Риманова сфера

Докажите, что топологическая энтропия любого дробно-линейного преобразования /(г)= 2 + d римановой сферы равна нулю. [c.324]

Универсальное накрывающее любой ориентируемой поверхности, отличной от сферы, есть R . Мы можем также рассматривать поверхности как одномерные комплексные многообразия сфера — это риманова сфера С U оо , тор — фактор С по решетке, а поверхности более высокого рода получаются из верхней полуплоскости Н = г 6 С Im г > 0 или единичного круга В в С как факторы по некоторым подгруппам преобразований Мебиуса, как показано в п. 5.4 д. Риманова сфера, R н диск Пуанкаре допускают метрику постоянной гауссовой кривизны (положительной, нулевой и отрицательной соответственно), и эти свойства переносятся [c.713]

Следствие П21.2. Учитывая вышеупомянутые предположения, римановы сферы V являются выпуклыми, то есть геодезическая имеет не более двух общих со сферой точек. [c.177]

Рассмотрим для начала случай римановой сферы С и покажем, что i ( ) изоморфна хорошо известной комплексной группе Ли. Таким образом, i ( ) является не только группой, но и комплексным многообразием, а умножение и обращение элементов в этой группе являются голоморфными отображениями. [c.15]

Преобразования Мёбиуса. Группа e( ) всех конформных автоморфизмов римановой сферы изоморфна группе дробно-линей-ных преобразований, называемых также преобразованиями Мёбиуса [c.15]

Очевидно, что определяемая уравнением (1 1) функция переводит риманову сферу С в себя. Несложные вычисления показывают, что [c.17]

Теперь мы рассмотрим группу 5 (С) автоморфизмов римановой сферы. По определению автоморфизм g называется инволюцией, ес-ли gog= 1,но gф I. [c.19]

Сферический случай. Согласно 1.12, каждый конформный автоморфизм римановой сферы С имеет по крайней мере одну неподвижную точку. Поэтому если 5 = С/Г является римановой поверхностью с универсальной накрывающей 5 = С, то группа Г С должна [c.27]

Включения В С С являются примерами непостоянных голоморфных отображений гиперболической поверхности В в евклидову поверхность С и затем в риманову сферу С. Однако, ни одного голоморфного отображения в противоположном направлении не существует. [c.29]

Лемма. Отображения между поверхностями различных типов. Каждое голоморфное отображение из евклидовой римановой поверхности в гиперболическую поверхность постоянно. Аналогичным образом, каждое голоморфное отображение из римановой сферы в евклидову или в гиперболическую поверхность постоянно. [c.30]

Действительно, в гиперболическом случае существует одна и только одна полная конформная метрика, для которой гауссова кривизна постоянна и равна —1, ср. задачу 2-i. В евклидовом случае соответствующая метрика единственна с точностью до постоянного положительного множителя. В сферическом случае, отождествляя с помощью стереографической проекции риманову сферу С с единичной сферой в М , мы получаем стандартную сферическую метрику [c.35]

С другой стороны, покажите, что риманова сфера С имеет трехмерное семейство различных конформных римановых метрик кривизны +1. [c.42]

Фату и Жюлиа динамика на римановой сфере [c.55]

В 14 мы докажем более сильное утверждение о том, что для достаточно большого п всего один образ целиком содержит множество Жюлиа или всю риманову сферу в специальном случае, когда не существует точек с конечными большими орбитами.) [c.65]

Следствие. Множество Жюлиа с внутренностью. Если множество Жюлиа содержит внутреннюю точку, то оно должно совпадать со всей римановой сферой. [c.65]

В этом параграфе мы начнем рассмотрение динамики на римановых поверхностях, отличных от римановой сферы. Оказывается, что возможности динамики на гиперболических поверхностях очень ограничены. Прежде всего, напомним определение, подчеркнув, что гиперболическая риманова поверхность 8 может быть и некомпактной. [c.74]

Позже, в 16 мы применим эту теорему в случае, когда 3 — открытое подмножество римановой сферы, и f является рациональным [c.75]

В нащем примере, поскольку поверхность 1 является тором Т и х(Т) = О, из того, что точек ветвления в точности четыре, а их кратности равны единицам, следует, что 2х 82) — х(Т) = 4 или (б г) = 2. Используя стандартную формулу х = 2 — 2g, мы заключаем, что 82 является поверхностью рода ноль, т. е. изоморфна римановой сфере. (Замечание. Отображение проектирования Т в сферу С, нормализованное подходящим образом, известно под названием р-функция Вейерштрасса.) [c.91]

Теперь рассмотрим частный случай римановой сферы. Пусть f С С — рациональная функция степени d 2, и z С — геометрически притягивающая неподвижная точка с областью притяжения, ia С С. Заметим, что в некоторой малой окрестности точки О G G отображение ф si —С из предыдущего следствия имеет корректно определенное обратное голоморфное отображение М) такое, [c.101]

Теперь конформный изоморфизм 3 // /Z из теоремы 10.6 может быть получен отображением класса эквивалентности го, гх,. .. в класс вычетов а го) по модулю Ж. Чтобы убедиться в том, что а единственна с точностью до параллельного переноса, удобно использовать конформную эквивалентность /Z = С 0 . Но любая конформная эквивалентность С 0 —> С 0 единственным образом продолжается до конформной эквивалентности римановой сферы в себя, и эта продолженная эквивалентность должна иметь вид г Ч сг или 2 с/г [c.141]

Покажите, что для / г) = г + 1/(1 + в бесконечной точке имеется три притягивающих направления. Покажите, что одна из трех параболических областей непосредственного притяжения целиком содержит прямую Е, и поэтому почти разделяет риманову сферу на компоненты связности. [c.149]

Теперь предположим, что наща риманова поверхность 3 является римановой сферой. (Аналогичные формулы на других римановых поверхностях см. в 12.5.) [c.171]

Ур-нием класса Фукса наз. ур-ние (4), все ОТ к-рого на римановой сфере являются регулярными. Известен общий вид таких ур-ний. Все осн. дифференц. ур-ния 2-го порядка, возникаюп(ие в задачах матем. физики, можно получить иа ур-ния с пятью регулярными независимыми ОТ при зтом разности характеристич. показателей в каждой ОТ равны [c.77]

К полученной натуральной системе можно применить изложенные выше результаты. При к > ш область возможных движений совпадает со всей сферой Пуассона. Поскольку на двумерной римановой сфере существуют, по крайней мере, три различные замкнутые песамопересекающиеся геодезические, то в этом случае уравнения пониженной системы имеют шесть различных периодических решений [57] . Если задача мало отличается от интегрируемого случая Эйлера-Пуансо, то эти решения суть возмущения постоянных вращений вокруг главных осей эллипсоида инерции (см. 2, 3 гл. IV). [c.145]

Пример. Пусть С = Си оо 52 — риманова сфера, т. е. одноточечная компактификация комплексной плоскости. Гладкая структура в окрестности оо задается координатой w = /z. Рассмотрим отображение / продолженное наоо по правилу/(оо) = оо. Тогда для точек г, близких к оо, мы имеем /(го) = вблизи гу = 0. Заметим, что deg / = 2, поскольку / покрывает сферу дважды и сохраняет ориентацию. Динамика же отображения / такова полюса О и оо являются притягивающими неподвижными точками, экватор z е С z = 1 инвариантен и ограничение / на него представляет собой просто растягивающее отображение окружности Е , определенное в (1.7.1). Все другие точки сходятся к одному из полюсов под действием итераций z к- z . Все периодические точки, отличные от полюсов, находятся на экваторе. Эти точки являются решениями уравнения z = /"(z) = z2". т. е. [c.321]

Существуют определенные ситуации, когда неравенство из теоремы 8.3.1 становится равенством. Один из примеров — растягивающие отображения окружности (см. следствие 3.2.4). Это верно и для произвольных растягивающих отображений компактного многообразия (см. упражнение 8.3.2). Другой пример — отображение /(z) = z , рассмотренное в п. 8.2 в, как и всякое отображение вида /(z) = z" для любого п. Значительно более общая ситуация включает произвольные рациональные отображения римановой сферы, т. е. отображения вида /(z) = где Р и Q — взаимно простые полиномы, хотя здесь мы можем докайть лишь одно неравенство. Такие отображения характеризуются как голоморфные отображения римановой сферы в себя. Так как эти отображения сохраняют ориентацию, их степень равна числу прообразов регулярной точки, т. е. числу решений уравнения [c.324]

П р е р. Рассмотрим отображение / - S , z , на римановой сфере С = С и оо , т. е. на одноточечной комапктификации комплексной плоскости. Поскольку / покрывает сферу дважды, deg/ = 2. Следовательно, L (/ ) = 1+2" и, как было показано в 8.2, Р (/) = 2+2"-1 = 2 +1 = (/"). Это означает, что все периодические точки имеют одинаковый индекс. С другой стороны, известный нам контрпример не обладает таким большим количеством периодических точек, как можно было бы предположить, исходя из значения числа Лефшеца. Действительно, степень отображения д S , zi- z / 2 z ), равна двум. По формуле Лефшеца [c.336]

Получаем орисферы, являющиеся сферами бесконечного радиуса с центром в бесконечности. Риманова сфера с центром в точке а, проходящая через Ь, будет обозначаться Ь). [c.180]

Фактически каждый автоморфизм дисков В и В является преобразованием Мёбиуса, и поэтому единственным образом продолжается до автоморфизма Р всей римановой сферы. Это продолжение коммутирует с преобразованием инверсии а г) = 1/г. Действительно, композиция а о Р о а голоморфна и совпадает с на единичной окружности, и, следовательно, совпадает с Р всюду. Значит, Р имеет неподвижную точку в открытом диске В тогда и только тогда, когда опо имеет соответствующую неподвижную точку а(г) в дополнении С В. Из теоремы 1.11 следует, что два элемета из коммутируют тогда и только тогда, когда множества их неподвижных точек в В совпадают, если исключить случай коммутирующих инволюций. [c.21]

Пример сфера с тремя выколотыми точками. Если удалить одну либо две точки из римановой сферы С, то мы получим евклидову поверхность, а именно, комплексную плоскость С либо С 0 = /Z. Однако, если удалить из сферы три различных точки, то мы получим поверхность 5 = С О, 1 , которая должна быть гиперболической в частности по той причине, что ее фундаментальная группа неабелева. (Для более элементарного доказательства того, что 5 не входит в наш список негиперболических поверхностей, заметим, что для любого достаточно большого компактного множества К С 8 его дополнение 8 К имеет по крайней мере три компоненты связности. Мы будем говорить, что сфера с тремя выколотыми точками имеет три конца , в то время как любая негиперболическая поверхность имеет не более двух концов. Явная формула для универсального накрытия И С О, 1 задается эллиптической модулярной функцией . Ср. задачу 7-g.) [c.29]

Заметим, что эти утверждения очевидным образом несправедливы в негиперболическом случае. Например, если 8 = Т либо риманова сфера С, либо комплексная плоскость С, либо фактор-пространство /Z, либо С/Л, то последовательность отображений г пг Но1(5, 8) переводит компактное множество К = К = 0 в себя и, несмотря па это, не имеет сходящейся последовательности, т. к. последовательность из первы) п оизводпых в нуле расходится. В самом деле, пространство Но1(С, С) всех рациональных отображений локально-компактно, но не компактно, тогда как пространство Но1(С, С) не является даже локально-компактным. (Задача 3-с.) [c.47]

Классическим примером, на котором мы остановимся подробнее, является случай рилиповой сферы S = С = С U оо. Любое голоморфное отображение f С С римановой сферы можно задать с помощью рациональной функции, то есть как отношение f z) = p z)/q z) двух многочленов. Здесь естественно предполагать, что p z) и q z) не имеют общих корней. Тогда степенью d функции f = p/q назовем максимальную из степеней таких многочленов р и q. При любом выборе постоянной с е 7 (за исключением конечного числа возможностей) эта степень может быть описана как число различных решений уравнения f(z) = = с. Обычно мы будем предполагать, что d 2, заведомо подразумевая, что d 1 то есть в дальнейшем f всегда будет непостоянным отображением С в себя. [c.56]

Больщинство множеств Жюлиа оказываются сложными фрактальными подмножествами в С. Однако, имеется три исключения. Согласно теореме Гамильтона (1995), каждое множество Жюлиа, являющееся одномерным топологическим многообразием, с точностью до преобразования Мёбиуса должно быть либо окружностью, либо замкнутым сегментом, в противном случае его хаусдорфова размерность строго больще единицы. Если рассматривать всю риманову сферу как третий гладкий пример, то здесь с точностью до автоморфизма имеются только три возможных типа гладких множеств Жюлиа рациональной функции степени 2. Однако, каждый из этих примеров может оказаться множеством Жюлиа для многих различных рациональных функций это свойство само по себе является исключительным. В этом параграфе мы рассмотрим эти примеры. [c.89]

Замечание. Мэри Рис (1984, 1986а) доказала существование многих других рациональных отображений, для которых множества Жюлиа совпадают со всей римановой сферой. См. также Эрман (1984). Для любой степени d 2 обозначим через Rat(d) комплексное многообразие, состоящее из всех рациональных отображений степени d. Рис показала, что в Rat(d) существует подмножество положительной меры, состоящее из отображений /, являющихся эргодическими . По определению это означает, что любое измеримое подмножество в С, инвариантное относительно /, должно иметь либо полную меру, либо меру нуль. Можно показать, что для любого эргодического отображения / выполняется равенство J(/) = С. [c.93]

См., например, Франкс.) В нашем случае М — это риманова сфера, и / — рациональное отображение степени d. Следовательно, в этой сумме нульмерные группы гомологий дают слагаемое +1, а соответствующее двумерной группе гомологий слагаемое равно +d, и поэтому сумма индексов равна d+ 1. [c.170]

Существуют два известных метода построения колец Эрмана. Авторский метод, принадлежащий Эрману, основан на тщательном анализе вещественных аналитических диффеоморфизмов окружности. Другой метод, принадлежащий Сисикуре, использует квазиконформную перестройку двух экземпляров римановой сферы, в которых из дисков Зигеля вырезаются части, прилегающие к центрам, и полученные границы склеиваются друг с другом так, что в результате получается такое кольцо. [c.189]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...