Геодезический поток отрицательной кривизны

Самый известный пример системы Аносова с непрерывным временем — геодезич. поток на компактной поверхности М постоянной отрицат. кривизны. Фазовое пространство этой ДС образовано всеми касательными к М векторами длины 1, каждый из к-рых движется с единичной скоростью вдоль определяемой им геодезической линии. К геодезич. потоку приводится гамильтонова система с гамильтонианом H=T+V, если Т квадратично зависит от импульсов, а V зависит только от координат. Соответствующая риманова метрика определяется гамильтонианом, но отрицательная кривизна появляется лишь при Н спец. вида. [c.632]

Результаты Синая были подготовлены длительным предыдущим развитием эргодической теории в обоих отмеченных в предыдущем примечании направлениях. Особенно большое значение имели работы по геодезическим потокам на многообразиях отрицательной кривизны, начатые еще Адамаром в 1899 г. и в известной степени завершенные в работах Д. В. Аносова 1962 г. [ДАН СССР, 151, 1250 (1963)]. Еще до завершения этого направления Н. С. Крылов в посмертно опубликованной книге Работы по обоснованию статистической физики (Изд-во АН СССР, 1950) отметил, хотя и не мог строго обосновать, аналогию мен ду геодезическими потоками и бильярдной системой.— Прим. ред. [c.383]

К. Геодезические потоки на компактных многообразиях отрицательной кривизны. Пусть М — компактное риманово многообразие, кривизна которого в каждой точке по каждому двумерному направлению отрицательна (такие многообразия существуют). Рассмотрим движение материальной точки массы 1 по многообразию М по инерции, вне поля действия всевозможных внешних сил. функция Лагранжа этой системы равна кинетической энергии, равна полной энергии и является первым интегралом уравнений движения. [c.277]

Конечно, до сих пор отрицательность кривизны многообразия М не имела никакого значения. Но если мы займемся исследованием траекторий описанного геодезического потока, то окажется, что отрицательность кривизны многообразия М накладывает на поведение этих траекторий сильный отпечаток (это связано с экспоненциальной неустойчивостью геодезических на М). [c.278]

Вот некоторые из свойств геодезических потоков на многообразиях отрицательной кривизны (подробнее см. цитированную на стр. 266 книгу Д. В. Аносова). [c.278]

Итак, экспоненциальная неустойчивость геодезических на многообразии отрицательной кривизны приводит к стохастичности соответствующего геодезического потока. [c.279]

Рассмотрим, например, векторное поле, задающее геодезический поток на компактной поверхности отрицательной кривизны. Как указано выше, фазовые кривые этого потока устроены весьма сложно почти каждая из них всюду плотно заполняет трехмерное многообразие уровня энергии. У этого потока бесконечно много замкнутых траекторий, и множество точек замкнутых траекторий также всюду плотно в трехмерном многообразии уровня энергии. [c.279]

Возможность грубых систем со сложными движениями, каждое из которых само по себе экспоненциально неустойчиво, является одним из основных открытий в теории обыкновенных дифференциальных уравнений последнего времени (гипотеза грубости геодезических потоков на многообразиях отрицательной кривизны была высказана С. Смейлом в 1961 г., а доказательство дано Д. В. Аносовым и опубликовано в 1967 г., основные результаты о стохастичности этих потоков получены Я. Г. Синаем и Д. В. Аносовым также в шестидесятых годах). [c.280]

Теперь для доказательства гипотезы Больцмана (в рассматриваемом простейшем случае) достаточно проверить, что анализ стохастических свойств геодезических потоков на поверхностях отрицательной кривизны сохраняет силу в указанном предельном случае. [c.282]

М. Морс [3], [4] и [5] использовал методы символической динамики для изучения минимальных геодезических па поверхности отрицательной кривизны. Данную статью можно рассматривать как распространение и обобщение результатов Морса на рассматриваемый случай. Настоящим обобщением геодезических потоков, изучавшихся Морсом, являются потоки, удовлетворяющие аксиоме А (см. [9]). Технически они сложнее диффеоморфизмов, ио со временем и для них будут построены марковские разбиения, и методы этой статьи будут перенесены на случай потоков. В частности, можно ожидать, что справедлива следующая [c.92]

У-диффеоморфизмы и У-потоки (вместе У-системы) возникли как естественное обобщение алгебраических автоморфизмов тора и геодезических потоков на многообразиях отрицательной кривизны [Аи]. С другой стороны, подкова Смейла [17] и ее разнообразные обобщения [С] послужили стимулом для выделения более широкого класса динамических систем, обладающих гиперболическими свойствами, класса систем, удовлетворяющих так называемой аксиоме А Смейла, илн класса А-систем (диффеоморфизмов и потоков). [c.214]

Затем мы перенесем понятие гиперболического множества и системы Аносова на случай непрерывного времени ( 17.4) и обсудим очень важный класс потоков Аносова, а именно геодезические потоки на компактных римановых многообразиях с отрицательной секционной кривизной. Сначала, в 17.5, будут рассмотрены исходные двумерные примеры, которые уже встречались нам в п. 5.4 е, а затем мы перейдем к общей ситуации ( 17.6) и в 17.7 опишем общий класс алгебраических примеров. [c.533]

Геодезические потоки на поверхностях постоянной отрицательной кривизны [c.549]

Геодезические потоки на компактных римановых многообразиях отрицательной секционной кривизны [c.551]

Теперь мы перейдем от детального и весьма непосредственного описания геометрии и динамики геодезического потока на гиперболической плоскости и ее компактных факторах к обсуждению геодезических потоков на произвольных компактных римановых многообразиях отрицательной секционной кривизны. Главная цель этого параграфа состоит в том, чтобы показать, что эти потоки являются потоками Аносова. [c.551]

Теорема 17.6.2. Геодезический поток на компактном римановом многообразии отрицательной секционной кривизны является потоком Аносова. [c.554]

Важный класс многообразий отрицательной кривизны получается с помощью алгебраической конструкции, которая обобщает алгебраическое описание поверхностей постоянной отрицательной кривизны из 5. Геометрическое свойство, которое дает нам возможность описывать геодезический поток на сфере, торе и гиперболической плоскости, — наличие группы изометрий, действующей транзитивно на единичных касательных векторах (лемма 5.4.1). Пространства, обладающие таким свойством, называются (глобально) симметрическими пространствами. Сначала дадим традиционное определение, а затем докажем транзитивность группы изометрий в случае ненулевой кривизны. [c.555]

Докажите, что для компактного п-мерного многообразия постоянной отрицательной секционной кривизны —к (к >0), т. е. компактного фактора вещественного гиперболического пространства КН , топологическая энтропия геодезического потока равна (т — 1)А . [c.559]

Покажите, что геодезический поток на компактной поверхности с отрицательной гауссовой кривизной эргодичен относительно меры Лиувилля. [c.610]

Теорема 20.6.10 (теорема Маргулиса). Пусть М — компактное риманово многообразие отрицательной секционной кривизны, G[t) — число различных замкнутых геодезических длины не более чем t и h— топологическая энтропия геодезического потока. Тогда lim G(i)2i/ie " = [c.656]

После работ А. Пуанкаре в XX в. постепенно сложилось отчетливое понимание того, что невозможность продолжить локально существующие интегралы до интегралов в целом связана со сложным поведением фазовых траекторий на уровнях тех интегралов (вроде интеграла энергии), которые известны, но имеются в недостаточном числе. Попросту говоря, на интегральном уровне должны существовать траектории, всюду плотные в некоторой области на нем. Системы, обладающие т, но не т+ интегралами в целом , Леви-Чивита предложил называть т-импримитивными. Здесь проблемы интегрируемости смыкаются с задачами эргоди-ческой теории. Примером служит доказанная в 1939 г. теорема Э. Хопфа об эргодичности геодезического потока на любой компактной поверхности отрицательной кривизны. Для исследования геодезических на поверхностях отрицательной кривизны Биркгоф, Морс и Хедлунд создали символическую динамику, позволяющую описывать сложное поведение траекторий в вероятностных терминах. Однако, как отмечает Пуанкаре [147], ...траектории задачи трех тел ) сопоставимы не с геодезическими линиями на поверхностях отрицательной кривизны, а наоборот, с геодезическими линиями на выпуклых поверхностях... К сожалению, эта задача значительно сложнее... . Здесь уже зоны квазислучайного поведения фазовых траекторий чередуются и сосуществуют с областями, составленными из траекторий регулярного вида. Обсуждение этих вопросов можно найти в докладе А. Н. Колмогорова [Ш] и книге Мозера [221]. Непосредственное приложение к проблеме интегрируемости задачи трех тел идея сложного поведения фазовых траекторий нашла в работе В. М. Алексеева [2]. [c.17]

В этом добавлении определяется риманова кривизна и кратко обсуждаются свойства геодезических на многообразиях отрицательной кривизны. Дальнейшие сведения о римановой кривизн можно найти в книге М и л н о р Дж. Теория Морса.— М. Мир, 1965, а о геодезических на многообразиях отрицательной кривизны — в книге А н о с о в Д. В. Геодезические потоки на многообразиях отрицательной кривизны // Труды МИАН им. Стек-лова.— М., 1967. [c.266]

Аносов Д. В., Геодезические потоки на замкнутых римановык многообразиях отрицательной кривизны, Тр, Матем. инст, мм, В, А. Стеклова. 90 (1967). [c.90]

Д. Орнстейн и Б. Вейс в ( б] показали, что в случае, когда (геодезический поток на поверхности постоянной отрицательной кривизны, а ц—мера, индуцированная метрикой, динамическая система (ф/, i) метрически изоморфна прн [c.135]

Мы покажем, что контактные потоки Аносова являются топологически перемешивающими. Этот класс, в частности, включает геодезические потоки на римановых многообразиях отрицательной секционной кривизны (см. п. 5.0 б и теорему 17.6.2). Следующий результат играет важную роль в получении мультипликативной асимптотики роста числа замкнутых геодезических на многообразиях отрицательной секционной кривизны (теорема 20.6.10). [c.577]

Начало алгебраическому подходу к анализу геодезических потоков на многообразиях постоянной отрицательной кривизны положили Гельфаид и Фомин, которые в [96] с помощью [c.734]

Анализ глобального поведения геодезических потоков иа многообразиях отрицательной секционной кривизны явился главным стимулом к введению понятия глобального гиперболического поведения. Эргодичность геодезических потоков иа поверхностях отрицательной кривизны была доказана Хопфом [128J, [129] в случае более высокой размерности это доказал Аносов [16]. В обоих случаях использовался прием Хопфа ( 5.4), но в случае большей размерности слоения ие всегда прннадлгжат классу С, так что это доказательство нельзя использовать непосредственно. Ключ .вон шаг состоит в доказательстве того, что слоения абсолютно непрерывны, что позволяет использовать метод Хопфа [16], [20]. [c.735]

Геодезический поток на римановом многообразии может быть потоком Аносова, даже если кривизна римановой метрики не всюду отрицательна. Клингенберг получил условия иа риманову метрику, необходимые для того, чтобы геодезический поток был потоком Аносова (например, отсутствие сопряженных точек), и, в свою очередь, необходимые условия иа гладкие многообразия, допускающие такие метрики (которые подобны необходимым условиям существоваиия метрик отрицательной кривизны). Обзор некоторых результатов такого рода н дальнейшие ссылки содержатся в конце [158]. [c.735]

Смотреть страницы где упоминается термин Геодезический поток отрицательной кривизны : [c.396] [c.75] [c.127] [c.234] [c.265] [c.23] [c.551] [c.558] [c.727] [c.736] [c.737] [c.737] [c.381] [c.618] [c.753] [c.753] [c.396] [c.177] [c.753]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...