Растягивающие отображения

Свойства динамической системы, например наличие в ней диссипации энергии, также можно связывать со свойством сжимаемости. Такого рода связи тоже достаточно прочно ощущаются. Совершенно иная ситуация возникает, как только наряду со сжатием появляется растяжение. Именно с такими не только сжимающими, но и растягивающими отображениями неразрывно связана стохастичность в динамических системах. Как уже говорилось, стохастичность — следствие глобального сжатия при локальной неустойчивости. [c.125]

Аналитически показано, что при определенных значениях Fi, б и р в системе возникают стохастические автоколебания, описываемые кусочно-линейным растягивающим отображением отрезка в себя. [c.264]

Рис. 1.7.1. Периодические точки растягивающего отображения

Помимо периодических и плотных орбит имеются другие типы асимптотического поведения орбит растягивающих отображений. Можно указать такие орбиты для Е2 (см. упражнение 1.7.5), но самый простой и наиболее изящный пример появляется для отображения Е . [c.54]

Тем более удивительно, что, как мы увидим в 2.4, структура орбит растягивающего отображения в целом в определенном смысле обладает замечательной устойчивостью. [c.55]

Гиперболические автоморфизмы тора представляют собой довольно естественный обратимый аналог растягивающих отображений Е . Они имеют весьма схожие свойства, и их анализ даст нам возможность испробовать некоторые важные методы, используемые в теории гиперболических динамических систем. [c.56]

Как и в случае растягивающих отображений (см. предыдущий раздел), поведение орбит отображения очень чувствительно к положению начальной точки. Любые две орбиты будут расходиться друг от друга с экспоненциальной скоростью при t +00 или при t — —00, часто и в прошлом, и в будущем (всегда до достижения определенного расстояния). Как и ранее, это представляет существенные трудности для численных рассмотрений. Допустим, например, что орбита определяется в численной форме и что начальное условие известно с точностью до третьего десятичного знака, т. е. ошибка в определении начального условия не превышает 1 /2000. [c.60]

Конструкция примера из этого раздела может быть обобщена, например, так. Пусть L R R — некоторая целочисленная (гтг х т)-матрица с определителем + 1 или —1 и без собственных значений, по модулю равных единице, т. е. гиперболическая матрица. Тогда LZ = Z и отображение L обратимо на Z , так что L определяет обратимое отображение т-тора которое имеет свойства, очень сходные с рассмотренными ранее свойствами Fj . Мы будем называть такое отображение гиперболическим автоморфизмом тора. Если опустить ограничение на определитель L, возникающее в результате отображение все еще может рассматриваться как отображение тора, хотя и не обратимое. Такие отображения называются гиперболическими эндоморфизмами тора. Для m = 1 это просто растягивающие отображения окружности. [c.60]

По-настоящему интересные и, возможно, несколько неожиданные примеры— растягивающие отображения из 1.7 и гиперболические автоморфизмы тора из 1.8. Эти отображения имеют сложную структуру орбит (см. предложения 1.7.2, 1.7.3, 1.8.1 и 1.8.4), и сохранение такой структуры при возмущениях, несомненно, показательно. В следующем параграфе мы перейдем к исследованию устойчивости этих примеров, а также некоторых взаимоотношений между ними и символическими системами. На самом деле мы сделаем даже больше, чем просто установим структурную устойчивость отображений Е -. мы покажем, что степень дает полную топологическую классификацию большого класса отображений, который включает С -возмущения Е . [c.83]

Топологическая классификация растягивающих отображений окружности [c.83]

Среди гиперболических эндоморфизмов тора, описанных в конце 1.8, также имеются растягивающие отображения. Кроме декартовых произведений отображений окружности Е х E ) z ,z2) = z ,z ) можно взять [c.84]

Как немедленно следует из (2.4.1), если М — риманово многообразие и / М — М — дифференцируемое растягивающее отображение, то для любого хеМ линеаризация Т М — является растягивающим [c.84]

Если / — растягивающее отображение, то [c.85]

Таким образом, степень любого растягивающего отображения по модулю больше единицы. С другой стороны, отображения E . х f x (mod 1) являются растягивающими для всякого целого к, f > 1. [c.86]

Теорема 2.4.6. Каждое растягивающее отображение окружности / степени к топологически сопряжено с отображением Е . Кроме того, если / достаточно близко к Е в С°-(равномерной) топологии, то сопрягающий гомеоморфизм может быть выбран близким к тождественному. [c.86]

Доказательство. Любое С-малое возмущение имеет производную, равномерно близкую к f , следовательно, по модулю большую чем 1. Поэто- му можно применять теорему 2.4.6. Аналогично, всякое С -малое возмущение растягивающего отображения все еще является растягивающим. [c.88]

Замечание. Несколько более тщательное исследование конструкции доказательства теоремы 2.4.6 позволяет также установить сильную структурную устойчивость любого растягивающего отображения. [c.88]

Наконец, чтобы доказать, что является гомеоморфизмом, если / — растягивающее отображение, следует рассмотреть функциональное уравнение для обратного к нему отображения [c.90]

Абсолютно непрерывная инвариантная мера существует для весьма широкого класса кусочно-растягиваюших отображений, хотя в общем случае невозможно указать явный вид её плотности. К упомянутому классу принадлежат, в частности, растягивающие отображения окружности. Отождествив окружность единичной длины с полуинтервалом [О, 1), можно задать такое отображение уже встречавшейся ф-лой 73с = Рг(/(л )), 0<л<1, Где /—достаточно гладкая ф-ция, определённая на отрезке [О, 1 ] и удовлетворяющая условиям /(0)=0, /(1)—целое число ч/ (х) Х>1 (первый из приведённых выше примеров именно таков). При этих условиях существует абсолютно непрерывная Г-инвариантная мера ц с положительной [c.634]

В 80—90-е гг. в теории одномерных отображений получили распространение методы, связанные с понятием ренорм группы и с теорией К AM (Колмогорова — Арнольда—Мозера). В целом одномерная динамика пока далека от завершения. Последнее в ещё большей степени относится к теории многомерных не всюду растягивающих отображений, к-рая делает только первые шаги. [c.634]

Для динамических систем, описываемых экспоненциально неустойчивым разрывным отображением отрезка в себя, существование предельной плотности вероятностей строго доказано [553]. Поясним качественно, почему такая плотность вероятностей существует. Рассмотрим растягивающее отображение й — Ти и выберем в качестве начальной точку щ. Тогда и, = Тщ, щ = = Tui,. . . Если предположить, что точка Мо может быть задана абсолютно точно, то эта последовательность однозначно определена и ни о каком статистическом ее описании не может быть и речи, поскольку нет никакой случайности и неопределенности. Неопределенность может быть внесена либо за счет задания некоторого начального распределения вероятностей для значения Uo, либо за счет каких-то неконтролируемых помех, нарушающих точное вьшолнение преобразования Т. Из-за растягивающего характера последнего даже при сколь угодно узком начальном распределении вероятностей и при сколь угодно малых помехах в последовательности точек Мо, М(, и ,. .. должна возникнуть случайность, причем случайность, статистическое описание которой не зависит от вида начального распределения и помех. Следовательно, при такой трактовке стохастичность динамической системы — это стохастичность, порождаемая сколь угодпо малыми флуктуациями и замечательная тем, что опа не зависит от этих флуктуаций, а определяется самой динамической системой. [c.218]

В первую очередь это относится к растягивающим отображениям, простейшие из которых — зто отображения окружности 5 = l2]=] в комплексной плоскости, В этом случае марковское разбнепие состоит из дуг arg2s - , / = 0, rh—1. Адекватной сим- [c.235]

Пусть SK —дополнение в С (5 ,5 ) к множеству растягивающих отображении. В [19] доказано, что открытое всюду плотное в подмножество 51 составляют отображения f, для которых fi(f) — каиторово множество и / ii(f) топологически сопряжено ТМ.Ц. Отметим, что аналогичная задача в классе [c.236]

Отметим очень существенное различие между отображениями из всех предыдущих примеров и растягивающими отображениями. В большинстве примеров возвращение либо было очень простым, т. е. имелись только неподвижные точки, как в случаях сжимающих отображений, гиперболических линейных отображений и градиентных потоков, либо, если нетривиальное возвращение имело место, все возвращающиеся орбиты вели себя одинаково, как в случаях сдвигов и линейных потоков на торах. Нужно оговориться, что для общих вполне интегрируемых систем различные орбиты ведут себя по-разному и в то же время нетривиальное возвращение имеет место. Однако фазовое пространство таких систем распадается на инвариантные множества (торы), и все орбиты на таком торе имеют одинаковую структуру. Орбиты же растягивающих отображений с различным поведением (периодического типа, плотные или с замыканием типа канторова множества) переплетены и не могут быть отделены друг от друга. Это делает структуру орбит очень сложной, асимптотическое поведение отдельной орбиты неустойчивым и очень чувствительным к начальному условию. Более того, любые две орбиты будут расходиться друг от друга с экспоненциальной скоростью, пока они не разойдутся на достаточно большое расстояние 6. Следовательно, невозможно предсказать поведение орбиты в течение длительного времени, если начальная позиция известна только с ограниченной точностью. Например, выполнение итераций Е2 на ЭВМ будет, очевидно, давать всего лишь столько осмысленных итераций, сколько есть значащих двоичных цифр в начальных данных. Кроме того, любое увеличение точности будет давать весьма скромное увеличение времени, в течение которого можно делать какие-либо предсказания о поведении данной орбиты удвоение числа значащих цифр в начальных данных и вычислении не более чем удвоит диапазон времени, в течение которого эти предсказания возможны. Аналогично, сокращение ошибки в измерении начальных данных вдвое даст всего лишь возможность произвести еще одну осмысленную итерацию. [c.55]

Здесь мы перешли к аддитивной системе обозначений. Так как с1е1 Ь > 1, то отображение не обратимо. Эта конструкция, очевидно, обобщается на случай произвольной размерности. Пример растягивающего отображения на дифференцируемом многообразии, отличном от тора, приводится в 17.3. [c.84]

Следствие 2.4.8. Отображения Е являются С -сильно структурно устойчивьши для f > 1. Каждое растягивающее отображение окружности С -структурно устойчиво. [c.88]

Вернемся к конструкции 1.7. В ходе доказательства предложения 1.7.2 мы в явном виде построили полусопряжение одностороннего 2-сдвига с отображением Е (см. (1.7.2)). Таким образом, Е2 является фактором сдвига. Эта конструкция, очевидно, обобщается на и Е для произвольного А , [А I > 1, и по теореме 2.4.6 мы можем заменить Е произвольным растягивающим отображением окружности степени к. Необратимость этого полусопряжения возникает из-за того, что любое двоично-рациональное число тп/2 имеет два различных двоичных представления, с нулями либо с единицами в конце. Полусопряжение к 5, сопоставляющее последовательности нулей и единиц ш число между О и 1, двоичное разложение которого задается последовательностью ш, очевидно, не является гомеоморфизмом это полусопряжение имеет счетное плотное множество точек, в которых оно перестает быть инъекцией. Это самый простой случай естественной полусопряженности между символической и гладкой системами. Другой, не столь самоочевидный случай, связанный с гиперболическими автоморфизмами двумерного тора, будет обсуждаться в следующем параграфе. [c.89]

Естественно было бы назвать разбиение (Х ,..Х ), обеспечивающее полусопряжение топологической цепи Маркова с отображением /, взаимно однозначное на большом множестве, и определенное так, что отображение может быть описано некоторым марковским способом, марковским разбиением. Мы отложим детальное обсуждение и строгие определения до 15.1 и 18.7. Сейчас же опишем несколько конкретных ситуаций отличных от случая растягивающих отображений окружности, где марковское разбиение появляется вполне недвусмысленным образом. [c.93]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...