0). Для иллюстрации приведем один из способов интегрирования. [c.326]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...