Контур интегрирования перевальны

Для вычисления интеграла Л контур интегрирования нужно деформировать и провести вдоль перевального пути (см. рис. IV.2). Перевальный путь определяется условием, чтобы Re os ( — 6 ) = 1, т. е. равнялась своему значению в точке перевала = 0. Уравнение перевального пути в комплексной плоскости = + есть os( — 6 )Х X h I" = 1. При I" -> оо I 0 я/2. Подынтегральная функция имеет полюс, координаты которого определены уравнением п = Jt/2, th I" = —6. [c.180]

Деформируем контур интегрирования С в перевальный путь (см. рис. 1V.2). Далее сделаем замену переменных [c.181]

Задача усложняется, когда число пересечений разреза нечетно. В зтом случае начало и конец контура 71 лежат на разных листах. Чтобы соединить перевальный контур интегрирования с исходным, нигде не пересекая разрезы при конечных значениях ц, путь 71 приходится дополнить охватывающим разрез контуром 72 и тремя бесконечно удаленными дугами (рис. 12.3). Последние опять не дадут вклада в р,.. Интеграл же по берегам разреза приводит к своеобразной боковой волне, которая своим существованием обязана точкам ветвления коэффициента отражения как функции д (или 5). Подробный анализ условий возникновения и свойств боковой волны мы отложим до 14. [c.247]

Рис. 2.3. Преобразование контуров интегрирования в случае нечетного числа пересечений перевального пути -у, с размером. Штриховыми линиями со стрелками показаны участки контура интегрирования, лежащие иа листе — +

Исследование перевального контура интегрирования 71, проходящего через [c.320]

Если у подынтегральной функции есть полюса, которые необходима пересечь при деформации исходного контура интегрирования в перевальный, то к окончательному выражению необходимо добавить вычеты в этих полюсах. [c.153]

Что метод перевала не может дать, так это учет сближения критических точек. Пусть, например, простая перевальная точка у , расположена вблизи концевой точки а контура у. Асимптотика, полученная методом перевала, равна сумме вкладов (11.9) стационарной точки и (11.15) точки и = = а. Если р фиксировано, а - а, то f a) -> О, и соотношение (11.15) Теряет смысл. Однако при совпадении особенностей метод перевала пригоден. В нашем примере при а асимптотика интеграла дается формулой (11. 16). Когда Ф ан + , всегда найдется достаточно большое значение р, при котором можно пользоваться формулами (11.9) и (11.15). Только при =а нужно использовать другую формулу - (11.16). Большим параметром в методе перевала, в сущности, является не р, а величина, характеризующая медленность изменения функций / и в существенной при интегрировании окрестности критической точки. Напри мер, в (11.15) истинным большим параметром будет pf a) p a w ), если / " и производные Р порядка единицы. При сближении двух стационарных точек большой параметр — зто р х (см, (11.26)). [c.225]

На первом этапе вычислений контур у деформируют в контур с теми же концами, проходящий через стационарные точки Zq ф-ции q z) 1точки, в к-рых 9 (г)=0]. Стационарная точка является седловой точкой поверхности и = и х, у) = Reg(z), г = х iy. Наиб, удобный путь интегрирования совнадает с линией, вдоль к-рой Im д(г) постоянна, а Reg(z) убывает быстрее всего перевальный контур, путь наибыстрейшего спуска), тогда вычисление интеграла сводится к интегрированию по вещественной переменной. Др, возможность — выбор линии с постоянной Reg(z), в этом случае П. м. переходит в метод стахщо-нарной фазы. Если при переходе к перевальному контуру встречаются особые точки ф-ции /(г), соответствующие вклады учитывают с помощью Коши теоремы. Если в рассматриваемой области q z) не имеет нулей, осн. вклад в интеграл даёт окрестность одного из концов контура интегрирования. [c.556]

Точка пересечения перевального пути с прямой = я/2, I" < О определена уравнением thg"=— osG. Таким образом, если /СоР 1 и os 01 > 6, то при деформации контура интегрирования в перевальный путь полюс не задевается. [c.180]

Будем сначала рассматривать случай, когда при деформации контуров интегрирования разрез, связанный с точками вегвления д - п, пересекается четное число раз, и интеграл по исходному контуру у равен интегралу по перевальному пути 71. Тогда согласно (12,14)-(12,16) можно записать [c.250]

Отраженная волна имеет интегральные представления точное (12.10) и приближенное (12.14)-(12.16), где V следует заменить на и. Уравнение перевального пути 71 (12.17) не зависит от характера отражаюшей границы. Поскольку точка ветвления д = О функции Ханкеля несущественна, а и(<7) имеет только две точки ветвления /у = 1, риманову поверхность можно считать двулистной. В непоглошаюшей среде (а= 1) разрез проходит по мнимой оси и отрезку (-1, 1] вещественной оси <7 (рис. 12.6). За исклю-чением небольшого участка, показанного на рис. 12.6 штриховой линией, контур 71 лежит на верхнем листе. Поэтому деформация исходного контура интегрирования к 71 производится беспрепятственно, причем значение интеграла по перевальному пути дает формула (12.21).Дополнительный вклад в интеграл может дать полюс коэффициента отражения, если он встретится при деформации контура. Положение попюса определяется уравнением [c.261]

Дпя анализа отраженного звукового поля вновь применим метод перевала. Как и в случае точечного источника звука, боковые волны связаны с вкладом точек ветвления q = п в асимптотику поля. Когда какой-либо из разрезов, исходящих из этих точек, нечетное число раз пересекается при деформации исходного контура интегрирования к перевальному, точка ветвления дает в асимптотику поля вклад, равный согласно (14.6) [c.317]

Рис. 4.8. Перевальный путь интегрирования у, в спучае 5 < 1, О < в < в,/2. Для наглядности масштаб по оси ординат взят большим, чем по осн абсцисс. С - разрС зы, вызванные точками ветвления q = хп, у - исходный контур интегрирования. Положение точек пересечения 7, с вещественной осью указано с точностью до вели чин 0(5)

Нели контур 7 в (11.1) неограничен, то он уходит на бесконечность по долинам , иначе интеграл бьш бы раеходящи.мся. Перевальный путь интегрирования состоит из двух лучей быстрейшего спуска Г ,2. лежащих в тех долинах , по которым уходит на бесконечность у. Для вклада каждого из лучей имеем [c.223]

В п. 2.2 мы видели, что выбор знака мнимой части рассматриваемых радикалов определяет знак мнимой части вертикальной компоненты волновых векторов преломленной airP -q y и отраженной at(l волн. Из условия ограниченности звукового поля при z следует, что исходный путь интегрирования у лежит на верхнем листе ++. Из рис. 12-2 видно, что перевальный контур может пересекать разрезы. В точке пересечения контур должен покинуть верхний лист, чтобы избежать разрывов подынтегрального выражения. Если число пересечений разреза четно, то контур возвращается на исходный лист, и деформация 7 в 7i не вызывает затруднений. Появляются только связующие дуги 1 I = fl = oast, лежащие в ne( OM, втором и четвертом квадрантах (см. рис. 12.2), которые должны проходить в бесконечно далекой части комплексной плос- [c.246]

Обратимся теперь к случаю малых значений угла зеркального отражения 00- На перевальном контуре зкспонента ехр[ i/ q) спадает в е раз по сравнению со своим значением в точке перевала при 1 - q 2 kRxf" q ) . Позтому при интегрировании существенна окрестность q с радиусом порядка ЛЛ, Г . Если q > Г , т.е. > [c.249]

Полученные выше результаты позволяют вычислить отраженное звуковое поле прн I /7 tl 1 н любых во, если п не слишком близко к нулю или единице, а пг - к нулю или бесконечности. Они описывают также поведение Рг при I ЛЛ11 -> оо для любых фиксированных тнп. Легко дать физическую интерпретацию математическим операциям, использованным при выводе формул (12.21) и (12.29). Деформация первоначального пути интегрирования 7 в перевальный путь 7i означает, что поле составляется иэ плоских волн, которые имеют в точке наблюдения одинаковую фазу, равную фазе волны с углом падения бо. Путь 7i, на котором фаза постоянна, согласно оошим свойствам аналитических функций одновременно является контуром быстрейшего убывания амплитуды при удалении от перевальной точки. Позтому иоказалось,что при анализе интеграла были существенны только участки перевального пути, близкие к т.е, углы в, близкие к 00- Это означает, что поле в точке наблюдения составляется преимущественно из плоских волн, отраженных от границы под углами, близкими к бо - углу падения луча, построенного по законам геометрической акустики. Вклад точки ветвления, как мы увидим в 14, также допускает наг-лядную лучевую интерпретацию. [c.253]

Сначала рассмотрим случай плоской границы однородных полупространств. Отраженное поле имеет интегральное представление (12.14), для анализа которого можно применить метод перевала (см. пп. 12.2 и 14.1). При этом задача об области наблюдения боковой волны сводится к вопросу о том, при каких условиях связанный с неоднозначностью подынтегральной функции разрез, исходяидай из точки д п, при деформации исходного пути интегрирования к перевальному контуру пересекается нечетное число раз. [c.307]

Полвый путь интегрирования изображен ва рис. 30.1. Этот путь от точки — л/2 -1- U о + идет до точки ioo и затем охватывает разрез по контуру Fo. После этого он пересекает разрез и уже по нижнему листу идет снова в исходную точку — л/2 — u, -f гоо. Из вее ивтегрирование идет по перевальному пути F, начальная часть которого, обозначенная пунктиром, теперь лежит на нпжнем листе. [c.177]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...