ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Растягивающие отображения из "Введение в современную теорию динамических систем Ч.1 " Алгебраически это отображение представляет собой эндоморфизм группы 5 ==R/Z на себя. С геометрической точки зрения оно является двулистным накрытием S. [c.53] Это первый пример, в котором мы сталкиваемся одновременно с существенно нетривиальным возвращением, как в 1.3-1.5, и с различным асимптотическим поведением для различных орбит, как в 1.2 и 1.6. Комбинация этих двух явлений делает структуру орбит этого преобразования, которое кажется очень простым, гораздо более сложной, чем все структуры орбит, с которыми мы сталкивались до сих пор. [c.53] Определение 1.7.1. Для преобразования f X X обозначим через Р (/) число неподвижных точек отображения / , т. е. число периодических точек / с (не обязательно минимальным) периодом п. [c.53] Следующее утверждение показывает некоторые из особенностей сложной структуры орбит для отображения Е . [c.53] Предложение 1.7.2. Справедливо равенство Р Е ) = 2 - 1. Отображение топологически транзитивно, его периодические точки плотны в S. [c.54] Помимо периодических и плотных орбит имеются другие типы асимптотического поведения орбит растягивающих отображений. Можно указать такие орбиты для Е2 (см. упражнение 1.7.5), но самый простой и наиболее изящный пример появляется для отображения Е . [c.54] Предложение 1.7.3. Существует такая точка xeS, что в аддитивном представлении ш -предельное множество отображения Е представляет собой стандартное троичное канторово множество К. В частности, множество К является Е -инвариантным и содержит плотную орбиту. [c.54] Отметим очень существенное различие между отображениями из всех предыдущих примеров и растягивающими отображениями. В большинстве примеров возвращение либо было очень простым, т. е. имелись только неподвижные точки, как в случаях сжимающих отображений, гиперболических линейных отображений и градиентных потоков, либо, если нетривиальное возвращение имело место, все возвращающиеся орбиты вели себя одинаково, как в случаях сдвигов и линейных потоков на торах. Нужно оговориться, что для общих вполне интегрируемых систем различные орбиты ведут себя по-разному и в то же время нетривиальное возвращение имеет место. Однако фазовое пространство таких систем распадается на инвариантные множества (торы), и все орбиты на таком торе имеют одинаковую структуру. Орбиты же растягивающих отображений с различным поведением (периодического типа, плотные или с замыканием типа канторова множества) переплетены и не могут быть отделены друг от друга. Это делает структуру орбит очень сложной, асимптотическое поведение отдельной орбиты неустойчивым и очень чувствительным к начальному условию. Более того, любые две орбиты будут расходиться друг от друга с экспоненциальной скоростью, пока они не разойдутся на достаточно большое расстояние 6. Следовательно, невозможно предсказать поведение орбиты в течение длительного времени, если начальная позиция известна только с ограниченной точностью. Например, выполнение итераций Е2 на ЭВМ будет, очевидно, давать всего лишь столько осмысленных итераций, сколько есть значащих двоичных цифр в начальных данных. Кроме того, любое увеличение точности будет давать весьма скромное увеличение времени, в течение которого можно делать какие-либо предсказания о поведении данной орбиты удвоение числа значащих цифр в начальных данных и вычислении не более чем удвоит диапазон времени, в течение которого эти предсказания возможны. Аналогично, сокращение ошибки в измерении начальных данных вдвое даст всего лишь возможность произвести еще одну осмысленную итерацию. [c.55] Тем более удивительно, что, как мы увидим в 2.4, структура орбит растягивающего отображения в целом в определенном смысле обладает замечательной устойчивостью. [c.55] Имеются также замечательные примеры одномерных отображений, не являющихся растягивающими. Вот один из этих примеров, с которым мы будем многократно сталкиваться как в упражнениях, так и в основном тексте этой книги. Для Л 6R положим Д R-+R, Д(ж) = Лж(1 -ж). Для 0 Л 4 функции Д отображают единичный интервал / = [0, 1] в себя. Семейство Д, А 6 [0,4], обычно называют квадратичным семейством. Это наиболее популярная модель в одномерной динамике, как вещественной, так и комплексной (в последнем случае отображения естественно продолжаются на С) [ ]. [c.56] Вернуться к основной статье