Ось стержня изогнутого дифференциальное уравнени

Гибкость стержня. При выводе формулы Эйлера было использовано дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня, справедливое только в пределах действия закона Гука. Отсюда следует, что формула Эйлера также справедлива только в том случае, если потеря устойчивости происходит при напряжении Окр, меньшем предела пропорциональности Опц. Условие справедливости формулы Эйлера можно представить в виде о р < Опц. Подставляя в это неравенство значение о р из выражения (2.76), получим [c.166]

Пример использования вариационного пути получения дифференциальных уравнений и естественных граничных условий в механике твердого деформируемого тела. Пример 15.1. Получить уравнение равновесия изогнутого стержня как уравнение Эйлера вариационной проблемы о минимуме функционала потенциальной энергии системы 1). [c.444]

Для определения осевого перемещения точки оси болта на опорном торце гайки (головки болта) от изгиба фланца под действием внешней нагрузки схематизируем фланец в форме стержня. В этом случае дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня (ось у перенесена в точку О) [c.281]

Ои вывел общие уравнения равновесия для пространственной изогнутой кривой стержня в предположении больших прогибов. Он доказал далее, что если силы приложены только по концам стержня, то эти уравнения оказываются тождественными с уравнениями движения твердого тела относительно неподвижной точки. Благодаря этому стало возможным уже известные решения динамики твердого тела применить непосредственно к определению деформации тонкого стержня. Этот прием получил известность под наименованием динамической аналогии Кирхгоффа. В качестве простого примера применения этой аналогии сопоставим поперечное выпучивание сжатого стержня АВ (рис. 131, а) с колебанием математического маятника (рис. 131,6). Оба эти явления описываются одним и тем же дифференциальным уравнением, существующая же между ними связь сводится к следующему если точка М движется но кривой АВ с постоянной скоростью, так что дугу АВ она проходит за время, равное полупериоду маятника, и если М начинает удаляться от в тот момент, когда маятник находится в крайнем положении п касательная к кривой в А образует с вертикалью угол, равный тому, которым определяется крайнее положение маятника, то и при всяком [c.307]

Рассмотренный пример шарнирного закрепления обоих концов стержня, когда его изогнутая ось при потере устойчивости представляет собой одну полуволну синусоиды, принято называть основным случаем продольного изгиба. При других способах закрепления концов стержня формулу для определения критической силы можно так же, как и для основного случая, получить путем составления и решения соответствующего дифференциального уравнения. Для некоторых простейших случаев можно прийти к формуле для критической силы путем сопоставления формы изогнутой оси с той, которая получается у стержня с шарнирно закрепленными концами. Например, стержень с жестко защемленным нижним и свободным верхним концом при потере устойчивости изогнется, как показано на рис. 12.7. Он будет находиться в таких же условиях, как половина стержня по рис. [c.452]

Рассмотрим вопрос о критической силе сжатого стержня, оба конца которого закреплены шарнирно (рис. 12.6, а). Пусть стержень находится в несколько изогнутом состоянии (рис. 12.6,6). Допустим, что потеря устойчивости происходит при напряжениях, не превышающих предела пропорциональности (Тпц материала стержня. При этом условии справедливо дифференциальное уравнение упругой линии [см. формулу [c.323]

Рассмотренный пример шарнирного закрепления обоих концов стержня, когда его изогнутая ось при потере устойчивости представляет собой одну полуволну синусоиды, принято называть основным случаем продольного изгиба. При других способах закрепления концов стержня формулы для определения критической силы можно получить составлением- и решением соответствующего дифференциального уравнения так же, как и для основного случая. [c.276]

Для тонкого кривого бруса с круговой осью дифференциальное уравнение изогнутой оси будет аналогично уравнению для прямого бруса (уравнение (79) стр. 124). Пусть А B D (рис. 334) представляет ось кругового кольца после деформации и и означает малые радиальные перемещения отдельных точек этой оси. Изменение кривизны оси стержня при изгибе можно исследовать, рассматривая элемент тп кольца по деформации и соответствующий, заключенный между теми же радиусами, элемент деформированного кольца (рис. 334, 6). Первоначальная длина элемента тп и его первоначальная кривизна будут [c.337]

Начнем с простой задачи о стержне с шарнирными концами, нагруженном ОДНОЙ поперечной силой и центрально сжатом двумя равными и противоположными силами 6 (рис. 24). Предполагая, что стержень имеет плоскость симметрии, в которой действует сила Р, мы принимаем, что изгиб происходит в этой же плоскости. Дифференциальные уравнения изогнутой оси для двух участков стержня будут [c.30]

Работы Эйлера по продольному изгибу продолжил Лагранж. В первом мемуаре посвященном этому вопросу, Лагранж не ограничился исследованием наименьшей критической силы, а рассмотрел так называемые критические силы высших порядков, когда изгиб оси стержня происходит по двум, трем и большему числу полуволн синусоиды. Лагранж изучил зависимость стрелы прогиба от величины нагрузки в случае, когда последняя превышает критическое значение. Он нашел интеграл точного дифференциального уравнения изогнутой оси при помощи разложения искомого решения в ряд. Лагранж решил также задачу о продольном изгибе стержня, ограниченного какой угодно поверхностью вращения второго порядка. Тогда же он поставил задачу о наивыгоднейшем очертании колонн — об очертании стержня, выдерживающего без изгиба данную сжимающую нагрузку и имеющего наименьший вес. Однако ему не удалось найти удовлетворительного решения этой задачи. Впоследствии ею занимались Т. Клаусен, Е.Л. Николаи и др. [c.168]

В истории теории упругости и сопротивления материалов видное места занимают работы Даниила Бернулли и Эйлера о поперечных колебаниях упругих стержней (см. также гл. IX). В конце приложения Об упругих кривых к трактату Метод нахождения кривых линий... (1744 г.) Эйлер поставил задачу о малых колебаниях стержня, обосновал замену кривизны стержня второй производной (Pyldx и впервые вывел приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси. [c.169]

Французский инженер и ученый Луи Мари Анри Навье (1785—1836) привел в систему все разрозненные сведения, многое исправил и дополнил своими исследованиями. В то время как исследователи XVIII века ставили своей целью составить формулы для вычисления разрушающих нагрузок, Навье признал наиболее правильным находить то значение нагрузки, до которого сооружения ведут себя упруго — не получают остаточных деформаций. Он установил, что нейтральный слой изгибаемой балки проходит через ее ось, и дал правильное толкование постоянной С, входящей в формулу Бернулли =EJ применил дифференциальное уравнение изогнутой оси к различным случаям загружения балок и разработал метод решения статически неопределимых задач при растяжении, сжатии и изгибе исследовал продольный изгиб при эксцентричном приложении сжимающей нагрузки, а также сложные случаи совместного действия изгиба с растяжением или сжатием, изучил изгиб кривых стержней (арок), пластинок и др. В 1826 году Навье издал курс сопротивления материалов. Эта книга нашла широкое признание, ею пользовались как основным руководством инженеры во многих странах в течение нескольких десятков лет. [c.560]

Стойка может быть сделана более прочной путем увеличейия момента инерции и радиуса инерции , что может быть очень часто выполнено без какого-либо увеличения площади поперечного сечения путем расположения материала стойки по возможности дальше от нейтральной оси. Таким образом, колонны трубчатого сечения более экономичны, чем колонны со сплошным сечением. Когда гибкость уменьшается, то критическое напряжение увеличивается, и кривая АСВ приближается асимптотически к вертикальной оси. Однако должен быть некоторый предел применения кривой Эйлера для коротких строек. Вывод выражения для критической нагрузки основан на применении дифференциального уравнения (79) для изогнутой оси, а при вьшоде этого последнего предполагалось, что материал совершенно упругий и следует закону Гука Хсм. 31). Поэтому кривая АСВ на рис. 240 дает удовлетворительные результаты лишь для сравнительно гибких стержней, для которых о р остается в пределах упругости материала. Для коротких стоек, для которых а р, полученное из уравнения (147), выше предела пропорциональности материала,кривая Эйлера не дает удовлетворительного результата и нужно прибегнуть к опытам на продольный изгиб стоек, сжатых за пределом пропорциональности. Эти опыты показывают, что стойки из такого материала, как строительная сталь, которая имеет резко выраженный Предел текучести, теряют [c.228]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...