ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Тензорные поля. Дифференцирование из "Механика упругих тел " В старой литературе по тензорному исчислению различают кова-риантные и контравариантные векторы. Не стоит вводить читателя в заблуждение есть просто векторы V, но компоненты их двух видов. [c.22] Имеем два вида смешанных компонент. Точка у индекса означает лишь свободное место у B J индекс г — первый, а V — второй. [c.22] Леви—Чивита ( 1 или 0). [c.23] различаем верхние и нижние индексы, контравариантные и ковариантные компоненты. Почему же в декартовом базисе этого не было Потому, что совпали базис и кобазис, а с ними и компоненты — индексы можно было писать на одном уровне. Для введения в тензорное исчисление декартовых базисов достаточно. В дальнейшем мы увидим, что косоугольные базисы полезны и даже необходимы. [c.23] Последняя запись — как в декартовом базисе. Вид характеристического уравнения и выражения инвариантов (7.2) сохраняются в косоугольном базисе, но лишь для смешанных компонент. [c.23] Тензор Эф/Э5 называется производной ф по В, д р дВу — его контравариантные компоненты в базисе я,.. [c.24] Скалярная функция ф(.в) называется изотропной, если она не чувствительна к повороту аргумента ( РВР ф(Jff) для любого тензора поворота Р. Симметричный тензор В вполне определяется тройкой инвариантов и угловой ориентацией главных осей (они же ортогональны). Ясно, что изотропная функция ф(Д) симметричного аргумента является функцией лишь инвариантов / , 1 , 1 она дифференцируется согласно (11.6), где транспонирование излишне. [c.25] Пусть в каждой точке некоторой области трехмерного пространства задано значение величины и. Тогда имеем поле этой величины и = и(г), где г — радиус-вектор. Например, поле температуры в среде, поле давления в идеальной жидкости. Величина и может быть тензором любого ранга. Пример векторного поля — скорости частиц жидкости. [c.25] Не только при решении конкретных задач, но часто и в общей теории приходится вместо аргумента г использовать какую-либо тройку криволинейных координат д . При этом г = г(д ). [c.25] Непрерывно изменяя лишь одну координату из трех, получим соответствующую координатную линию. Каждая точка пространства лежит на пересечении трех координатных линий (рис.1). [c.25] Компоненты V v-/ называются ковариантными производными у. При одностороннем индексном подходе к тензорам изучению подобных объектов уделяется большое внимание. [c.27] Вернуться к основной статье