Марковское и локальное приближения

Уравнения переноса (5.4.29) являются точными и весьма сложными, так как включают эффекты нелокальности и памяти ). Если изменения средних значений а г)У в пространстве и во времени являются медленными по сравнению с затуханием корреляций микроскопических потоков, в последнем члене уравнения (5.4.29) можно перейти к марковскому и локальному приближениям. Формально это означает, что ядра к- (к, ) - к вычисляются с точностью до второго порядка по к, а для термодинамических параметров используется приближение F k t — t ) F k t). В соответствии с соображениями из раздела 5.3.4, при переходе к пределу к О в формуле (5.4.30) для кинетических коэффициентах приведенный оператор Лиувилля QLQ можно заменить на обычный оператор L. Следует, однако, позаботиться о том, чтобы избежать трудностей, связанных с проблемой плато в корреляционных функциях. В данном случае правильный порядок предельных переходов состоит в том, что сначала к О и лишь затем е +0. В следующем разделе мы более подробно обсудим этот момент на примере уравнения диффузии. [c.392]

Марковское и локальное приближения. Если релаксация системы к локально-равновесному состоянию происходит медленно, то в последнем члене уравнений (8.1.9) необходимо учитывать временное запаздывание. Примером такого рода может служить служить релаксация внутренних степеней свободы сложных молекул. Отметим, однако, что в этом случае естественно расширить набор базисных локальных переменных а (г) , включив в него включить переменные, описывающие внутренние степени свободы. Рассмотрим простейшую, но реальную ситуацию, когда время релаксации корреляционных функций (8.1.10) достаточно мало по сравнению с характерным временем изменения термодинамических параметров Fn r t ). Тогда запаздыванием в уравнениях (8.1.9) можно пренебречь, и мы приходим к марковским гидродинамическим уравнениям [c.161]

Обратим внимание на то, что локальные кинетические коэффициенты (8.1.20) имеют значительно более простую структуру, чем исходные кинетические коэффициенты (8.1.10), так как теперь эволюция микроскопических потоков во времени описывается обычным оператором Лиувилля iL. Переход к марковскому приближению в обобщенных уравнениях переноса, частным случаем которых являются гидродинамические уравнения, подробно осуждался в разделе 2.3.4 первого тома. [c.162]

Наконец, отметим, что локальное и марковское приближения в уравнениях гидродинамики сверхтекучести непригодны в непосредственной окрестности Л-точки, где времена релаксации плотности конденсата п и плотности сверхтекучей компоненты становятся очень большими из-за сильных крупномасштабных флуктуаций параметра порядка, роль которого играет волновая функция конденсата Ф(г, ). Обсуждение критических флуктуаций в сверхтекучей жидкости и их влияния на процессы переноса выходят за рамки данной книги, поэтому мы отсылаем интересующихся читателей к специальной литературе ). [c.207]

Вывод уравнений для моментов поля на основе параболического уравнения (2.24) осуществлялся разными способами. Для этого использовались локальный метод малых возмущений [65, 66, 69, 78, 79], метод селективного суммирования [20, 25, 26, 70, 80, 89, 91], марковское приближение [35, 36, 53, 61, 62, 83]. В сконцентрированном виде описание этих методов содержится в [52]. Все они приводят к одному и тому же результату, и уравнения для статистических моментов поля имеют вид [5, 53 [c.24]

В этой формуле 5-й член есть сумма всех сильно связных 5-частичных диаграмм, имеющих одну свободную линию на левом конце. Вклад 5-го члена пропорционален поэтому формула (3.2.18) дает разложение интеграла столкновений по плотности. Интересно провести сравнение диаграммного представления интеграла столкновений с групповым разложением, рассмотренным в разделе 3.1.5. Основное различие между выражениями (3.1.73) - (3.1.75) и формулой (3.2.18) состоит в том, что метод групповых разложений приводит к марковскому интегралу столкновений в то время как в каждом члене диаграммного разложения (3.2.18) имеется запаздывание. Вообще говоря, диаграммное представление интеграла столкновений также можно свести к выражению, локальному во времени. Для этого диаграммная техника должна быть модифицирована таким образом, чтобы функции распределения fiit — т) выражались через функции fi t). Хотя эта версия диаграммной техники фактически эквивалентна групповым разложениям, она позволяет, в принципе, проводить частичное суммирование, что и является наиболее важным преимуществом диаграммных методов [72]. Следует, однако, отметить, что для кинетических уравнений с запаздыванием правила записи математических выражений, соответствующих диаграммам, и процедура суммирования значительно проще. В связи с этим в дальнейшем мы будем пользоваться диаграммным представлением интеграла столкновений в форме (3.2.18). Марковское приближение будет рассматриваться в каждом конкретном случае. [c.192]

Подставив оператор производства энтропии (8.4.87) в неравновесное распределение (8.4.82), можно, в принципе, вычислить средние значения в правых частях уравнений (8.4.61) и (8.4.62). Для не слишком быстрых процессов достаточно марковского приближения. Напомним, что обычно марковское приближение в гидродинамических уравнениях означает, что dS t 1 )/dt dS t)/dt. Иначе говоря, предполагается, что термодинамические параметры, описывающие неравновесное состояние, мало изменяются за время затухания корреляционных функций микроскопических потоков. Однако в случае сверхтекучей жидкости правило перехода к марковскому приближению нужно уточнить. Дело в том, что первый оператор в формуле (8.4.92) явно зависит от времени через локально-равновесную волновую функцию конденсата ФДг, ), которая быстро осциллирует. В приближении идеальной жидкости можно положить d4fi/dt = дф/dt)i, где локально-равновесное среднее определяется выражением (8.4.65). Опуская там все слагаемые, зависящие от и v , получаем [c.203]

Отсюда следует, что в марковском приближении неравновесное среднее значение любой локальной динамической неременной А г) дается формулой [c.204]

Соотношение (2.1) показывает, что на временах, принадлежащих инерционному интервалу, диффузия частицы в пространстве пассивной примеси является в главном приближении процессом с некоррелированными приращениями. На основании (2.1) в [1] сделан вывод о локальной аналогии броуновского движения и движения частицы в пространстве 2 , что подтверждает корректность использования диффузионного соотношения (1.6). Эти предположения имеют некоторое сходство с известной гипотезой Обухова [16], рассматривавшего турбулентную диффузию частицы в лагранжевых координатах. Гипотеза о марковском характере движения частицы в фазовом пространстве скоростей Vp t) основана на соотношении инерционного интервала ((Av (ed) Ai, где ed диссипация турбулентной энергии. Эта гипотеза встретила возражения Бэтчелора [16], считавшего, что согласование соотношения инерционного интервала с оценкой дисперсии положения частицы в пространстве скоростей, которая следует из уравнения Фоккера-Нланка (прямого уравнения Колмогорова, описывающего диффузионный марковский процесс) - просто результат совпадения. Вопрос о сходстве и различиях диффузии частицы в пространстве скоростей и марковского процесса подробно проанализирован в [6]. Для целей данного исследования удобнее изложить эти аргументы, вернувшись к рассмотрению корреляции Кр. [c.399]

В силу того, что здесь и далее рассматривается окрестность точки zq, в (3.1) и (3.2) введено обозначение А о = (А о)- Отметим, что выше введены лишь те реализации, в которых 2 (хо, о) = zq, sl для них А о играет роль полного среднего. Кроме того, если zq не фиксировано и распределено с плотностью вероятности Р(2 о хо, о) (1-4), то А о = (А )-Функция G, являясь фундаментальным решением уравнения (3.1), может быть также рассмотрена на малых временах At tm как переходная плотность вероятности Fp положения частицы из точки zo,to. Действительно, Fp = a P z) a P zo) = z° (a, a° = onst). Учитывая условие нормировки, имеем Fp = G - переходная функция является нормальной и соответствует диффузионному марковскому процессу. Уравнение (1.3) с из (1.6) не является уравнением Фоккера-Нланка относительно Fp, так как включает производные второго порядка с отрицательным коэффициентом. Сходство этого уравнения с уравнением Фоккера-Нланка лишь локальное и требует выполнения приближенного соотношения P z) P zo) = onst. [c.400]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...