Сопряженные базисные функции

Соотношение (9.16) выражает свойство, которым должны обладать функции Ф (X), чтобы их можно было считать сопряженными базисными функциями. Однако этого свойства недостаточно для однозначного определения совокупности независимых функций Ф (X). Для устранения этой неопределенности построим функции Ф (X) по формулам [c.70]

О). Затем строится еще одно множество сопряженных базисных функций Ф (X) по формулам [c.73]

Так как формулы (9.39) единственным образом определяют множество сопряженных базисных функций, удовлетворяющих условию. [c.73]

Возвращаясь к (9.147), мы можем теперь определить системы локальных сопряженных базисных функций, поскольку ( ) [c.88]

Это равенство определяет локальные сопряженные базисные функции для элемента е конечноэлементной аппроксимации. Вследствие (9.138) имеем [c.88]

Соотношение (9.155) весьма важно оно показывает, что локальные сопряженные базисные функции для элемента е являются линейными комбинациями базисных функций всех Е конечных элементов. Таким образом, функции (х) не обязаны иметь локальные носители, фактически для каждой локальной функции (х) носителем служит вся связанная область Ш. Это означает, что обычный прием вычисления локальных значений сопряженных аппроксимаций с помощью локальных узловых значений gЩ (например, вычисление напряжений элемента по аппроксимации пере- [c.88]

С помощью (9.155) теперь можно определить сопряженные базисные функции [c.95]

Процедуру диагонализации можно проводить с матрицей А1, получающейся из исходной унитарным преобразованием Ах = иА1/ 11- матрица перехода). При этом в силу свойств четности профиля и базисных функций можно выбрать II таким образом, что матрица Л1 оказывается вещественной. Ее собственные числа поэтому либо вещественны, либо образуют комплексно-сопряженные пары. [c.21]

Матрица Сдр иногда называется матрицей Грама базисных функций Фд . Если пространство о№ комплексное, то для Сдр транспонированная матрица совпадает с комплексно сопряженной. [c.69]

Из (9.17) непосредственно получаются два важных свойства пространства Ф. Во-первых, заметим, что вследствие (9.17) каждый элемент множества (Ф (X) является линейной комбинацией первоначальных базисных функций Фд (X). Поэтому функции фА (X) из Ф принадлежат и Ф, значит, Ф и его сопряженное Ф совпадают, т. е. подпространство Ф самосопряженное. Следовательно, каждый элемент Р (X) 6 Ф можно представить в виде линейных комбинаций либо функций Фд (X), либо функций Ф (X). Вместо (9.10) можно записать [c.71]

ЯВНО задает множество из С линейных функционалов на Ф, то функции Ф (X) образуют базис ( -мерного пространства Ф, сопряженного с Ф. Таким образом, элементы Ф представляются в виде линейных комбинаций функций Ф (X) (т. е. "Р (X) = = /"дФ (X) Д = 1, 2,. . ., С). Однако (9.17) показывает, что каждая функция Ф (X) является линейной комбинацией первоначальных базисных функций. Это означает, что Ф (X) 6 Ф я, следовательно, пространства Ф и Ф совпадают. Отсюда следу- ет, что каждый элемент Р (X) Ф можно единственным образом представить в виде линейной комбинации как функций Фд (X), так и функций Ф (X). Действительно, [c.74]

Для того чтобы применить изложенную теорию сопряженных аппроксимаций к конечноэлементным аппроксимациям, необходимо ВЫЯСНИТЬ природу базисных функций Фд (X), используемых для конечноэлементных представлений функций Р (X). С этой целью, следуя описанной в 6 и 7 процедуре, представим область Я областью состоящей из совокупности Е конечных элементов Ге, которые связаны между собой в С глобальных узловых точках Х- (А = 1, 2,. . ., О). Как обычно, внутри каждого элемента [c.85]

Рис. 9.2." Локальные базисные функции и сопряженные базисные

Тот факт, что в этих равенствах фигурирует 1Пд, а не 111 , говорит о том, что величины 1Пд являются компонентами некоторой функции на конечномерном подпространстве Ф, сопряженном с пространством Ф, порождаемым глобальными базисными функциями [c.266]

Здесь предполагается, что преобразования от локальных координат к глобальным уже осуществлены. Будучи разрывными, глобальные напряжения T — T (X, 1) не принадлежат конечномерному подпространству Ф или его сопряженному Ф, порождаемым глобальными базисными функциями Фд (X) или Ф (X) соответственно. нако легко можно вычислить проекцию = ПГ напряжения на сопряженное пространство Ф [c.279]

Изложенная теория возмущений высоких порядков требует знания базисной системы собственных функций основного и сопряженного уравнений. Другой подход к построению теории возмущений высших порядков, не требующий знания собственных функций, содержится в работе [112], где получено следующее выражение для вариации функционала (в принятых нами обозначениях) [c.28]

Существенную помощь в исследовании нестационарных процессов может оказать метод разложения распределения температур в ряд по собственным функциям (см. гл. 3). Для этой цели должны быть разработаны эффективные алгоритмы численного расчета на ЭВМ собственных функций и собственных значений различных порядков основного и сопряженного уравнений переноса тепла. Знание базисной системы функций основного и сопряженного уравнений позволяет также построить общую теорию возмущений высших порядков, о которой шла речь в гл. I. Несомненную пользу исследователю может дать теория возмущений для декремента затухания гармоник температурного распределения, поскольку она позволяет вводить поправки к функции, описывающей ход нестационарного процесса, под влиянием тех или иных возмущений параметров системы. [c.112]

Для построения функции распределения, которая описывает локально-равновесное состояние жидкости, мы будем следовать общей схеме, изложенной в предыдущем параграфе. Введем базисные динамические переменные и сопряженные им термодинамические параметры ) [c.89]

Сопряженные базисные функции 113 Соседние коиечпые элементы 75, 97 [c.506]

Таким обраэом, наилучшей аппроксимацией заданной функции F (X) в подпространстве Ф является функция F (X) 6 Ф, компоненты которой относительно базиса Фд равны скалярным произведениям F (X) с сопряженными базисными функциями Ф (X). [c.75]

На первый взгляд кажется -естественным использовать матрицу сЩм и ее обратную для построения множества локальных сопряженных базисных функций, как это делалось раньше при определении Ф (X). Однако мы тогда ограничились рассмотрением пространств Ф и Ф, содержащих только непрерывные функции. А так как от функций г )5у (х) требуется только лишь, чтобы они образовывали непрерывные базисные функции Фд (X) по формулам (9.138), нет никаких оснований ожидать, что в достаточной степени произвольная линейная комбинация 2 (с5ум) фм (х) [c.87]

Совершенно другое распределение напряжений получается при использовании сопряженных аппроксимаций. Если предположить, что к (х) / ж 6 6-Ф, по крайней мере п иближенно, тоТэнергия деформации определяет линейный функционал на и задает о (ж) как элемент сопряженного про-странства Ф. Таким образом, о х) следует представить в виде линейной комбинации сопряженных базисных функций. Подстановка (9.209) в (9.201), как в раньше, дает локальное поле напряжений а > (х) для каждого элемента. Сопряженные узловые) компоненты вычисляются с помощью (9.151) [c.97]

Базисные функции Фд (X), обладающие свойством (9.70), будем называть нормализованными относительно С узлов Х . В п. 9. рассматривается способ построения таких нормализованных базисных функций для конечноэлементных аппроксимаций. Равенство-(9.71) показывает, что сопряженные функции Ф (X) представляют ёобой проекции дельта-функций б (X — Х ) узлов Х . [c.78]

Лроизводные сопряженных аппроксимации. Один из наиболее распространенных линейных операторов — оператор частного дифференцирования. Рассмотрим некоторые свойства производных аппроксимационных функций. Пусть (X) обозначают частную производную функции Р (X) 6 Будем предполагать, что (X) существует и что производные базисных функций Фд (X) тоже принадлежат подпространству Ф, т. е. 5цФд 6 Ф (это последнее предположение, конечно, не всегда справедливо). Введем в рассмотрение массив [c.82]

Фундаментальные свойства конечноэлеменшных аппроксимаций. Описав базисные функции Фд (X) для конечноэлементных аппроксимаций, мы можем применить к ним изложенную ранее общую теорию сопряженных аппроксимаций. Подставляя (9.138) в (9.12), получаем фундаментальную матрицу подпространства Ф для конечноэлементных моделей [c.87]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...