Поток геодезический гамильтонов

Если геодезический поток вообще не допускает дополнительного полиномиального интеграла, то степень неприводимого интеграла можно считать равной нулю. Ясно, что любой интеграл уравнений геодезических есть функция от неприводимого интеграла и гамильтониана Н. [c.403]

Доказательство леммы В. Вычислим производную второй индуцированной функции вдоль фазового потока, заданного первой, как функцией Гамильтона. Фазовые кривые, заданные первой индуцированной функцией на ее поверхности уровня, являются характеристиками этой поверхности. Поверхность уровня первой индуцированной функции состоит из всех прямых, касающихся фиксированного многообразия уровня первой функции точки. Каждая характеристика этого многообразия прямых, по лемме А, состоит из прямых, касающихся одной геодезической многообразия уровня первой функции точки. [c.440]

Важное качественное свойство лагранжевой динамики и гамильтоновой динамики заключается в том, что они сохраняют определенную каноническую форму объема. Действительно, во-первых, из координатного представления (5.3.6) немедленно следует, что уравнения Гамильтона являются бездивергентными, так что они сохраняют фазовый объем в х, р)-простран-стве, который на самом деле представляет собой п-ю внешнюю степень формы fi. Возвращаясь на касательное расслоение с помощью инверсии преобразования Лежандра, мы видим, что инвариантный объем является произведением формы объема на многообразии и евклидова объема, определенного в касательном пространстве римановой метрикой. Лагранжева система сохраняет гиперповерхности Н = onst, так что для каждого регулярного значения Н имеется индуцированная инвариантная форма объема на гиперповерхности Н — onst. Это особенно просто понять в случае геодезических потоков, когда инвариантные гиперповерхности являются сферическими расслоениями г) = onst и инвариантный объем потока есть [c.212]

В этой книге мы преимущественно рассматриваем динамические системы с компактным фазовым пространством. Чтобы применить излагаемые нами понятия и методы к гамильтоновой системе с гамильтонианом Н, можно рассмотреть ограничение динамики на гиперповерхности Н = с, которые часто оказываются компактными, например для геодезического потока на компактном римановом многообразии, где эти гиперповерхности представляют собой сферические расслоения над конфигурационным пространством. Иногда можно еще понизить размерность системы, используя первые интегралы, отличные от интеграла энергии. Если с не является критическим значением гамильтониана и гиперповерхность Д, = х( Я(х) = с компактна, то гамильтонова система сохраняет невырожден1 ю (2п— 1)-форму которая может быть описана следующим образом. Локально можно разложить 2п-мерную меру, порождение формой ш, на (2п-1)-мерные меры на для всех достаточно малых 5 и рассматривать условные меры, каждая из которых определена с точностью до мультипликативной константы. Таким образом, в этом случае благодаря предложению 5.5.12 можно применить теорему Пуанкаре о возвращении 4.1.19, эргодическую теорему Биркгофа 4.1.2 и другие факты из эргодической теории к ограничению гамильтоновой системы на Д.. [c.237]

Чтобы векторное поле сохраняло а, оно должно быть гамильтоновым с однородным гамильтонианом. Чтобы векторное поле сохраняло 5Т", этот гамильтониан должен быть независимым от конфигуращюниой координаты д. Таким образом, это в точности те гамильтонианы, переменные деиствие-угол для которых такие же, как у геодезического потока. [c.743]

Пример 7.7. Гамильтонов поток (гл. 1, теорема 1.11) никогда не бывает эргодическим, поскольку энергия Н — инвариантная функция. Тем не менее, геодезический поток на унитарном касательном расслоении в некоторых случаях может быть эргодическим (см. гл. 3, 17.12). Однако если V обычный тор, то геодезические потоки на ТхУ неэргодичны, поскольку функция является инвариантом (см. приложе- [c.25]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...