Преобразован я производящая функция

Рассмотрим преобразование с производящей функцией У, д, Я О-Переменные д , (5 , t в ней рассматриваются как независимые, и, применяя это преобразование, следует считать [c.525]

Подобно тому как это было сделано в 25 для свободного канонического преобразования, можно показать, что и для произвольного канонического преобразования определитель порядка я, составленный из смешанных производных второго порядка от производящей функции (J, отличен от нуля ). Поэтому первые п уравнений (6) могут быть разрешены относительно величин qj, р/ (j=l,. .., т h = = ..., п). После подстановки полученных выражений [c.176]

Можно сказать даже нечто большее. Последовательные преобразования фазовой жидкости связаны друг с другом. В конце предыдущего пункта мы пришли к функции Гамильтона В = Н, начав с произвольной производящей функции S, содержащей параметр t. Однако теперь можно проделать обратный путь. Имеющаяся задача о движении дает нам функцию Гамильтона Я, зависящую от qi, Pi и, возможно, t. Заменим р,- на dS/dqi и попытаемся найти первоначальную функцию 5, из которой возникло уравнение [c.254]

Теперь, если гамильтониан Я инвариантен относительно бесконечно малого канонического преобразования, задаваемого соотношениями (15) с производящей функцией G, то [c.234]

Отметим, что если Уо(Я, Р t) рассматривать как производящую функцию преобразования Лежандра от q и Р к / и О, то —У, будет производящей функцией обратного преобразования от р и к и Р. Для частичных преобразований только одной группы переменных в другую — от к р и соответственно от Р к осуществляемых производящей функцией У , функциями, определяющими обратные преобразования, являются —К4 и —V J. [c.523]

Совокупность производящих функций ) определяет множество всех свободных канонических преобразований валентности с, переводящих систему с гамильтонианом Я(д ,, ) в си- [c.268]

Будем теперь искать каноническое преобразование, приводящее функцию Гамильтона Н (р, д) к виду К (О)- С этой целью будем искать производящую функцию такого преобразования 5 (О, я)-Мы получаем из (2) условие [c.228]

Отметим, что не все канонические замены переменных удовлетворяют условию (16). Вот простой пример х=д, у=—р. В этом случае метод производящих функций можно слегка видоизменить. Пусть, например, отличен от нуля якобиан А ду др ф . Такие канонические преобразования называют свободными. Производящей функцией служит функция 8. у. Я)=Р р(у, Я),ЯУ. формулы [c.34]

Из тождества, связывающего новую Я и старую Я" функции Гамильтона с производящей функцией S канонического преобразования, получим три уравнения относительно W , и Гд [c.288]

Чтобы исключить явную зависимость <Я> от t, сделаем еще одно каноническое преобразование переменных а, и р, к переменным а и Р, с помощью производящей функции [c.203]

После установления С. Ли канонического варианта взаимосвязи, в силу отождествления первых интегралов с производящими функциями бесконечно малых канонических преобразований симметрии системы, теорему Пуассона — Якоби можно было бы сформулировать следующим образом инвариантность закона сохранения системы (интеграл движения Gj) относитель-ппо но бесконечно малого канонического преобразования с производящей функцией ( 2 имеет следствием постоянство соответствующих скобок Пуассона Gil, которые в некоторых случаях дают новый закон сохранения = = [Gi, G ] = onst (в остальных случаях, как известно, [G , G2I обращаются в нуль или выражаются как функции G и G . Большого практического значения теорема Пуассона — Якоби не имела, так как для клас-ческих интегралов, связанных с евклидовой группой и однородностью времени, она приводила к тем же самым, т. е. уже известным, интегралам (например, [Мх, Му = Mz, [Мх, Ру = Pz,. .., где Мх, Му, Mz, Рх, Ру, Pz — соответственно х, г/, z-компоненты момента импульса и импульса) или вообще не давала интегралов, приводя к обращению в нуль скобок Пуассона (например, [Рх, Ру] = [Рх, Pz] = [Ру, Pz] = [Н, Рх] = [Я, Ру] =. .. = 0). [c.238]

В предыдущей главе были введены различные преобразования, оставлявшие канонические уравнения (5.108) инвариантными по форме эти преобразования были получены через производящие функции. Там же было сказано, что мы особенно внимательно займемся преобразованиями TiHia (5.220b). Смысл всех этих преобразований состоит в упрощении уравнений движения. Эта цель достигается в том случае, если преобразования так видоизменяют гамильтониан, что он зависит только от одной совокупности канонических переменных (скажем, а,,) и совсем не содержит переменных другой совокупности (Р ). Если ыы получили такой гамильтониан Я(а ), уравнения движения приобретают вид [c.153]

Замечание. Точки д, р) и (Q, Р) связаны формулами канонического преобразования, которому в случае (Qj= onst, Л-= onst) соответствует производящая функция W, удовлетворяющая уравнению Я = 0. Тогда V будет совпадать с функ-dt [c.479]

Я, if) и (J, ф). Из вида гамильтониана следует, что ф представляет собой быструю переменную, и по ней можно выполнить усреднение. Переменная J является интегралом движения усредненной системы и в дальнейшем рассматривается как параметр. Совершим еще одно каноническое преобразование (Я, ip) i-> —) (Р, (р) с производящей функцией Wi = (Р + Rres J t)) чтобы ввести новую переменную действие Р = R — Rres , сопряженной ей угловой переменной будет (р. В малой окрестности резонанса, где Р есть величина порядка -y/i, гамильтониан принимает следующую форму [c.172]

Так как det d W/dqdx = det d V/dqdx ф О, то W[q,x) — полный интеграл уравнения (7.3) — можно принять в качестве производящей функции канонического преобразования p,q —> у,х у = = dW/dx, р = dW/dq. В новых канонических переменных х,у функция я становится равной К х), поэтому уравнения Гамильтона сразу интегрируются х = xq, у = уо + w xo)t, ш х) = дК/дх. [c.98]

Эти величины оказываются иостояиными, несмотря на изменение а и Я, со временем. Чтобы убедиться в этом, выберем в качестве новых импульсов переменные действия (9.215) и произведем соответствующее каноническое преобразование. Выражая а с помощью (9.215) через / и Я и исключая а из д, а, Я), найдем производящую функцию интересующего нас преобразования [c.444]

Какому уравнению удовлетворяет производящая функция 8 дг 1) свободного уннвалентного канонического преобразования, которое переводит гамильтонову систему с функцией Я = О [c.267]

Канонические преобразования позволяют, по крайней мере формально, решить уравнения движения динамической системы следующим образом. Рассмотрим отдельно случай гамильтониана, зависящего явно от времени, и случай автономного гамильтониана, не зависящего от времени, В первом случае положим Я = 0. Тогда производные по времени от новых переменных равны нулю в силу уравнений Гамильтона. Поэтому новые переменные не зависят от вре.мени и их можно интерпретировать как начальные значения исходных (непреобразованных) переменных. Таким образом, каноническое преобразование фактически оказывается решением, определяющим значения координат и импульсов в произвольный >гамент времени в зависимости от их начальных значений. Подставив (1.2.13а) в (1.2.13в) с Я = О, получим уравнение в частных производных для производящей функции F [c.23]

Во-первых, ясно, что коэффициенты нормальной формы функции Гамильтона будут аналитическими функциями е. Во-вторых, замечая, что iV-я гармоника v входит в производящую функцию линейного нормализующего преобразования, а также ъ ti Hi с коэффициентом, пропорциональным эксцентриситету в степени, не меньшей N, нолучаем, что при резонансе -f к Х — N отличие коэффициентов а(с,д2. в нормальной форме от нуля может обнаружиться только в N-ш приближении по е. [c.157]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...