Эйлерова характеристика

Размерность пространства Н (Л/, К) называется -мерным числом Бетти многообразия М оно обозначается Ьк М) или просто Ьк. Например, если М—п-мерный тор Т", то Ьк = (см., например, [54]). По теореме двойственности Пуанкаре Ьк = Ьп-к- Для связных многообразий 6о = = 1- Эйлерова характеристика выражается через числа Бетти по формуле М) = [c.136]

Если дМ = 0, то мы снова получим теорему 1 1. Теорема 1 настоящего параграфа сначала была установлена автором в предположении, что первое число Бетти поверхности М больше двух. Затем С. В. Болотин заменил это условие более слабым х(М ) < < О, где X — эйлерова характеристика [25]. [c.142]

Отметим еще работу А. Катка [208], в которой доказана положительность топологической энтропии геодезического потока на замкнутой гладкой двумерной поверхности с отрицательной эйлеровой характеристикой. Положительность энтропии свидетельствует о сложности поведения фазовых траекторий (см., напри- [c.156]

Известно, что турбулентный коэффициент диффузии определяется лагранжевым масштабом, а турбулентная вязкость чаще определяется как эйлерова характеристика. В [10] (Глава 10.6) эксперимен- [c.350]

СВЯЗЬ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТОМ ДИФФУЗИИ и ЭЙЛЕРОВЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ [c.408]

Коэффициент диффузии и эйлеровы характеристики [c.409]

В опытах использовался метод диффузии тепла за тонкой проволокой, нагреваемой электрическим током. Практическая реализация этого метода в основных чертах воспроизводит методику, изложенную в [7]. Эйлеровы характеристики турбулентности измерялись при помощи термоанемометров с постоянной температурой нити. [c.409]

Целью работы было сопоставление лагранжевых и эйлеровых характеристик турбулентности. Интенсивность поперечных пульсаций скорости Ее, измеренная термоанемометром с Х-образным датчиком (и для контроля - однониточным датчиком по методике [1], когда нить устанавливается под углом к направлению потока), совпала во всех случаях с интенсивностью поперечных пульсаций г/, измеренной диффузионным методом (т.е. в лагранжевой системе координат). При измерениях г/ использовалось соотношение г/ = йУ/йх, причем дисперсия измерялась на небольших расстояниях от нити [1]. Этот результат отмечался и ранее при измерениях в потоках за решетками [13]. В то же время масштабы поперечных пульсаций скорости, определенные в эйлеровой (термоанемометр) и лагранжевой (диффузионный метод) системах координат различаются существенно. [c.412]

Данные, представленные на рис. 3, свидетельствуют об отсутствии единой зависимости 3 ж >с от интенсивности пульсаций г. Данный факт создает трудности при нахождении характеристик турбулентного переноса по величинам эйлеровых интегральных масштабов пульсаций, легко определяемых при термоанемометрических измерениях. В связи с этим необходимо обратиться к измерениям других эйлеровых характеристик турбулентности, которые в большей мере могут отражать ее структуру, например макромасштабов пульсаций скорости. [c.414]

Обозначим через х(М) эйлерову характеристику поверхности М. [c.149]

Теорема 1. Если эйлерова характеристика х(М) < О гл энергия /г > О, то топологическая энтропия ограничения системы на уровень энергии положительна. [c.149]

Преобразование Леви-Чивита позволяет избавиться от особенностей потенциала. При этом конфигурационное пространство М оказывается поверхностью с эйлеровой характеристикой 2 — п. Следовательно, при п 3 и положительной постоянной Якоби, система имеет хаотические траектории [4. [c.149]

Теорема 2. Если эйлерова характеристика х(М) О, то существует бесконечное число гомоклинических траекторий к положению равновесия Существуют также хаотические траектории ка Ео, и топологическая энтропия системы на Ео положительна. [c.151]

Связь между лагранжевыми и эйлеровыми характеристиками дается соотношением [c.484]

Правда, строгое доказательство этого предположения (и вообще того, что из автомодельности эйлеровых свойств турбулентности вытекает автомодельность ее лагранжевых свойств) пока отсутствует. Однако оно представляет собой очень правдоподобную гипотезу, следствия из которой в ряде случаев хорошо согласуются с имеющимися эмпирическими данными о лагранжевых статистических характеристиках. В тех случаях, когда автомодельность эйлеровых характеристик турбулентности устанавливается с помощью соображений размерности, этими же соображениями обычно можно обосновать и автомодельность лагранжевых характеристик, причем получаемые здесь результаты всегда согласуются со сформулированным выше предположением. [c.500]

Следствие 8.6.7. Пусть М — компактное дифференцируемое многообразие без границы и / М- Ж — -функция с изолированными критическими точками. Тогда сумма индексов критических точек равна эйлеровой характеристике х(Щ многообразия М. [c.335]

Пусть / — гомеоморфизм компактного многообразия отличной от нуля эйлеровой характеристики. Покажите, что / обладает периодической точкой периода не более чем [c.337]

При отождествлении противоположных сторон восьмиугольника все восемь вершин склеиваются. Заметим, что с топологической точки зрения эта конструкция эквивалентна склейке поверхности рода два из гиперболического восьмиугольника в п. 5.4 д, так что полученная таким образом поверхность гомеоморфна сфере с двумя ручками. Мы дадим другое доказательство данного факта, построив векторное поле на этой поверхности и вычислив его эйлерову характеристику. Это будет векторное поле, которое мы позднее исследуем с динамической точки зрения. Выберем направление на плоскости, не параллельное никакой стороне, и рассмотрим семейство ориентированных отрезков прямых внутри восьмиугольника, параллельных этому направлению. Отождествление параллельных сторон позволяет нам склеить все эти отрезки, исключая те, которые начинаются и оканчиваются [c.469]

Теорема П5.1 (теорема Гаусса — Бонне). Для эйлеровой характеристики выполнено равенство х = (1/(2тг)) K(x)d vol, где wol—форма объема, индуцированная римановой метрикой. [c.713]

Все компактные поверхности с границей получаются вырезанием нескольких дисков из замкнутой поверхности. Эйлерова характеристика сферы с А ручками, т листами Мебиуса и d вырезанными дисками равна х = 2-2Л-тп — d. [c.714]

Оказывается, что число % не зависит от выбора триангуляции данного многообразия М и, таким образом, задает топологический инвариант хЩ), называемый эйлеровой характеристикой М. [c.717]

Особой наг лядностью отличаются топологич. конструкции и задачи, возникающие при изучении кривых и поверхностей в трёхмерном пространстве. Единственным топологич. инвариантом поверхности (связной и замкнутой, т. е. без края) является её род, обозначаемый обычно через g, равный числу дыр ка рисунке поверхности (рис. Г). [Мы не рассматриваем пока неориентируемые поверхности (см, ниже), к-рые нельзя расположить в трёхмерном пространстве без самопересечений.] Для сферы g = 0, для тора g= I, Если поверхность представлена в виде многогранника, то её род может быть вычислен через эйлерову характеристику [c.144]

Единственный топологич. инвариант h замкнутых не-ориентируемых поверхностей определяется исходя из следующей их явной конструкции нужно вырезать в поверхности сферы h отверстий и заклеить каждое из них листом Мёбиуса (важно, что его границей является окружность, рис. 2). При /г=1 получается проективная плоскость, при /1 = 2—бутылка Клейна (рис. 3), Эйлерова характеристика такой паверхности, определяемая по аналогии с (I), равна 2—h. Такие поверхности в трёхмерном пространстве обязательно имеют самопересечения. [c.144]

Теорема 1. Пусть М —геодезически выпуклое подмногообразие с отрицательной эйлеровой характеристикой. Тогда геодезический поток на Е не имеет непостоянного аналитического интеграла. Более того, аналитический интеграл заведомо отсутствует в каждой окрестности множества Е в Е. [c.142]

Доказательство. Пусть 7 — замкнутая геодезическая на Т , стягиваемая в точку. Предположим сначала, что 7 не имеет самопересечений. Тогда 7 делит на две геодезически выпуклые области, одна из которых гомеоморфна диску, а эйлерова характеристика другой области отрицательна. Отсутствие интеграла вытекает из теоремы 1. Рассмотрим теперь общий случай, когда геодезическая 7 имеет самопересечения. Реализуем тор как факторпространство по целочисленной решетке Z . Метрика на индуцирует метрику на причем геодезическая 7 поднимается до геодезической 7 на Поскольку 7 гомотопна нулю [c.142]

Действительно, в этом случае 7, делят 8 на несколько геодезически выпуклых областей, одна из которых имеет отрицательную эйлерову характеристику (рис. 12). [c.143]

Соотношение (1.3) позволяет определять коэффициент турбулентной диффузии В по интенсивности поперечных пульсаций скорости, характеризуемой величиной, и по их лагранжевому временному масштабу. Однако экспериментальными методами, например, термоанемометром, измеряются эйлеровы характеристики турбулентности. В литературе имеются сведения экспериментального и теоретического [c.409]

В заключение настоящего параграфа отметим, что, кроме использования соотношения (ЮЛ), имеется еще один способ установления связи между лагранжевыми и эйлеровыми характеристиками течения, основанный на рассмотрении произвольных характеристик жидких частиц (т. е. гидродинамических характеристик, значения которых у фиксированной жидкой частицы не меняются при ее движении). При лагранжевом описании каждую такую характеристику можно записать в виде Ч (х), так как при фиксированном X она не зависит от времени t, При эйлеровом описании. [c.487]

О связи лангранжевых и эйлеровых характеристик случайных полей. Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика, 19, № 10, 1559—1561. [c.655]

Этот параграф посвящен классификации компактных поверхностей (двумерных многообразий) с различных точек зреиня. Каждая ориентируемая компактная поверхность гомеоморфна пространству, полученному из сферы вклейкой нескольких ручек. Вклейка ручки означает удаление двух непересекающихся дисков из сферы и отождествление пары возникающих в результате окружностей с граничными окружностями цилиндра. Число g вклеенных ручек называется родом поверхности и является топологическим инвариантом. Как дифференцируемые многообразия, поверхности определяются своим родом с точностью до диффеомтфизма. Род связан с эйлеровой характеристикой х поверхности соотношением х = 2 - 2j. Эйлерова характеристика может быть определена различными способами. Во-первых, можно рассмотреть триангуляцию поверхности (см. определение П 7.1), т. е. представление поверхности в виде полиэдра с треугольными гранями. Пусть / — число граней, е — число ребер и v — число вершин этого полиэдра. Тогда х=/-еЧ-и их не зависит от триангуляции. (На самом деле X = - А + А) — числа Бетти (определение П 7.4). Для поверхности рода g мы иые-ем Д, = / = 1 и так что х = 2-2д.) Во-вторых, можно рассмотреть векторное поле [c.713]

Отметим, что довольно просто можно оценить количество двузвенных траекторий трехмерного биллиарда. Действительно, сопоставим каждой точке ф выпуклой поверхности Г, задающей биллиард, длину отрезка [ф, 91], ф1еГ, ортогонального к Г в точке ф. Получаем гладкую функцию I на сфере 5 . Типичным критическим точкам функции / соответствуют периодические траектории биллиарда. Функция t достигает максимума в некоторой точке феГ 52. Но тогда соответствующая точка ф1 также является максимумом для I. Аналогично I имеет два минимума на S . Так как эйлерова характеристика сферы равна 2, то I не может иметь в качестве критических точек только два изолированных максимума и два изолированных минимума, следовательно, у функции t имеется еще одна критическая точка. Таким образом, мы получили, что выпуклый трехмерный биллиард в общем случае имеет по крайней мере три двузвенные периодические траектории максимальную , минимальную и седловую . Отметим, что теорема 2 гарантирует существование лишь двух таких траекторий. [c.66]

Напомним определение эйлеровой характеристики. Рассмотрим на М конечное число криволинейных отрезков разбивающих М на несколько открытых областей, гомеоморфных двумер- [c.133]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...