Момент инерции (относительно оси) эллипса

Эллипс ИНЕРЦИИ. В некоторых случаях важно изучить распределение моментов инерции относительно осей, лежащих в некоторой плоскости я и пересекающихся в одной точке О. Типичным примером такого случая будет система материальных точек, лежащих в одной плоскости (предыдущий пункт). Изменение моментов инерции относительно осей, лежащих в плоскости it системы и проходящих через одну точку О, согласно с геометрическим истолкованием, изложенным в п. 23, определяется эллипсом инерции е, который получается при пересечении с плоскостью я эллипсоида инерции Е относительно О. Если эллипс е отнесен к его главным осям [c.49]

Аналогичное выражение можно получить для момента инерции относительно оси Оу. В результате для эллипса будем иметь следующие формулы для осевых моментов [c.34]

Построим эллипс инерции. Определим с его помощью моменты инерции относительно осей хоу, параллельных полкам уголков. Проведем касательную к эллипсу, параллельную оси х. Координаты точки касания см, ЫМ=х =—1,32 см. [c.167]

Найти положение главных центральных осей инерции, вычислить значения моментов инерции относительно этих осей и построить эллипс инерции для сечения неравнобокого уголка, показанного на рисунке. [c.70]

При определении с помощью эллипса момента инерции относительно какой-либо оси Z, проходящей через центр эллипса, проводится касательная к эллипсу, параллельная оси Z, и измеряется расстояние от центра эллипса до этой касательной [c.124]

Для некоторых довольно часто встречающихся в инженерной практике сечений, например, круга, квадрата и многих других (рис. 172), моменты инерции относительно обеих главных осей инерции одинаковы. Следовательно, равны между собой и главные радиусы инерции iy=iz), вследствие чего эллипс инерции обращается в круг инерции. Для таких сечений любая центральная ось является главной центральной осью инерции, что видно также из формулы [c.245]

Чтобы с помощью эллипса инерции найти моменты инерции относительно каких-нибудь произвольных осей х оу , нужно провести касательную к эллипсу, параллельную одной из этих осей, например оси oxi- Координаты точки касания дадут возможность определить моменты инерции относительно новых осей. Ордината 0F, или расстояние от заданной оси до касательной, измеренное по перпендикуляру, даст величину радиуса инерции относительно оси oxi (доказательство не приводим, его можно найти в более полном курсе сопротивления материалов). Чтобы найти момент инерции / ,, достаточно найденный радиус инерции возвести в квадрат и умножить на площадь фигуры [c.166]

Выражение момента инерции относительно произвольной оси оху можно записать следующим образом. Представим себе всю площадь фигуры, разделенной пополам, и каждую половину сконцентрированной в одной точке (соответствующей точке касания касательной к эллипсу, параллельной оси ох ). Тогда момент инерции фигуры определится как удвоенное произведение половины площади на квадрат расстояния до оси. [c.167]

Другие методы определения моментов инерции. Моменты инерции, приведенные в п. 8, составляют лишь небольшую часть постоянно используемых. Например, приведены моменты инерции плош,ади эллипса относительно его главных осей. Однако часто требуется найти моменты инерции плош,ади эллипса относительно других осей. Конечно, в каждом частном случае их можно найти с помощью интегрирования. Но этот процесс весьма сложен, и его часто можно избежать, используя две теоремы, приводимые ниже (см. пп. 13 и 15). [c.20]

Другие две главные оси инерции могут быть найдены следующим образом. Если моменты инерции относительно двух прямых, пересекающихся в точке Р, будут равны, то при условии, что эти прямые лежат в главной плоскости инерции, главная ось инерции для точки р будет биссектрисой угла между этими двумя прямыми. Действительно, оси эллипса инерции с центром в точке Р будут биссектрисами углов между любыми двумя равными по величине радиусами-векторами. [c.51]

Соединим точку р с точками 5 и Я (рис. 5). Каждый из моментов инерции относительно прямых 8Р и 8Н равен Л. Отсюда, если прямые РО и РТ являются биссектрисами двух смежных углов, один из которых угол 8РН, то эти прямые РО, РТ — главные оси инерции для точки Р. Поэтому, если взять произвольный эллипс или гиперболу с фокусами, находяш имися в точках 8 и Н, то касательная и нормаль в любой их точке будут главными осями инерции для этой точки. [c.51]

Вычислим момент инерции эллипса с полуосями а, Ь (рис. 20) относительно центральной оси г. [c.19]

Последний интеграл в правой части есть момент инерции круга радиуса а относительно оси г он равен Следовательно, искомый момент инерции эллипса [c.19]

Если построен эллипс инерции сечения, то для нахождения момента инерции этого сечения относительно какой-либо произвольной оси достаточно провести перпендикуляр, проходящий через ц. т. сечения до пересечения с контуром эллипса инерции. Отрезок ОА и есть радиус инерции. Тогда искомый момент инерции [c.32]

Вычислим момент инерции эллипса с полуосями а, h (рис. 2(3) относительно центральной оси z. [c.27]

Для сечения составной балки найти координаты центра сечения, моменты инерции сечения относительно центральных горизонтальной и вертикальной осей х н у, направление главных осей 1 и 2, главные моменты инерции Ух и /а. полуоси эллипса инерции и построить прямоугольник инерции. [c.85]

Доказать, что моменты инерции однородного эллипса относительно его осей равны [c.61]

Сферический ротор имеет различные полярный и экваториальный моменты инерции. Если такой ротор вывести из положения равновесия, поворачивая его относительно некоторой произвольной горизонтальной оси, то он будет совершать колебательное движен 1е. Приближенное решение уравнений Эйлера показывает, что траектория движения центра масс, записанная в угловых координатах, представляет собой фигуру Лиссажу в виде эллипса, непрерывно изменяющего свою конфигурацию. Пример такой траектории приведен на рис. 3, а. Начальные углы колебаний (углы Эйлера) во и фо равны 10°. Ввиду различия полярного и экваториального моментов инерции колебания в направлениях 0 II ф происходят с разными частотами. При этом видно, что центр масс практически не проходит через положение равновесия — точку 0. Более того, плоскость колебаний пе остается постоянной, а менее чем за три периода разворачивается на 90°, Такое движение ие дает возможности не только определить момент прохождения центра масс близ положения равновесия, но 278 [c.278]

Здесь первый и второй интегралы представляют собой осевые моменты инерции эллипса относительно осей Оу и Ох, а третий — площадь эллипса (см. 2.6) [c.175]

Ма, Mb — действующие моменты с осями изгиба, совпадающими с полуосями а VI Ь эллипса соответственно 1а, h — моменты инерции поперечного сечения относительно оси а или Ь соответственно (рис. 47). [c.197]

Одновременно с преобразованием расчетных фрагментов рассчитываются необходимые геометрические и жесткостные характеристики элементов, определяются эксцентриситеты связей и оболочек. Для шпангоутов рассчитываются площадь продольного сечения, осевые моменты инерции сечения относительно центра тяжести шпангоута, центробежный момент инерции, момент инерции при кручении. Для оболочечных элементов кроме геометрических параметров определяются толщины слоев. Состав геометрических параметров оболочечного элемента зависит от вида образующей. Для прямолинейных элементов находятся длина, угол наклона и расстояние до оси симметрии конструкции, для криволинейных — углы наклонов нормалей к оси симметрии в начальных и конечных точках, центр дуги окружности, эллипса, полуоси эллипса, радиус окружности. [c.337]

Момент инерции эллипса относительно главной центральной оси х (рис. А.Н) можно найти путем сравнения эллипса с кругом, изображенном на этом же рисунке пунктиром. Для того чтобы определить высоту у любого элемента эллипса например заштрихованного на рисунке, нужно уменьшить высоту соответствующего элемента круга, умножив ее на отношение Ыа, где а и — длины полуосей эллипса. Согласно выражению (А.8), отношение моментов инерции этих двух элементов относительно оси х составляет Очевидно, то же отношение имеет место и между осевыми моментами инерции эллипса и круга. Отсюда находим момент инерции эллипса [c.601]

Пр имечание. Момент инерции эллиптической пластинки относительно оси, перпендикулярной к плоскости эллипса и проходящей через центр масс, можно подсчитать следующим образом. Если оси Сх и Су направлены вдоль главных осей эллипса, то [c.421]

Так как J и f суть моменты инерции поперечного сечения относительно осей л и то уравнение эллипса инерции сечения имеет вид [c.284]

Если для данного сечения построен эллипс инерции (рис. 5.7), то графически можно определить радиус инерции у относительно любой центральной оси у и вычислить момент инерции по формуле [c.115]

Определение момента инерции площади эллипса относительно его малой оси. [c.16]

Пользуясь эллипсом ипор-ции площади F и указанными расстояниями, определить момент инерции относительно оси и [c.47]

По эллипсу инерции может быть определен радиус инерции площади относительно любых осей, проходящих чфез центр эллипса. Зная радиусы инерции, можно определить и моменты инерции (13.7), Эллипс инерции описывается уравнением [c.252]

Для определения по эллипсу инерции момента инерции относительно какой-либо оси, напри 1ер проведенной через центр эллипса, проводят касательную к эллипсу параллельно данной оси. Расстояние между касательной и данной осью в масштабе дает величину радиуса инерции относительно данной осиЗная радиус инерции, по формулам (13,7) определяется искомый момент инерции. Центробежный момент инерции относительно взаимно перпендикулярных осей у я г определяется [c.252]

Пример 2 Показать, что момент инерции площади неоднородного эллипса, состоящего из однородных софокусьых эллиптических слоев, относительно малой оси равен [c.20]

Притр 1. Предположим, что нужно вычислить момент инерции площади этлипса массы М с полуосями а к Ь относительно диаметра, составляющего с большей осью угол 0. Моменты инерции относительно прямых, на которых расположены полуоси эллипса а к Ь, равны соотвегственно МЬ 14 и Ма /4. На основании результатов, приведенных в п 16, момент инерции относительно диаметра равен МЬ соз 0 + Ма 0. Если через 2г обозначить длину диаметра, которая может быть найдена из уравнения эллипса, то искомый момент инерции примет вид Ма Ь 1(4г ). [c.24]

Построим на главных центральных осях инерции фигуры эллипс с полуосями, равными главным радиусам инерции, причем вдоль оси и отложим отрезки г , а вдоль оси v — отрезки iu (рис. 34). Такой эллипс, называемый элли/гсолг инерции, обладает следующим замечательным свойством. Радиус инерции относительно любой центральной оси 2 определяется как перпендикуляр ОА, проведенный из центра эллипса на касательную, параллельную данной оси. Для получения же точки касания достаточно провести параллельно данной оси 2 любую хорду. Точка пересечения эллипса с прямой, соединяющей центр О и середину хорды, и есть точка касания. Измерив затем отрезок Oy4=Iz, находим момент инерции = [c.40]

Эллипс. Для вычисления осевого момента инерции эллипса с полуосями а я Ь относительно оси Ох (рис. 2.17) поступим следующим образом. Вокруг эллипса опищем окружность и вьщелим две элементарные полоски щириной dx и высотой 2у для круга и 2 Рэ для эллипса. Моменты инерции этих двух полосок можно определить по первой из формул (2.15) для прямоугольника [c.33]

Решение. Пусть диаметр KOKi = 2г образует угол в с большой осью эллипса (рис.). Тогда момент инерции пластинки относительно диаметра равен [c.184]

Момент инерции эллипса относительно главной оси г (рис. 346) может быть получен путем сравнения эллипса с кругом, показанным на рисунке пунктиром. Высота у какого-либо элемента эллипса, например, показанного штриховкой, может 15ыть получена уменьшением высоты / 1 соответствующего элемента круга в отношении Ыа. Из уравнения (244) следует, что моменты инерции этих двух [c.353]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...