Усреднение в гамильтоновых системах

Усреднение в гамильтоновых системах [c.181]

Теорема 10. В гамильтоновой системе с п степенями свободы и п частотами эволюции медленных переменных не происходит в том смысле, что усредненная система имеет вид / = 0. [c.182]

Теорема 11. В гамильтоновой системе с п степенями свободы и г<п частотами переменные, сопряженные быстрым фазам, являются интегралами усредненной системы. [c.184]

Шестая глава посвящена важнейшему разделу механики — гамильтонову формализму. Основная цель этого раздела — представить математические аспекты гамильтоновой динамики как мощный аппарат решения широкого круга задач механики, физики и прикладной математики. В лагранжевом подходе проблема решения уравнений лежит вне рамок лагранжева формализма. Положение меняется в гамильтоновом подходе, который позволяет получить решение как каноническое преобразование начальных данных, не обращаясь непосредственно к уравнениям. Вся информация об эволюции системы содержится в одной функции — гамильтониане в результате канонического преобразования можно получить новый гамильтониан, который в определенном смысле мал . Более того, поскольку все операции ограничены рамками группы движения кососимметричной метрики, то удается создать универсальные алгоритмы построения приближенных решений. В рамках гамильтонова подхода изложены теория специальных функций, каноническая теория возмущений, метод усреднения нелинейных систем, методы анализа движения системы в быстропеременном внешнем поле и т.д. Особый интерес представляет лекция 30, в которой развит метод Дирака удвоения переменных, позволяющий представить в гамильтоновой форме систему нелинейных уравнений общего вида и получить решения уравнений, описывающих сингулярно-возмущенные системы, решения алгебраических и трансцендентных уравнений, разрешить проблему обращения интегралов и т.д. В лекции 32 приведено решение задачи о движении релятивистской частицы в гиперболическом волноводе, представляющей интерес для проблемы сепарации частиц по энергии и удельному заряду. В рамках канонического формализма рассмотрена задача о движении протонов в синхрофазотроне. [c.8]

Применение принципа усреднения. Пусть невозмущен-ная гамильтонова система вполне интегрируема, некоторая область ее фазового пространства расслоена на инвариантные торы, в этой области введены переменные действие—угол [c.181]

В соответствии с этой теоремой для медленных фаз и сопряженных Им переменных при усреднении получается приведенная гамильтонова система с п—г степенями свободы. Если число быстрых фаз лишь на единицу меньше числа степеней свободы (однократное вырождение), то приведенная система имеет одну степень свободы. Следовательно, при однократном вырождении принцип усреднения позволяет приближенно проинтегрировать задачу (как и в невырожденном случае). [c.184]

Теорема 12. Частично усредненная с учетом г независимых резонансов гамильтонова система имеет п—г интегралов в инволюции, являющихся целочисленными линейными комбинациями первоначальных медленных переменных Ij. [c.187]

Рассмотрим гамильтонову систему с п>2 степенями свободы, гамильтониан которой зависит от плавно изменяющегося параметра Я. Предположим, что при каждом фиксированном Я. система вполне интегрируема, так что можно ввести переменные действие — угол /, <р. Для этой системы справедливы предложения I и 2 п. 4.1 (доказательство дословно то же) изменение /, ф описывается системой вида (36), а действия I—интегралы усредненной системы. Как ведут себя переменные / в точной системе [c.219]

В первой половине XX века интерес к поиску интегрируемых случаев несколько упал. Во многом это связано с пониманием широкими слоями математиков результатов А. Пуанкаре о неинтегрируемости типичной гамильтоновой динамической системы [144]. В сознании математиков это обесценило многие результаты классиков и привело к разработке новых методов теории возмущений принцип усреднения, КАМ-теория и пр. [c.15]

В случаях, когда частоты невозмущенного движения близки к целочисленной соизмеримости, для приближенного описания эволюции используется частичное усреднение с учетом резонансов (п. 1.1). Для рассматриваемых гамильтоновых систем оно. очевидно, сводится к отбрасыванию в разложении Фурье возмущенного гамильтониана всех гармоник, фазы которых при рассматриваемых соизмеримостях изменяются быстро. Э га процедура также приводит к появлению интегралов усредненной системы. [c.187]

Применим метод усреднения к гамильтоновым системам (21.5). Если выполняется условие невырожденности (21.6), то большая часть невозмущенных орбит эргодична на торах р = onst. Поэтому такие системы можно представить в виде (22.3) с I = р, = Ъ к = п [c.105]

Пример 12 Задана Гаусса). Рассмотрим круговую ограниченную задачу трех тел (не плоскую). Массу Юпитера будем считать малой, по сравнению с массой Солнца. Уравиения движения относительно вращающейся системы отсчета, введенной при описании примера 10, в канонических элементах Делоне I, С, 0, I, д, О (гл. 2) однократно вырождены — угол д (аргумент широты перицентра астероида) в невозмущенном движении постоянен. Усреднение по быстрым фазам /, д в этой задаче называется усреднением Гаусса. Согласно теореме 2.1, величины 0 —интегралы усредненной системы. Изменение О, ц после усреднения описывается гамильтоновой системой с [c.184]

В 5.5 для определения первого приближения в гамильтоновых системах использовался метод вариации произвольных постоянных в сочетании с методом усреднения. Фон Цайпель [1916] предложил методику для нахождения высших приближений. В этом параграфе дается ее описание и рассматривается ее применение к первым двум примерам предыдущего параграфа. Суть [c.205]

Предполагается, что читатель знаком с обычным курсом аналитической механики (в частности, с основными фактами динамики твердого тела). Достаточно, например, знакомства с учебником В. И. Арнольда Математические методы классической механики (М., Паука , 1974). При изложении материала часто используется известная теорема Лиувил-ля-Арнольда об интегрируемых гамильтоновых системах, а также связанные с ней идеи и понятия, такие, как инвариантные торы, квазипериодические движения на торах, усреднение и т. д. [c.13]

Теория KAM —это теория возмущений условно-периодиче- iaix движений гамильтоновых и родственных им систем в целом для бесконечных интервалов времени. Она дает, в частности, строгое оправдание фундаментальному выводу об отсутствии эволюции в таких системах, вытекающему нз эвристического принципа усреднения и формальных процедур интегрирования. [c.197]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...