Случай кратных корней

Вариант 2 = 4ш . Это — случай кратных корней характе- [c.221]

Р1 = Р2 = / (случай кратного корня). Возьмем собственную функцию 1/1(2) ф о, соответствующую корню 0, за базисное решение. Пусть 7/2 — другое базисное решение, независимое от ух. Тогда преобразование функций через период примет вид [c.241]

Рассмотрим теперь случай кратных корней уравнения монодромии. Согласно теореме 3.10.2, резонанс в этом случае отсутствует тогда и только тогда, когда одновременно выполнены равенства [c.248]

Отсюда ясно, что случай кратного корня можно реализовать только при отрицательных значениях координаты 2о- [c.273]

Произведенный анализ устанавливает существование нормальных координат, но не позволяет указать способы нахождения форм Л линейных преобразований (II. 190), независимых от предварительного интегрирования дифференциальных уравнений малых колебаний. Кроме этого, остается нерассмотренным случай кратных корней характеристического уравнения. [c.245]

Случай кратных корней характеристического уравнения [c.252]

Случай кратных корней допускает простую геометрическую интерпретацию в трехмерном пространстве, т. е. тогда, когда число степеней свободы системы равно трем. В трехмерном пространстве уравнение (к) 95 определяет эллипсоид. [c.252]

Для определения частоты колебаний подобные вычисления надо проделать большое количество раз, например для /г 2=1,3 1,7 1,9 и т. д, Наименьшее значение kn , соответствующее случаю кратных корней k2 и кз ) и равное 1,14, не принимают во внимание, так как при этой значении не удовлетворяются краевые условия. [c.306]

Остается рассмотреть случай кратных корней векового уравнения, что интересно не столько в практическом отношении, сколько в математическом. Легко видеть, что уравнения (10.15) не определят тогда даже отношения составляющих Ujk- Пусть, [c.356]

Среди корней могут оказаться кратные. Мы считаем такой случай вырожденным и будем устранять вырождение путем сколь угодно малого изменения коэффициентов aiu и bik. При этом кратные корни разделяются, а затем, уже после исследования, можно выполнить предельный переход. Поэтому можно исключить случай кратных корней и считать, что все Xi различны. [c.181]

На случай кратных корней характеристического уравнения впервые обратил внимание Лагранж в своей Аналитической механике". Излагая теорию колебаний, он указывает (Ж. Лагранж, Аналитическая механика, т. I, 1950, Динамика, отдел шестой, 1, п. 7, стр. 452 и сл.), что координаты системы будут оставаться малыми только при условии, что все корни характеристического уравнения вещественны, положительны и неравны между собой. Нетрудно показать па частном примере, что последнее требование излишне. Рассмотрим колебание материальной точки, лежащей в горизонтальной плоскости и притягиваемой к неподвижному центру с силой, пропорциональной расстоянию. Уравнения движения точки будут [c.424]

Случай кратных корней. Установившиеся движения. Возвращаясь к последнему замечанию п. 30, рассмотрим предположение, что многочлен /(s) в замкнутом интервале от —1 до +1 допускает кратный корень. [c.120]

Прежде чем подставлять их в формулу (8.51), выразим коэффициент линейного трения i в долях от его критической величины —Сд. Критической называется такая величина коэффициента линейного трения, при которой свободное движение упругой системы уже теряет колебательный характер. Вернувшись к 2.1, легко показать, что такое движение соответствует случаю кратных корней характеристического уравнения (2.3). Для рассматриваемой нами линейной колебательной системы с трением, имеющей вид [c.310]

ТпГ, Ьпг, 0о г — изображения начальных значени потенциалов переноса, полученные по формуле [6-10-37). В (Л.6-45] приведены также решения и для случая кратных корней (6-10-47). [c.459]

Выражение (3.52) непригодно для случая кратных корней уравнения (3.53). Чтобы исследовать этот случай, положим сощ — о-п , < П2 — + s) и перейдем в (3.52) к пределу при —) 0. [c.113]

В полученной формуле для производной dfj./du каждый собственный вектор h определяет производную от соответствующего именно ему собственного значения /i. Если же при каком-то возникает случай кратных корней уравнения det [К— А —fiE) = О, то в силу симметричности матрицы К —и А собственные числа остаются дифференцируемыми функциями, и формула для dfx/du" остается верной, однако она требует специального выбора собственных векторов из собственного подпространства, отвечающего кратному корню. Монотонное убывание функции /i(w ) доказано. Заметим далее, что /i(0) > О, поскольку / (0) — собственные числа матрицы К. С другой стороны, < О, посколь- [c.185]

Формула (6.8) и вытекающие из нее выражения для компонент напряжения и смещения показывают, что этот случай (т. е. случай кратных -корней уравнения (6.7)) представляет собой почти полную аналогию со случаем изотропного тела, и поэтому его обычно исключают из рассмотрения. [c.68]

Для корня 8 = 0 применим теорему разложения (случай кратных корней) [c.163]

В работе Ващенко-Захарченко впервые выведена теорема разложения, которая обычно приписывалась Хевисайду, и рассмотрен случай кратных корней. [c.471]

Т. е. получается соотношение, тождественное формуле (19) 6 теоремы разложения (случай кратных корней). [c.504]

Случай кратных корней [c.266]

В качестве другого случая, относящегося к паре маятников, предположим, что имеется сила тяжести, но жесткость соединительной пружины равна нулю при этом вторая круговая частота в выражениях (э) совпадает с первой, т. е. имеет место случай кратных корней. Маятники могут колебаться независимо с одинаковой частотой, а внутренней связи между их амплитудами не существует. [c.222]

Случай кратных корней фундаментального уравнения [c.313]

СЛУЧАЙ КРАТНЫХ КОРНЕЙ ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 315 [c.315]

СЛУЧАЙ КРАТНЫХ КОРНЕЙ ФУНДАМЕНТАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 319 ТО ЭТИ формулы можно записать также следующим образом [c.319]

Доказательство этой теоремы будет нами дано при условии, что все А1,. .., Хт различны и при других предположениях, которые будут нами делаться в соответствующих местах. Для не рассматриваемого здесь случая кратных корней наше доказательство потребует дополнения, которое делает формулы более сложными, но и в этом случае нет ничего непреодолимого. Как известно, соответствующей линейной подстановкой систему можно привести к виду [c.261]

Прочие движения 4-го класса и формы соответствующих сетей 8. Тай как такие движения соответствуют случаю кратных корней у уравнения (р( ) = 0 и, следовательно, у уравнения В х) = 0, то случаи действительных простейших движений вообще соответствуют сетям только (Ь1> типа, а возможность только одних исключительных движений обусловливается предельной формой случая (Ь ), так как соответствующий кратный корень (кратная исключительная точка 1-го рода) уравнения В х) = 0 должен быть тут действителен х р . Но подобное возможно по свойствам коэффициентов алгебраических уравнений только, если- [c.120]

Здесь 1 и %2, как и выще, — корни уравнения частот. Случай кратных корней уравнения частот не требует особого исследования, так как общее реиление системы уравнений (т) в этом случае вновь вытекает из равенств (п), если положить в них 7-1 = -2 - - [c.247]

Случай кратных корней уравнения частот при исследовании движения системы с двумя степеЕшми свободы отличается тем, что при приведении выражения кинетической энергии к каноническому виду (е) оказывается, что и выражение потенциальной энергии П приобретает каноническую форму и переход от системы координат Xi к 0,- становится лишним. При этом существует бесконечное множество систем нормальных координат. Геометрически это можно объяснить так если Jn Ф Х2, то, приравнивая П константе, мы получим в плоскости Ох[Х2 эллипс (рис. 35). Его оси симметрии будут совпадать к осями системы координат 00102- Если A,i = Х2, эллипс превращается в окружность. Тогда осями 0i и 02 могут быть два произвольных взаимно перпендикулярных диаметра этой окружности. [c.247]

Случай кратных корней характеристического уравнения практически встречается редко и не требует применения особых методов иследования. Действительно, если среди корней характеристического уравнения встречается, например, корень кратности т, то т уравнений системы (Ь ) или (о) предыдущего параграфа будут алгебраическими следствиями остальных уравнений. При этом можно определить N — т неизвестных через остальные т, которые могут быть выбраны произвольно. Конечно, эти неизвестные следует выбирать так, чтобы удовлетворялись условия ортогональности. [c.252]

Случай СцС22 — i2 = 0, когда один из корней обращается в нуль, и случай кратных корней, когда Д(С 1/ац) н ДСсза/огг) одновременно равны нулю, вудут рассмотрены ниже. [c.551]

В настоящем изложении опущены многие детали, в частности не доказана иоложительность корней характеристического уравнения, не разобран случай кратных корней этого уравнения и т. д. [c.595]

Ип общего репгепня (4.9) и предельных равенстп (4.11) пепосредственно вытекают следующие теоремы об устойчивости двия ения линейной автономной системы, имеющей простые корни характеристического уравнения (случай кратных корней рассматривается в гл. V) [c.100]

Эти формулы всегда существуют, кролте случая кратных корней у уравнения w(s) = 0, когда одна из них должна быть видоизменена по предельному методу, чем я здесь ближе не буду заниматься. Из них между прочим можно вывести, что в случае первом — действительности и положительности всех корней е,, e , (т. е. при исключительных точках только 1-го рода), s, и Sj непременно заключаются в пределах [c.77]

Случай кратных корней дисперсионного уравнения. До сих пор рассматривались только монохроматические решения однородных уравнений поля (2.1), зависящие от / и i по закону onst е ( - "<) (см. (2.2)). В вакууме никаких других решений такого типа не существует, и обычно предполагается, что ситуация остается такой же при распространении волн в среде (по крайней мере ни в одном курсе электродинамики нам не приходилось встречать указаний на необходимость рассматривать также и другие решения). Между тем в действительности уже в классической кристаллооптике решения типа (2.2) с постоянной амплитудой не всегда образуют полную систему нормальных волн. Именно, решений типа (2.2) недостаточно в случае распространения [c.71]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...