Вигнера функция импульса, Вигнера функци

Так как свойства функции Вигнера аналогичны свойствам классической функции кл(1, р), кажется разумным интерпретировать функцию Вигнера как совместную квантовую функцию распределения координат и импульса. Такая интерпретация является, однако, ошибочной, поскольку в квантовой механике координаты и импульс не могут одновременно иметь определенных значений. В математическом отношении это проявляется в том, что функция Вигнера не удовлетворяет всем необходимым условиям для функции распределения. Хотя / (г,р) является действительной функцией ), она может принимать отрицательные значения. Тем не менее, связь между функцией Вигнера и классической функцией распределения существует и может быть найдена путем усреднения / (г,р) по фазовой ячейке Аг Ар, объем которой велик по сравнению с (27r/i) . Операция усреднения разрушает квантовую интерференцию состояний и можно показать [71], что для Аг Ар > (27r/i) [c.30]

Таким образом, кинетическая часть Т включает только первую производную по координате. Напротив, член Ы, отвечаюш,ий потенциальной энергии, в зависимости от вида потенциала II(х), может включать производные функции Вигнера по импульсу более высоких порядков. [c.98]

Если рассмотреть зависимость функции Вигнера от импульса при фиксированной координате, предыдуш,ее уравнение примет вид обыкновенного дифференциального уравнения бесконечного порядка [c.105]

На рис. 4.5 показана функция Вигнера, а также соответствующие распределения для координаты и импульса, полученные интегрированием функции Вигнера по импульсам и координатам, соответственно. Функция Вигнера осциллирует в области, ограниченной классической траекторией в фазовом пространстве, и поэтому значение интеграла [c.132]

Следовательно, вклад от потенциальной энергии выражается через производные по импульсу от функции Вигнера. Число таких производных зависит от вида потенциала. [c.684]

Функция Вигнера зависит от двух аргументов, которые соответствуют координатам и импульсу частицы. [c.29]

Функции распределения координат и импульса (т. е. диагональные элементы матрицы плотности) получаются интегрированием функции Вигнера [c.29]

Мы рассматриваем квантово-механическое движение частицы с массой М. Для простоты ограничимся одномерным движением, которое описывается операторами координаты и импульса жир соответственно. В силу коммутационного соотношения = Ш между х и р невозможно определить истинное распределение в фазовом пространстве. Можно определить функцию, зависяш,ую от собственных значений X и р, однако у такого распределения есть недостатки. В частности, оно может принимать отрицательные значения. Мы покажем ниже, что центральное понятие интерференции амплитуд вероятностей отражается в этих отрицательных частях функции Вигнера. [c.91]

Предельные распределения. Проинтегрируем функцию Вигнера по переменной р или по переменной х и покажем, что таким образом получается распределение вероятностей координаты или импульса, соответственно. Начнём анализ с интегрирования по р. [c.93]

Отсюда, функция Вигнера обладает тем свойством, что при интегрировании по переменной импульса получается распределение вероятностей У/ х) для координат. [c.93]

Итак, интегрирование функции Вигнера по координате приводит к распределению по импульсам. [c.94]

Рис. 4.5. Функция Вигнера фоковского состояния т = 4) и соответствующие распределения по координатам и импульсам. Так как состояния с данным числом заполнения являются собственными состояниями гармонического осциллятора, функция Вигнера, как и распределения по координатам и импульсам, стационарны. Эти распределения получаются путём интегрирования функции Вигнера вдоль осей импульсов и координат, соответственно. Из-за осцилляций функции Вигнера вторичные распределения также осциллируют

Однако в данном разделе мы используем другой подход. Сначала мы найдём функцию Вигнера когерентного состояния в момент времени t = О, а затем получим эту функцию для более поздних моментов времени, решая обсуждавшееся в гл. 3 уравнение Лиувилля для функции Вигнера. После интегрирования получившегося результата по координатам или импульсам, мы получим зависящее от времени импульсное или координатное распределения. [c.144]

На рис. 4.10 показана функция Вигнера (4.26) и соответствующие распределения по координате и импульсу (4.22) и (4.27) как функции времени. Функция Вигнера показана только для момента времени t = О, в то время как результат её интегрирования по одной из [c.145]

Эволюцию во времени этой функции Вигнера мы найдём, заменив начальные координаты xq и импульсы ро классическими траекториями [c.163]

Рис. 4.19. Эволюция во времени сжатого состояния с а = 2 и параметром сжатия 8 = 4. Функция Вигнера представляет собой асимметричную сжатую гауссовскую функцию, которая движется по окружности в фазовом пространстве. Мы показали только начальную функцию Вигнера и указали направление вращения. В процессе эволюции во времени маргинальные распределения, имеющие форму гауссовских функций, совершают гармоническое колебание. В противоположность случаю когерентного состояния, ширины теперь осциллируют во времени большой ширине по импульсу соответствует малая ширина по координате, и наоборот. Получается дышащий волновой пакет

Функция Вигнера состояний координаты и импульса. [c.165]

Итак, функция Вигнера собственного состояния координаты хо) есть дельта-функция в точке х = хо. Заметим, что переменная импульса вообще не вошла в ответ. Поэтому функция Вигнера является бесконечно тонкой и бесконечно высокой стенкой, средняя линия которой расположена параллельно оси импульсов, как это показано на эис. 4.20, а. Такое представление функции Вигнера собственного состояния координаты подтверждает наивную картину такого состояния координата точно определена, но полностью отсутствует информация об импульсе. [c.166]

Собственное состояние оператора импульса. Аналогично находим для функции Вигнера собственного состояния импульса ро) [c.166]

Рис. 4.20. Функции Вигнера а) собственного состояния координаты жо) и б) собственного состояния импульса ро) представляют собой бесконечно тонкие и бесконечно высокие стенки, расположенные параллельно осям импульса

Томографические срезы функции Вигнера. Можно ли реконструировать квантовое состояние, представленное, например, функцией Вигнера, если использовать различные распределения вероятностей Очевидно, что только распределений по координате и импульсу недостаточно. Что можно сказать о распределениях по квадратурным переменным [c.171]

В гл. 3 мы ввели функцию Вигнера как наглядное изображение квантового состояния. Мы также показали, что это распределение реализуется в фазовом пространстве, образованном фазовыми переменными координатой и импульсом. В случае электромагнитного поля такими переменными служат напряжённости электрического и магнитного полей. Функция Вигнера, однако, не является единственным распределением в фазовом пространстве. Существует бесконечно много функций распределения. В данном разделе мы вводим так называемую ( -функцию, которая обладает тем замечательным свойством, что она всюду в фазовом пространстве положительна. Мы сначала определяем ( -функцию и иллюстрируем её на различных примерах. [c.365]

В данном разделе мы ограничимся рассмотрением исключительно атомного движения. Нас будет интересовать распределение атомов в фазовом пространстве, образованном поперечной координатой х и импульсом р. В качестве основного инструмента исследования будет выступать функция Вигнера. [c.644]

Динамика как перемеиьивание координат фазового пространства. Рассмотрим эту динамику более подробно. Заметим, что соотношение (17.38) связывает координату х и импульс р функции Вигнера в момент времени t с координатами фазового пространства х ир, входящими в функцию Вигнера при t = 0. Чтобы связать это преобразование [c.540]

Ее интегралы по всем координатам и по всем импульсам дают, соответственно, диагональные элементы матрицы плотности в координатном и импульсном представлениях. Как и в случае одной частицы, рассмотренном выше, переход к классической статистике можно обосновать путем интегрирования Д/ -частичной функции Вигнера по фазовым ячейкам, объем которых значительно превосходит 2тгН) . [c.32]

Возник интересный вопрос почему квантовомеханический процесс может описываться классическим уравнением Фоккера— Планка Это ведет к дальнейшему развитию принципа соответствия, который позволяет нам установить связь между квантовомеханическим описанием и классической формулировкой, не теряя квантовомеханической информации. Такая формулировка теории была предложена Вигнером (1932 г.), который рассмотрел квантовые системы, описываемые операторами координаты и импульса. Следующий важный шаг сделали Глаубер и Судершан (1963 г.), которые ввели операторы бозе-поля. В частности, тщательное исследование Глаубером квантовых корреляционных функций дало общую основу для описания когерентных свойств света. Но, конечно, будучи общей, она не позволяла сделать какие-либо предсказания о когерентных свойствах лазерного света. Поэтому и потребовалось разработать квантовую теорию лазера (см. разд. 1.2.3). В последней нельзя было обойтись без включения в рассмотрение атомной системы, а для этого понадобилось весьма расширить принцип соответствия. Задача была решена Гордоном (1967 г.) и Хаке- [c.30]

Действительно, матричный элемент х" р динатных переменных. Совершаем фурье-преобразование по одной из них, и в результате имеем снова две переменные фурье-переменную скачка, которую мы называем р, и центральную точку скачка х. Обе величины являются с-числами, а не операторами. Поэтому функция Вигнера зависит от двух классических переменных х и р. Однако пока ещё не вполне очевидно, что эти переменные соответствуют координате и импульсу, образующим то фазовое пространство, в котором задана функция Вигнера. Мы докажем это в следующем разделе. [c.92]

В этом разделе мы вычислим функцию Вигнера собственных состояний либо координаты х) либо импульса р). Эти состояния нормированы на -функции, поэтому функции Вигнера таких состояний следует понимать в смысле обобщённых функций. В частности, здесь нарушается правило (3.8), что квадрат функции Вигнера, проинтегрированный по всему фазовому пространству, равен 1/(2тгЙ). [c.165]

Рис. 20.2. Эволюция атомной функции Вигнера внутри и вне светового поля, находящегося в фоковском состояния с п = 2. В области поля первоначальный гауссовский сигарообразный волновой пакет, узкий по импульсной переменной, но широкий по координате, поворачивается в результате эволюции в параболическом потенциале. Вне светового поля импульс атома сохраняется, что приводит к сдвиговому деформированию функции распределения. Ширина заспределения по пространственной переменной минимальна, когда сигарообразное распределение принимает вертикальное положение, что соответствует

Несмотря на то что функция Вигнера fwip, х) удовлетворяет уравнениям (2.132), ее нельзя рассматривать как вероятность найти частицу с импульсом р в точке х, так как функция f p, х) при некоторых значениях рях может становиться отрицательной. [c.72]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...