Верхние и нижние индексы

Цифровые и буквенные индексы при обозначениях рекомендуется писать шрифтом размера на один ранг ниже размера шрифта основного обозначения. Верхние и нижние индексы должны быть написаны так, чтобы соответствующая линия строки основного обозначения делила их пополам. [c.19]

Конечно, в этих формулах не надо суммировать по одинаковым верхним и нижним индексам. В ортогональных системах координат вместо контравариантных и ковариантных компонент векторов пользуются их проекциями на оси местного координатного базиса. [c.96]

Заметим, что в декартовом базисе й,- различие между верхними и нижними индексами исчезает. [c.313]

Л = A 6i Ate , т. е. одноименные верхние и нижние индексы меняют местами. [c.32]

Свертыванием тензора называется операция суммирования его компонент по любой паре верхних и нижних индексов. При этом его ранг снижается на два. Например, в результате свертывания тензора второго ранга, заданного смешанными компонентами Т/ получается скаляр Т — Т Т + T L который можно рассматривать как тензор нулевого ранга. В результате свертывания тензора третьего ранга, заданного смешанными компонентами f /, по индексам А и / получается вектор с компонентами с == [c.39]

Здесь S — немой индекс. В ранее принятых обозначениях, когда использовались ортогональные декартовы координаты (ортогональный триэдр единичных векторов is), не было нужды в различении верхних и нижних индексов. В общем тензорном анализе оно должно последовательно проводиться немые индексы всегда располагаются один сверху, второй снизу, а свободные имеют одинаковое расположение в левой и правой частях формулы. По повторяющемуся дважды снизу или дважды сверху индексу суммирование не ведется. Например = 3 (три слагаемых), тогда как запись gss представляет одночлен (значение gst при S = ). [c.871]

Не представляет большого труда аналогичное по существу доказательство для форм с перестановленными верхними и нижними индексами входящих в них величин. [c.366]

Различия между векторами i , и нет. Эти обозначения применяются исключительно для удобства с целью сохранения правила суммирования по немым верхним и нижним индексам. [c.15]

Одновременное употребление верхних и нижних индексов принято для единообразия с обозначениями тензорного исчисления. [c.8]

Здесь суммирование производится по верхним и нижним индексам а, Р, обозначающим номера интервалов по времени и номера точек разностной сетки на поверхности оболочки или пластинки. и и в узлах — свободные переменные (на знак их не наложены ограничения), величины О — несвободные переменные (могут быть только положительными). В соответствии с изложенным ограничения-равенства (10.2), неравенства (10.3) и (10.7) составляются для каждого интервала времени и точек разностной сетки. Функционал (10.8) — линейный по и в узлах сетки. [c.327]

Суммирование производится по верхним и нижним индексам, повторяющимся два раза. [c.30]

Набор переключателей Над/Подстрока являются разновидностью вставки индексов. Отличие заключается в том, что строка-основание может иметь различную высоту, а верхние и нижние индексы центрируются относительно строки-основания. [c.481]

В случае декартовых координат г,, и г совпадают с ортами в,, различать верхние и нижние индексы нет необходимости, г = Э, = Э/Эх,. Декартовых координат достаточно для установления многих соотношений тензорного анализа. Например, фадиент произведения скаляров [c.26]

Свертки компонент тензоров аффинной деформации по верхнему и нижнему индексам приводят к выражениям [c.54]

В них, как и во всем последующем, опущен знак суммирования по повторяющемуся верхнему и нижнему индексу ( немому индексу). Формулы (6), непосредственно проверяемые по (3) и (4), [c.423]

Обратное утверждение здесь доказываться не будет (см. [8241, стр. 310). Допустим, что существует целое число п, такое, что область значений и нуль-пространство оператора (ао — /С)" являются взаимно дополнительными, а область значений оператора (ао — /С)" замкнута, и пусть т 1 — наименьшее из таких целых чисел. Тогда оператор резольвенты (а — К) имеет в точке ао полюс порядка т. Если областью определения оператора К является все ( -пространство и /С — вполне непрерывный оператор, то каждая ненулевая точка спектра является полюсом ([8241, стр. 311). По существу этот результат вытекает из факта конечности верхнего и нижнего индексов вполне непрерывного оператора. [c.201]

Пусть i n , п = О, 1,2,. . ., оо, есть полный набор ортонормированных векторов. Введем оператор а согласно уравнениям а Уд = О, аЧ п = л = 1, 2,. ... а) Указать область определения и область значений оператора а. Найти спектр оператора а, указав по отдельности точечный, непрерывный и остаточный спектры. Является ли а изометрическим оператором Имеет ли он левый или правый обратный оператор Если да, то каковы эти операторы Является ли а ограниченным оператором Является ли Он вполне непрерывным оператором Является ли он нормальным оператором Чему равны его верхний и нижний индексы Найти область аналитичности оператора резольвенты (г — )" . Для каких значений Y и для каких V уравнение Ч = V -г имеет решение Когда оно единственно б) Дать ответ па те же самые вопросы для оператора Ь =- а К [c.204]

И, следовательно, не имеет смысла различать верхние и нижние индексы тензорных величин. [c.44]

Для этого соединения следует обратить внимание на важную деталь обозначений Внутренние силы в узле (или силы в элементе) обозначаются символом Р, а внешние силы в узле — через Р с соответствующими верхними и нижними индексами в каждом случае Здесь не вводятся отдельные символы для моментов в элементе и внешних моментов в угле, так как нигде в одной и той же задаче не будут фигурировать все величины сразу. [c.72]

Мы будем использовать для спинорных индексов, пробегающих два значения 1, 2, средине буквы греческого алфавита Х, ц,. .. и подразумевать суммирование по повторяющимся (верхнему и нижнему) индексам от 1 до 2. Первые же греческие буквы а, Р,. .. мы сохраним для пробегающих три значения тензорных индексов обычного 3-пространства. [c.443]

ВЕРХНИЕ И НИЖНИЕ ИНДЕКСЫ [c.13]

Такие же ф-лы справедливы для величин с нункгирными индексами.) По двум одинаковы.м. верхнему и нижнему, индексам пр0И31ЮЛИ.гся суммирование. Величины шпа Оф —и Оф = 01ф являются лоренцовыми скалярами. Дифференцирование по образующим производи (ся посредством дифференц. операторов [c.33]

Следует пояснить некоторые введенные нами обозначения. Верхние и нижние индексы используются для обозначения различных величин. Так, i —символы различных переменных. Вектор е который будет введен в следующем параграфе, отличается от ei. Применение верхних и нижних индексов не только в значительной мере способствует ясности последующего изложения, но имеет также более глубокий смысл в связи с понятиями ковариантности и контравариантности. Более полное обсуждение этих понятий выходит за рамки данной книги (за исключением главы 12). Чтобы не смешивать верхний индекс со степенью, мы будем при необходимости заключать в скобки величину, возводимую в степень. Так, например, (g ) обозначает квадрат а (ез) — куб сг. Если встречающийся в тексте символ, например г, используется без верхнего индекса, то необходимость в скобках отпадает и тогда, например, r будет, как обычно, обозначать квадрат г. [c.21]

Коэффициент при р равен нулю в соответствии с решением задачи № 6 Упражнений к главе 2. Производная d ijldi выражена через dy ijdt путем перемены местами верхних и нижних индексов в уравнении (2.35). [c.368]

Перепишем уравнение (5.4) с заменой индексов i и / на / и т. Умножим обе его стороны на yuyjm и просуммируем по / и т. Первый член, по определению, совпадает с пц. Второй член, в силу (1.21), сводится к pyij. Третий член будет равен —r dyijldt при перемене в (2.35) местами верхнего и нижнего индексов. В резуль тате приходим к требуемому равенству задачи. [c.371]

Замечание. Если тензор имеет верхние и нижние индексы, а порядок последних для этого тензора является существенным, то ставятся дополнительные точки, фиксирующие место индекса. Так, например, символ означает, что в обратно симметричном тензоре с нижиий (ковариаитиый) индекс а стоит на первом месте, а верхний (контравариантный) индекс Р — ва втором. Для а и 6 точки не ставятся, так как эти тензоры — симметричны. [c.89]

Диалоговое окно Шрифт (Font) позволяет задать несколько видов подчеркивания, зачеркивание символов, верхний и нижний индексы, набор малыми прописными и только прописными буквами независимо от регистра. [c.227]

Итак, различаем верхние и нижние индексы, контравариантные и ковариантные компоненты. Почему же в декартовом базисе этого не было Потому, что совпали базис и кобазис, а с ними и компоненты — индексы можно было писать на одном уровне. Для введения в тензорное исчисление декартовых базисов достаточно. В дальнейшем мы увидим, что косоугольные базисы полезны и даже необходимы. [c.23]

Теперь, как и в случае декартовых координат, рассмотренном в 4.9, образуем новые тензоры с помощью операций сложения, прямого умножения и свертк . При сложении двух тензоров ранга п получим новый тензор того же ранга, а при умножении тензоров рангов п и т получим тензор ранга (п + пг). Однако следует заметить, что эти операции имеют смысл только в том случае, если оба тензора берутся в одной точке 4-пространства. Наконец, операция свертки, которая в случае криволинейных координат заключается в приравнивании верхних и нижних индексов с последующим суммированием, уменьшает ранг тензора на две единицы. Свертка тензора ранга 2 дает тензор нулевого ранга, т. е. инвариант [c.218]

Связь с условием полноты. Допустим, что ограниченный оператор К имеет только точечный спектр а , и пусть верхний и нижний индексы оператора К — равны Мп- Кроме того, допустим, что оператор резольвенты (а — К) можно разложить в ряд Миттаг-Леффлера [c.202]

В данной главе рассматривается только отдельно взятый конеч ный элемент. Все выражения записываются так, как если бы вс конструкция являлась конечным элементом, поэтому нет необхс димости вводить верхние и нижние индексы, чтобы различать глс бальные и локальные величины. [c.152]

Моя большая благодарность сотрудникам издательства Мак-Гроу-Хилл, особенно Джеку Мейзелу, за терпеливость и старательность, с которой они выверили огромное количество математических символов и верхних и нижних индексов в моей рукописи. Мне доставляет удовольствие поблагодарить также миссис Д. Уиджент, которая с энтузиазмом взялась за перепечатку всей рукописи и с большим подъемом проделала эту огромную работу. [c.8]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...