Гауссовский процесс и его производные

Поскольку при гауссовском процессе ( ) производная ( ) также является гауссовским процессом, то из определения (16) можно заметить, что введенный вспомогательный случайный процесс у ( ) характеризуется одномерной плотностью вероятности Релея (1 ) = ц ехр (—г) 2), 1 ) > 0. Из этого, в частности, следует, что среднее значение относительной длительности пребывания Т (Й) фазовой траектории X (Е, вне заданной области Й будет равно [c.294]

Таким образом, задача построения совместной плотности распределения Гауссовского процесса и его первых двух производных сводится к вычислению моментов в матрице (1.33). [c.22]

Матрица моментов совместного распределения Гауссовского процесса и его первых двух производных для произвольного числа моментов времени представлена следующей формулой [c.23]

Для Гауссовских процессов совместную плотность второй и третьей производных и совместную плотность распределения процесса и его второй и третьей производной при второй производной, равной нулю, можно записать в следующем виде [c.137]

Рассмотрим задачу об определении среднего числа превышений случайным процессом х (t) произвольного уровня х. Для этого достаточно задать совместную плотность распределения процесса и его первой производной в совпадающие моменты времени и воспользоваться соотношением (4.70). Для Гауссовского процесса X (t) эту плотность можно записать в следующем виде [c.145]

Ограничимся рассмотрением только гауссовских процессов. Для таких процессов достаточно иметь корреляционную функцию второго порядка, определяемую (10.2). Совместное распределение любого числа его значений будет описываться многомерным гауссовским распределением [42]. Гауссовским будет также совместное распределение значений процесса и всех его производных. В частности, плотность распределения процесса и его первых двух производных для п моментов времени можно записать в следующем виде [c.81]

Пусть дана совместная плотность распределения процесса X (/) и его первых двух производных для двух произвольно выбранных моментов времени / х , х ,, Хо, То, х , х , iii, т ). Для гауссовских процессов эта плотность определяется соотношениями (10.7) и (10.9). [c.88]

Гауссовский процесс и его производные [c.28]

При рассмотрении вероятностных характеристик производных ( ), V = 1, 2,. . ., гауссовского процесса t) наиболее важную роль играет свойство устойчивости нормальных распределений при линейных преобразованиях процесса. В результате дифференцирования (являющегося линейной операцией) гауссовского процесса t) всегда получается также гауссовский случайный процесс, и, следовательно, для полного описания производной t) t)ldt , т. е. для нахождения многомерных распределений процесса ( ), в данном случае достаточно по известным правилам (см. разд. 1.4) найти математические ожидания (к) = М ( ) И корреляционные функции ti, tj), [c.29]

Использование этого свойства позволяет достаточно просто находить и совместные распределения для значений исследуемого гауссовского процесса ( ) и значений его производных ( ). Так, например, если предположить, что дифференцируемый гауссовский случайный процесс ( ) имеет математическое ожидание Ш1 и корреляционную функцию ( 1, У = ( ) Ч то [c.30]

При исследовании совместных вероятностных характеристик процесса (i) и его производных (t) наиболее простые результаты, как и следовало ожидать, получаются в том случае, когда рассматриваемый гауссовский процесс (i) стационарный. Помимо уже отмеченного свойства устойчивости нормальных распределений при линейных преобразованиях, упрощения здесь достигаются совместным выполнением трех общих характерных свойств [c.30]

Использование моделей (3) и (18), а также результатов (9), (12) и (13) позволяет сравнительно просто находить различные совместные распределения для значений огибающей, фазы и их производных. Применительно к сумме (18) гармонического сигнала 5 ( ) и узкополосного гауссовского процесса ( ) с корреляционной функцией (11) получим общее выражение совместной плотности вероятности р (V, V, V", ф, яр, ф") для значений огибающей V = V t), фазы я ) = я ) ( ) и их первых двух производных V = V ( ), V = 7" (г), г[) = 1 ) (г), г )" = г )" ( ) в совпадающие Моменты времени. Для простоты записей будем считать началь- [c.39]

Из этой формулы следует, что рассматриваемый х-процесс относится к классу стационарных процессов со статистически независимой производной. Более того, хотя производная т) ( ) и не является здесь гауссовским процессом ее одномерная плотность вероятности, как видно из выражения (3), является нормальной с математическим ожиданием М г) ( ) = О и дисперсией (0). [c.76]

Из общих свойств гауссовского процесса (разд. 1.5) известно, что значения первой производной ( ) не коррелированы (а следовательно, в данном случае и статистически независимы) со значениями ( ) и I" ( ) в совпадающие моменты времени. Совместная плотность вероятности р (/), I (/), (/)) = р ( , I, ") распадается при этом на произведение [c.237]

Случайный процесс X(t) считается гауссовским, а среднее значение его производной по времени принимается равным нулю [c.121]

Если процесс является Гауссовским, то плотность его совместного распределения с двумя первыми производными также будет Гауссовской. Эту плотность можно записать в следующем виде [c.22]

Пусть все составляющие изучаемого процесса являются Гауссовскими. Тогда совместное распределение процесса и его первых двух производных для совпадающих моментов времени также будет Гауссовским. Моменты этого распределения для рассматриваемых квазистационарных процессов приведены в гл. 1. Построение для этого случая совместного распределения произвольного числа следующих друг за другом экстремумов и других частных распределений, вытекающих из него, связано лишь с вычислительными трудностями. Эти трудности обусловлены в первую очередь тем, что в отличие от стационарного случая исходные распределения и искомые величины являются функциями времени. [c.145]

Стационарные процессы. Для гауссовских стационарных процессов X (t) совместная плотность распределения процесса и его первой производной f х, ) определяется матрицей моментов [c.99]

Учитывая, что процесс (t) является в данном случае гауссовским стационарным процессом с = М (i) = О, можно записать одномерную плотность вероятности производной [c.30]

Очевидно, еслп рассматривать совместную плотность вероятности / 2 ( , т, 1-с ) для значений гауссовского стационарного процесса = ( ), = I ( + т) и его производных ( ), [c.31]

Пусть X (О гауссовский стационарный дифференцируемый процесс. Тогда производная % ( ) также будет гауссовским стационарным процессом. Одномерная плотность вероятности производной ( ) [c.94]

Согласно определению (3.1.1), исследование числа максимумов гтах Т) процесса ( ), по существу, сводится к изучению числа отрицательных пересечений щ- (О, Т) уровня Н = О производной ( ) = t)ldt. Производная ( ) является в данном случае гауссовским стационарным случайным процессом с параметрами [c.152]

Таким образом, распределение высоты максимумов для узкополосного (квазигармонического) гауссовского процесса ( ) с уменьшением относительной ширины спектра Асоэ/соо приближается к релеевскому. Такому результату можно дать простое пояснение, если воспользоваться представлением квазигармонического процесса (t) в виде (1.7.3). Огибающая А (t) и случайная фаза Ф ( f) процесса ( ) являются в основном медленно меняющимися функциями времени по сравнению с os oqI. Поэтому для производной можно записать [c.150]

Эволюция импульса принимает качественно иные черты для больших величин N. В качестве примера на рис. 4.14 показаны форма и спектр импульса при = 0.1. сначала имевшего гауссовскую форму без частотной модуляции, для случая N = 10. На импульсе формируется осциллирующая структура с глубокой модуляцией. Из-за быстрых изменений огибающей во времени третья производная в уравнении (4.2.5) локально становится большой и возрастает роль ДГС при распространении импульса в волокне. Самой примечательной особенностью спектра является то, что энергия концентрируется в двух спектральных областях. Эта черта общая для всех значений N I. Так как одна из частей спектра лежит в области аномальной дисперсии, в этой области могут формироваться солитоны [34]. Энергия в другой спектральной области, находящейся в области нормальной дисперсии световода, рассеивается в процессе распространения. Особенности, связанные с солитонами, в дальнейшем будут обсуждены в гл. 5. Важно отметить, что вследствие спектрального уширения в действительности импульс не распространяется при нулевой дисперсии, даже если сначала Pj — 0. На самом деле импульс создает свою собственную Pj пофедством ФСМ. Грубо говоря, эффективную величину Р2 можно определить как [c.95]

Если ( ) — гауссовский стационарный процесс с математическим ожиданием ттг = М ( ( ) и корреляционной функцией Я (т) = сг г (т), —В" (0) <С оо, Л(4) (0) < оо, то, как известно, производная ( ) также будет являться гауссовским стационарным процессом, для которого т = М ( ) == О, Я (т) = = — %)1йх = —К" (т). С учетом этой особенности отдельные результаты разд. 4.5 достаточно просто могут быть переформулированы для распределений длительности временных интервалов Тех1 и Т г-М = Т М-т- [c.279]

Применительно к задачам о динамических системах, движение которых подчиняется обыкновенным дифференциальным стохастическим уравнениям с гауссовскими флуктуациями параметров, используемый метод приводит к приближению марковского случайного процесса соответствующее уравнение для плотности вероятностей перехода имеет вид уравнения Эйнштейна — Фоккера. В более сложных задачах, описываемых дифференциальными уравнениями в частнь[х производных, этот метод приводит к обобщенному уравнению типа Эйнштейна — Фоккера в вариационных производных для характеристического функционала решения задачи, в связи с чем он может быть назван приближением диффузионного случайного процесса. Для динамических систем с не-гаусровскими флуктуациями параметров предлагаемый метод также приводит к приближению марковского процесса. Плотность вероятностей решения соответствующих динамических стохастических уравнений удовлетворяет при этом замкнутому операторному уравнению. Так, для случая систем с флуктуациями параметров, имеющими пуассоновский характер, получаются интегро-диффе-ренциальные уравнения типа уравнения Колмогорова — Феллера. [c.6]

Отметим также, что имеется строгий математический подход для получения коэффициентов этих кинетических уравне-(ний, основанный на так называемых стохастических уравне- ниях Ито (см. [201). В них в качестве исходного, затравочного случайного воздействия выступает не гауссовский или пу-ассоновский белый шум, а винеровский или пуассоновский процесс с независимыми приращениями (производные от этих процессов в некотором смысле близки к гауссовскому и пуассо-новскому белым шумам соответственно). Причем для оперирования с такими процессами разработан специальный аппарат [c.11]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...