Огибаемые и огибающие кривые

Фиг. 139. Огибаемые и огибающие кривые и построение эвольвенты.

Щ ОГИБАЕМЫЕ И ОГИБАЮЩИЕ КРИВЫЕ [c.139]

Огибаемые и огибающие кривые [c.139]

Линию, касающуюся в каждой своей точке одной из линий заданного семейства, называют его огибающей. Огибающая н огибаемая имеют в точках касания общие касательную и нормаль. Эквидистантные кривые — частные случаи огибающих семейств окружностей (см. рис. 3.14). [c.55]

Пусть Мик — центры кривизны взаимно огибаемых кривых Sj — принадлежащей движущейся сферической фигуре, S3 — принадлежащей неподвижной сфере пусть 6i и 2 — бинормали огибающей и огибаемой кривых Sj и S3, q — радиус-вектор точки А касания этих кривых, кроме того, а = /.(q, г). Pi = Z ( i. q), Р2 = Z-(e. Q2) (рис. 51). [c.165]

В дифференциальной геометрии доказывается, что тот же результат получается, если вместо окружности аа с постоянным центром С в системе Ц мы бы взяли любую кривую аа с мгновенным центром кривизны С. Поэтому, чтобы определить центр кривизны огибающей любой кривой аа, нужно найти центр кривизны С этой кривой в точке, лежащей на нормали к ней, проведенной из мгновенного центра вращения М, и рассмотреть его траекторию в системе Ц , центр кривизны К этой траектории и будет искомой точкой. Применив к траектории уу центра кривизны С огибаемой аа ранее полученную зависимость (6), будем иметь [c.362]

ОА2, ОЛ3, ОЛ4,... откладывают углы 450 + 92 9 + 2 9о + 2"" Таким образом получают ряд положений aj — aj, 2 — г---- огибаемой кривой а — а. Огибающая li — (i всех положений огибаемой а — а и образует профиль кулачка. Для удобства подсчёта углов [c.37]

Более точное построение огибающей по заданной огибаемой может быть сделано следующим образом. Пусть задана огибаемая К1 (рис. 238), принадлежащая звену 1, и требуется построить огибающую Кч, принадлежащую звену 2. Наметим на кривой К ряд точек [c.140]

Эвольвентную кривую АВ опишет точка А, принадлежащая прямой СС (рис. 4, д), если эту прямую перекатывать без скольжения в направлении стрелки К по неподвижной окружности Г. Отрезок ВЕ, перпендикулярный к прямой АС в точке А, будет касаться эвольвент-ной кривой во всех положениях прямой СС, т. е. эволь-вентная кривая в данном случае будет огибающей ряда последовательных положений отрезка ВВ, перемещающегося вместе с прямой АС и являющегося в этом случае огибаемым. [c.10]

Из этих примеров видно, что огибающей называют линию (прямую или кривую), касающуюся во всех положениях другой перемещающейся в плоскости прямой или кривой линии, называемой огибаемой. Более точно, огибающей называют геометрическое место точек пересечения бесконечно близких кривых. Понятие об огибающей и огибаемой линии положено в основу образования эвольвентного профиля зубьев резанием. Отсюда видно, что профиль режущего инструмента не похож на обрабатываемый профиль. [c.11]

Эта огибающая поверхность будет геометрическим местом характеристик и называется поверхностью Монжа. Характеристики — это кривые касания огибающей поверхности к каждой из огибаемых. Поверхность Монжа по своей физической сущности характеризует совмещенные процессы. Примером может служить фронт световой волны, который является огибающей поверхностью вторичных волн (принцип Гюйгенса — Френеля). Согласно принципу Гюйгенса — Френеля для нахождения нового фронта световой волны необходимо каждую точку фронта волны считать источником, самостоятельно испускающим сферические волны. Огибающая всех этих вторичных волн и дает новый фронт световой волны. [c.91]

Рассмотрим этот метод несколько подробнее (рис. 97). При перемещении окружности а (или какой-то кривой линии) в плоскости последняя занимает ряд последовательных положений (/, 2, 3,. . . ), изображенных штриховыми линиями (рис. 97, а). Кривые линии ВВ и СС, касающиеся окружности а во всех ее положениях, называют огибающими, а перемещающуюся окружность а (или кривую) — огибаемой. [c.131]

Одно уравнение, связываюш ее текущие координаты, определяет на плоскости кривую, в пространстве—поверхность. Если уравнение кривой (поверхности) <р== О заключает кроме текущих координат еще независимый переменный параметр с, то при непрерывном изменении этого параметра кривая (поверхность) будет, вообще говоря, непрерывно изменяться по виду и положению. Полученная этим путем система кривых (поверхностей) и называется семейством кривых (поверхностей), зависящих от одного параметра. Каждому значению последнего соответствует определенная кривая (поверхность) семейства. Два бесконечно близких значения параметра е и с Н- Ас определяют две бесконечно близкие кривые (поверхности) семейства. Пересечение их может, при убывании с до нуля, стремиться к нек-рому предельному положению (характеристич. или предельная точка для кривой и характеристич. линия или характеристика— для поверхности). Для данного семейства совокупность этих предельных положений может образовать кривую (поверхность), называемую огибающей, или о б-верткой, этого семейства кривых (поверхностей), к-рые по отношению к ней называются огибаемыми. Огибающая касается каждой из огибаемых в общих с нею точках. В тех случаях, когда семейство имеет огибающую, ур-ие ее получается исключением параметра с из [c.254]

Если в общем уравнении огибаемых поверхностей Р = 0 дать параметру а некоторое значение, а затем- изменить его в бесконечно малую величину, то мы получим две поверхности, пересекающиеся по некоторой кривой линии. Эта кривая будет общей линией касания двух последовательных огибаемых с их огибающей. Точками касания будут те точки первой огибаемой поверхности, для которых координаты х, у, г остаются неизменными при вариации параметра а. Следовательно, если при дифференцировании уравнения Р=0 считать параметр а единственной переменной, то полученное уравнение будет принадлежать кривой касания так же, как и уравнение Р = 0. А это означает, что кривая касания должна определяться уравнениями [c.183]

Легко понять, что точки касания, определяемые пятью количествами X, у, г, р, (/, будут одними и теми же независимо от того, рассматриваем ли мы их принадлежащими огибаемым поверхностям или огибающей. Следовательно, написанное уравнение принадлежит не только огибающей, но и огибаемым поверхностям. Будем сначала рассматривать это уравнение как уравнение огибаемых. Из пяти количеств х, у, г, р, д только два последние различны в уравнениях двух различных огибаемых, так как лишь они зависят от параметра а. Это утверждение следует из условия, определяющего кривую касания, т. е. из равенств [c.183]

Итак, характеристика обладает двойным свойством она является кривой пересечения двух последовательных огибаемых поверхностей, вписанных в одну и ту же огибающую, и одновременно представляет кривую пересечения двух последовательных огибающих поверхностей, соприкасающихся с одной и той же огибаемой. [c.184]

В качестве огибаемой задана некоторая кривая а — а (фиг. 108), принадлежащая звену 2 начальное положение этой огибаемой пусть будет, aj — 1. Так как огибаемая а - а задана и её последовательные положения могут быть определены по графику s2 /(si), то можно построить огибающую Р — р, принадлежащую звену 1. Для нахождения последовательных положений огибаемой используют приём обра- [c.34]

Рассмотрим движение звена 1 относительно звена 2. Для этого остановим звено 2, т. е. сделаем неподвижными центроиду и кривую К% (рис. 236) и будем рассматривать движение кривой К Тогда подвижная центроида Цу будет перекатываться без скольжения по неподвижной центроиде Ц , а кривая К будет перекатываться и скользить по неподвижной кривой А а, занимая последовательно положения К, К[, А Г, и т. д. Из рис. 236 следует, что кривая К% при этом будет огибать положения кривой К - Как известно из дифференциальной геометрии, кривая К называется огибаемой кривой, — огибающей кривой. Если бы мы обратили движение и рассмотрели движение звена 2 относительно звена 1, то кривая К была бы огибающей кривой, а А а — огибаемой кривой. Отсюда следует, что элементы высшей пары представляют собой взаимоогибаемые кривые. [c.140]

Огибающие кривые. Уравнение Р(х,у, р) — 0, где р переменный параметр, представляет вообще систему кривых, огибаемых некоторою кривою ливней, которая и называется огибающей данной системы. Уравнение огибающей кривой находится исключением р из двух уравнений [c.126]

Уравнение семейства кривых, зависящих от одного параметра, Ф х, у, с) = 0 можно рассматривать как общий интеграл диференциального уравнения 1-го порядка F (х,у,у )=0(см. Диферен-гщальпые уравнения). Геометрически оба эти уравнения представляют одно и то же семейство интегральных кривых. Уравнение в конечной форме определяет каждую отдельную кривую семейства как непрерывную последовательность ее точек, диференциальное уравнение — как непрерывную последовательность направлений, так как оно содержит угловой коэф-т у касательной и выражает то или иное свойство ее, общее для всех кривых семейства. Т. к. огибающая имеет те же касательные, что и огибаемые кривые в общих с нею точках, то координаты ее удовлетворяют ур-июjP(х,у,у ) 0,и ур-ие ее является одним из его решений. Вместе с тем ур-ие огибающей не содержит параметра, не получается из общего интеграла ни при каких значениях с стало быть это не частный, а особый интеграл ур-ияF (ж, у,у ) = О.Т. о. особый интеграл представляет геометрически огибающую семейства интегральных кривых. Ур-ие огибающей или особый интеграл можно получить и непосредственно из диференциального ур-ия семейства, если рассматривать в нем у как параметр и исключить последний из системы ур-ий [c.255]

Из фиг. 112 видно, что для получения правильного очертания профиля необходимо построить в общем случае достаточно большое число положений огибаемой кривой а — а. Соприкосновение огибающей с огибаемой будет происходить не только в точке 5, но и в других точках огибаемой. Построение кулачка можно упростить, если принять во внимание, что отрезки KiBj, К2В4, Кф , равны между собой. Тогда можно отложить постоянный отрезок, равный К В , вниз от оси tp[ на диаграмме S2 = /( i) (фиг. 111) и провести ось fj. [c.35]

Пользуясь тем, что сопряжённые профили являются взаимно огибаемыми кривыми в относительном движении звеньев в согласии с заданным законом передачи, можно одним из профилей задаться, а другой построить как огибающую различных положений первого в его относительном движекни. Однако это не значит, что один профиль может быть выбран сопершенко произвольно, так как огибающая его может получить невыполнимую на практике форму. Прежде всего выбранный профиль должен иметь нормали, пересекающие свою центроиду, в противном случае каждая нормаль, не пересекающая центроиду, не сможет пройти через полюс зацепления, лежащий на центроиде. Но этого мало точки пересечения нормалей с центроидой должны следовать одна за другой в той же последовательности, что и точки касания центроид в относительном движении, так как эти точки должны служить последовательными мгновенными центрами на центроиде. Существующие в практике профили, будучи плавными кривыми без резких изменений кривизны, обычно удовлетворяют этим условиям. [c.188]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...