Квадрика

Рассмотрим пример (рис. 4.44). Пересекаются квадрики. Следовательно, линия пересечения — кривая 4-го порядка. Для нахождения ее точек в качестве посредников выбраны плоскости, параллельные Пз (на рисунке показаны две плоскости — Г и Д). Цилиндр они пересекают по образующим а, Ь, сферу — по окружностям /г, д, их пересечения дают точки 3—Ю, принадлежащие линии перехода (точки А, /, 2 — опорные точки, заведомо принадлежат ей). Проведя несколько таких плоскостей-посредников, получают достаточное число точек, через которые и проводят плавные кривые. , [c.105]

Теорема 11. Две квадрики в общем случае пересекаются по пространственной кривой четвертого порядка. [c.129]

Даны две квадрики Ф, А. Пересечем их произвольной плоскостью Г. Из определения порядка поверхности (см. гл. 8) следует, что плоскость Г пересекает поверхности Ф, А по коникам а, Ь, которые в свою очередь пересекаются в четырех точках А, В, С, D,принадлежащих линии / пересечения Ф и А. Следовательно, кривая /, как пересекающаяся с произвольной плоскостью Г в четырех точках, является пространственной кривой четвертого порядка. [c.129]

Теорема 12. Если две квадрики имеют обилую плоскость симметрии, то линия их пересечения ортогонально проецируется на эту плоскость в конику. [c.129]

Теорема 13. Если две квадрики имеют обилую конику, то они пересекаются еще по одной конике. [c.129]

Следствие. Если некоторая квадрика пересекается со сферой по окружности, то они имеют еще одну общую окружность. [c.129]

Теорема 14. Если две квадрики имеют две точки соприкосновения, то линия их пересечения распадается на две коники, проходящие через точки соприкосновения. [c.130]

Теорема 15. (теорема Монжа). Если две квадрики описаны около третьей или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две коники. [c.130]

Следствие. Очерком квадрики является коника. [c.131]

Действительно, проецирующая цилиндрическая поверхность, огибая данную квадрику, касается последней по контурной линии, которая является КОНИКОЙ. Поэтому проецирующая цилиндрическая поверхность второго порядка пересекает плоскость проекций также на конике, которая и является очерковой линией для данной квадрики. [c.131]

Теорема о существовании главных направлений деформаций и об экстремальности главных деформаций. Через любую точку деформируемого тела всегда можно провести три таких взаимно ортогональных направления, сдвиги между которыми в процессе деформации оказываются равными нулю. Такие направления называются главными, а относительные линейные деформации, происходящие вдоль этих направлений, называются главными деформациями и обозначаются б2 и eg. Доказательство этой теоремы, производится путем рассмотрения квадрики деформаций, совершенно аналогичной квадрике напряжений. Вдоль оси г, проходящей через рассматриваемую точку тела, откладывается вектор длиной [c.460]

Поверхность (2) или (3) при определенном знаке в правой части есть, очевидно, центральная поверхность второго порядка (с центром в начале координат). Она называется поверхностью напряжений, относящейся к данной точке тела ( квадрика напряжений Коши ). Мы увидим ниже, что возможны два случая в одном — знак в правой части уравнения (2) [c.27]

Поверхность, задаваемая уравнением (8), является центральной поверхностью второго порядка с центром в начале координат. Ее называют поверхностью напряжений или поверхностью Коши (квадрикой). [c.51]

Оно изображает поверхность второго порядка, которая называется поверхностью напряжений или квадрикой Коши поверхность [c.28]

Допустим для определенности, что квадрика есть однополостный гиперболоид и что она построена на рис. 16 для простоты чертежа показано ее сечение одной из главных плоскостей и предположено, что внешняя нормаль М О к площадке лежит в этой плоскости. Взяв площадку и проводя к ней внешнюю нормаль Му, найдем длину ММ вектора / зная ее, по второй из формул (1.21) найдем нормальное напряжение = ММ. [c.28]

Тогда уравнение квадрики Коши в новых осях будет [c.29]

Если главные площадки в данной точке найдены, то наряду с квадрикой Коши можно указать другую геометрическую картину распределения напряжений, предложенную Ламе. [c.32]

ТО квадрика Коши и эллипсоид Ламе будут поверхностями вращения вокруг оси М.г все площадки, проходящие через ось М.г (их имеется бесконечное множество), будут. главными. Площадок, на [c.36]

Квадрика Коши 28, 36 Кирхгофа гипотеза прямолинейного элемента 294 Клапейрона теорема 132, 326 Клин, нагруженный в вершине 199 Колебание гармоническое 97 [c.362]

А. Эллиптические координаты и конфокальные квадрика. [c.436]

Таким образом, конфокальные друг другу квадрики образуют однопараметрическое семейство, но от параметра квадратичная форма семейства зависит уже не линейно. [c.436]

На рис. 4.49 приведен пример выполнения учебного задания по теме Плоские сечения квадрик и их взаимное пересечение с определением параметров проекций построенных кривых. [c.109]

При частном взаимном положении пересекающихся квадрик линия их пересечения может распадаться на две, три и четыре составляющие. Из алгебры известно, что при этом сумма порядков составляющих равна четырем, т. е. порядку нераспавшейся линии пересечения квадрик. Поэтому возможны следующие варианты распадений а)4 = 3+ 1, 6)4 = 2 + 2, в)4 = 2 + 1 + 1, г) 4 = 1 + 1 + 1 + 1. [c.129]

Доказательство этой теоремы очевидное 4 — 2 = 2, т. е. сумма порядков составляющих равна порядку линии пересечения двух квадрик общего положения. [c.129]

Теорема 16 (теорема о трех точках соприкосновения). Если две квадрики имеют три точки соприкосновения, то они касаютля по конике, инцидентной этим точкам линия их пересечения состоит из двух совпавших коник). [c.131]

Знание приведенных теорем значительно облегчает построение линии пересечения двух квадрик, имеющих частное взаимное расположение. [c.131]

П01веденное утверждение является формулировкой так называемой теоремы о существовании главных площадок (главных напряжений). Таким образом, напряженное состояние в окрестности любой точки тела можно представить как растяжение (в алгебраическом смысле) в трех взаимно перпендикулярных направлениях, совпадающих с направлениями нормалей к главным площадкам, или, что то же самое, с направлениями главных напряжений. Поверхность (5.8) называется квадрикой Коши ). Подробнее о ней говорится в разделе 2 5.16. [c.387]

Частные случаи квадрики Коши. На рис. 5.19 показаны характерные случаи прост занственного, плоского и линег-ного напряженных состояний и соответствующие им квадрики Коши. [c.411]

Квадрика (поверхность) напряжений Коши 387, 41 1, 412, 460 — — деформаций Коши 460 Квазиизотропность поликристалла 231, [c.823]

Легко проследить действие групп на все определённые выше геом, объекты. На многообразие прямых (СЛ/ переносится действие группы SL(4. (П) проективных преобразований пространства 7 =С/ . Очевидно, что они являются автоморфизмами конформной структуры, определённой на (ГМ. Подгруппа SU2) проективных преобразований, сохраняюн.щх квадрику Го, индуцирует группу конформных преобразований пространства Минковского. Подгруппа в 5(/(2 2), сохраняющая прямую Iпорождает Пуанкаре группу движений пространства Минковского М. Если рассмотреть в. 9642 2) подгруппу, сохраняющую не только прямую, но и ещё одну прямую /о, не пересекающую и лежащую на Г(, (напр., Z(,= —z , Г[= -2з), ТО на М получим классич. представление Лоренца группы. [c.53]

По аналогии с поверхностью напряжений, опнсанной в 2.9, можно ввести лагранжеву и эйлерову поверхности линейных деформаций (квадрики деформаций) относительно локальных декартовых [c.128]

Известно, что эти частные производные пропорциональны косинусам углов, которые образует с осями координат нормаль MlQ к поверхности на этом основании последние равенства показывают, что косинусы направляющих углов нормали к поверхности пропорциональны проекциям Х , полного напряжения по взятой ллощадке на оси координат. Отсюда вывод полное напряжение МР на площадке перпендикулярно к касательной плоскости 551 к поверхности зная его направление, получим и величину Р = МР, проведя МР ММ. Теперь, конечно, легко найдем и касательное напряжение МТ. Таким образом, квадрика Коши позволяет полностью исследовать распределение напряжений в данной точке М тела. [c.29]

Эллиптические координаты в евклидовом пространстве определяются при помощи конфокальных квадрик (поверхностей второй степени). Геометрия же конфокальных квадрик получается из геометрии пучка квадратичных форм в евклидовом пространстве (т. е. из теории главных осей эллипсоидов или из теории малых колебаний) переходом в сопряженное пространство. [c.436]

Определение 1. Евклидовым пучком квадрик (соответственно квадратичных форм) в евклидовом векторном пространстве V называется однопараметрическое семейство поверхностей второй степени [c.436]

Определение 2. Конфокальным семейством квадрик в евклидовом пространстве называется семейство квадрик, двойственных квадрикам одного евклидова пучка (квадрик в пространстве, двойственном рассматриваемому) [c.436]

Эллиптическими координатами точки называются значения параметра Я, которым соответствуют проходящие через эту точку квадрики фиксированного семейства конфокальных квадрик. [c.437]

Теорема 1 (Якоби). Через каждую точку п-мерного евклидова пространства проходит п квадрик, конфокальных выбранному зллипсоиду. Гладкие конфокальные квадрики пересекаются под прямыми углами. [c.437]

В терминах двойственного пространства теорема 1 означает, что всякая гиперплоскость, не проходящая через О в п-мерном евклидовом пространстве, касается ровно п квадрик евклидова пучка, причем векторы, ведущие из О в точки касания, попарно ортогональны (рис. 248 справа). [c.437]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...