Аксиома упорядоченности

Порядковые шкалы позволяют установить порядковые соотношения между объектами, показать, что один объект по какому-то признаку сравнения лучше, важнее другого или равноценен ему. Но в порядковых шкалах нельзя определить меру доминирования, т. е. измерить, насколько один объект лучше, важнее другого. Помимо аксиом 1—3 здесь предполагаются аксиомы упорядочения [c.26]

Аксиома упорядоченности. Если и для некото- [c.230]

Таким образом, если представить себе вселенную в виде составленной из чрезвычайно многочисленных атомов громадной механической системы, которая вышла из очень упорядоченного начального состояния и в настоящее время еще находится в основном в упорядоченном состоянии, то мы получим отсюда следствия, которые фактически находятся в полном согласии с наблюдаемыми явлениями, хотя с чисто теоретической, я бы сказал, философской, точки зрения это представление, по сравнению с представлениями общей термодинамики, стоящей на чисто феноменологической точке зрения, содержит некоторые новые стороны. Общая термодинамика исходит из того, что, насколько можно судить на основании имеющегося опыта, все процессы природы оказываются необратимыми. Поэтому в согласии с принципами феноменологии общая термодинамика формулирует второе начало прежде всего так, что утверждается безусловная необратимость всех процессов природы в качестве так называемой аксиомы, точно так же как общая физика, стоящая на чисто феноменологической точке зрения, утверждает как аксиому бесконечную делимость материи, [c.523]

Множество й всех тел называется вселенной. В самом начале изложения любой ветви механики рассматриваемая вселенная четко указывается, в дальнейшем же предполагается, что заключение о данном частном виде вселенной читатель составит сам, исходя из контекста. Знак = означает тождество, то же самое, что и . Если тело является частью тела мы пишем Соотношение -< наделяет 2 структурой частично упорядоченного множества, определяемой. известными аксиомами [c.15]

Остается проверить, что полученное решение удовлетворяет аксиомам 1—4. Пусть —любое упорядочение пар (от, М), удовлетворяющее (4.17). [c.222]

Аксиома 4 выполняется в силу выбора упорядочения и того, что нестрогое увеличение элементов строки матрицы 1/а,(х) ) влечет [c.222]

Во всех известных аксиоматических построениях решений так или иначе постулируется равнозначность критериев. В последнем параграфе мы рассмотрели решение, удовлетворяющее лишь аксиомам равнозначности и оптимальности по Парето. Исходя из них рассмотрен случай упорядоченных критериев. Наконец, описывается один подход к задаче, в которой вместо индивидуальных критериев заданы совокупные критерии по их группам, т. е. агрегированные критерии. Случаи сравнимых и агрегированных критериев до сих пор в литературе почти не рассматривались. [c.238]

Шкалы упорядоченности устанавливают между подмножествами, на которые разбивается множество результатов решения, определенные жесткие соотношения. Эти соотношения можно охарактеризовать аксиомами, при формулировке которых используется символ )> именно, соотношение ех)>е2 означает, что б1 не хуже, чем е - Для пронумерованных порядковыми числами шкал упорядоченности справедливы, в частности, следующие аксиомы. [c.153]

Аксиома линейности или полной упорядоченности. [c.153]

Эти три абстрактно сформулированные аксиомы утверждают естественные представления об упорядоченности результатов. [c.153]

Шкалы упорядоченности достаточны для принятия решений в задачах с однозначными параметрами типа описанных в разд. 2.1, уравнение (2.1). Решения при многозначных параметрах рациональным путем приняты быть не могут, так как здесь можно лишь сказать, что один результат следует предпочесть другому, но какова степень этого предпочтения — неясно. Если же требуется, чтобы о различных полезностях можно было высказаться в категориях одинаково , больше или меньше , то это приводит к интервальным и масштабным шкалам, которые позволяют исчерпывающим образом измерить полезность. Аксиомы для таких шкал можно найти в книге [25]. [c.153]

А — бесконечны в большинстве случаев практики, а отдельные их элементы упорядочены в соответствии с функциями движения ведущих звеньев или принадлежащих им точек. В силу эквивалентности множеств Л1, Ла, Л3,. . ., Л, они также упорядочены в соответствии с функцией движения ведущего звена. На этом основании к теории механизмов применимы аксиомы и теоремы теории упорядоченных множеств [42]. Имеет место, например, взаимнооднозначное соответствие между двумя множествами перемещений звеньев, если иметь в виду не только геометрические, но и кинематические и динамические факторы. [c.136]

П. 1.1. Метрические пространства. Множество R элементов (чисел, функций и т. п.) называется метрическим пространством, если для каждой упорядоченной пары элементов в1бЛ и однозначно определена действительная неотрицательная функция d(01,02) (расстояние между Oi и С2> метрика),удовлетворяющая трем аксиомам метрики [c.205]

Аксиому Цермело (1904 г.) называют также принципом произвольного выбора, согласно которому для любой системы непустых непересекающихся множеств существует функция, сопоставляющая каждому множеству один его элемент [60]. Иначе говоря, предполагается, что из каждого множества произвольной системы непустых и не имеющих общих элементов множеств можно сразу выбрать по одному элементу. На эту аксиому опирался Цермело в доказательстве теоремы о возможности всякое множество сделать вполне упорядоченным (полное упорядочение состоит в установлении отношения порядка следования и требовании, чтобы в каждом подмножестве существовал первый элемент). Аксиома Цермело вызвала много споров, ряд математиков не признал её, а следовательно, не считает установленной и теорему о возможности вполне упорядочить произвольные множества. [c.216]

Теперь мы уже располагаем всем необходимым, чтобы попытаться феноменологически обосновать аксиомы алгебраического подхода. Наша задача — наделить упорядоченную пару множеств ( , ) структурой, достаточно сложной, чтобы мы могли воспользоваться существующими математическими методами, и в то же время не столь жесткой, чтобы этим исключалась возможность приложений, представляющих интерес для физики. Например, из 1 мы узнали, что постулаты 1 и 2, вероятно, слишком жесткие. После проведенного нами ранее анализа создается впечатление, что структуру множеств 91 и (по крайней мере в ее отношении к физике) можно правильно охарактеризовать, если допустить, что 51 является действительной коммутативной йордановой алгеброй )- Таким образом, наша первая задача состоит в обосновании именно такого выбора структуры. [c.55]

Был сфорхмулирован [41, 82, 281] ряд алгебраических условий, эквивалентных условию существования ковариантного представления упорядоченной пары (Я, К ), удовлетворяющего спектральному условию, и было доказано [89], что эти условия не зависят от остальных аксиом (т. е. аксиом изотонности, локальной коммутативности и К -ковариантности) теории, даже если теорию ограничить, потребовав дополнительно, чтобы алгебра К была простой и удовлетворяла аксиоме сечения времени (т. е. если А — область пространства Минковского Ш, заключенная между двумя гиперплоскостями ( , и ( 2, К ), то чтобы семейство 01 (О) 1 й е й, й с= А) уже порождало алгебру Ш эту аксиому иногда называют аксиомой слабой примитивной причинности [163]). [c.370]

Аналогичным образом понятие направленности времени может быть введено на основе закона инерции Галилея (или закона сохранения импульса). Минимальный объект, который мы можем наблюдать на опыте в механике - это материальная точка, или частица с тремя степенями свободы, то есть нульмерный объект. Опыт показывает, что траекторией материальной точки является линия Ь, то есть одномерное множество точек пространства. Одномерность линии индуцирует на ней линейный порядок. Разумеется, мы говорим о топологической размерности, иначе, по аксиоме Цермело, любое множество можно вполне упорядочить, но этот порядок будет разрывным, а для нас важна согласованность порядка и метрики. Движение (группа движений лежит в основе евклидовой геометрии трехмерного пространства) означает, что координаты частицы принимают значения из Ь, то есть координата точки на Ь, обозначаемая через х,, является функцией параметра г - параметра порядка , принимающего значения из интервала (0,1) в естественном (по возрастанию) порядке. Любым образом упорядоченную пременную х, = /(г), то есть любой процесс, можно взять в качестве времени. Существование [c.61]

Правило Копленда, в отличие от правила простого большинства, не удовлетворяет аксиоме независимости от несущественных альтернатив, но всегда приводит к транзитивным групповым упорядочениям. Исчерпывающее аксиоматическое рассмотрение правила Копленда можно найти у Моркелюнаса (1971). [c.227]

Есть несколько интересных работ, проведенных по проблеме достижения консенсуса Кемени и Снэлл [81], чья работа была обобщена Богартом [14, 15], использовали аксиоматический подход для разработки метода достижения консенсуса в случае слабого упорядочения (предпочтительно— 1, равенство — О, не-предпочтительно — —1) множества объектов несколькими лицами. Они доказали, что существует единственная функция расстояния, удовлетворяющая всем аксиомам. Эта функция использована для получения матрицы консенсуса посредством поиска для каждого элемента величины, которая минимизирует сумму квадратов расстояний до каждого соответствующего элемента матриц суждений, построенных несколькими лицами. Результатом может быть не целое число некоторые исследователи на практике округляют числа до ближайшего целого. Величина, полученная таким образом, называется средней. Функция расстояния также используется для получения матрицы медианных значений. Каждый элемент этой матрицы минимизирует сумму расстояний до соответствующих элементов матриц суждений. Хотя как среднее, так и медиана представляются разумными способами достижения консенсуса, среднее обеспечивает способ приравнивания объектов , которые сравниваются, в то время как медиана предлагает способ отбора среди экспертов , вы- сказывающих суждение. В нашем случае применяются геометрическое среднее. [c.82]

В [165] исследуется математическая структура полиномиальной теории измерений (применимой к структуре данных в том и только в том случае, если для нее выполнена аксиома иррефлексивности), и устанавливается взаимосвязь различных моделей измерений в общих концептуальных рамках, приводящих к математическим задачам, решение которых считается полезным. У теории нет простых эмпирически проверяемых условий. Этот подход предусматривает анализ данных с помощью многомерного шкалирования и факторных методов. Упорядочение расстояний между парами задает определенный порядок между ними, который может быть выражен в виде полиномиальной функции координат. Теория описывает погружение этого полинома в действительное л-мерное пространство с фиксированной размерностью. [c.264]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...