Соответствие между уравнением и дисперсионным соотношением

Соответствие между уравнением и дисперсионным соотношением [c.352]

Соответствие между уравнением и дисперсионным соотношением можно исследовать гораздо подробнее. Линейное уравнение с постоянными коэффициентами можно записать в виде [c.352]

Пример 3. Пружина ). Пружина представляет собой спиральную пружину, имеющую примерно N 100 витков (рис. 2.15), Диаметр каждого витка около 7 см, а длина пружины в нерастянутом состоянии близка к 6 см. При растяжении до длины L в несколько метров такая пружина очень хорошо удовлетворяет приближению пружины . Соответствующая длина повторения а определяется длиной, приходящейся на один оборот, т. е. отношением а=ЫЫ. Если коэффициент жесткости пружины для одного витка К, то К 1а не зависит от длины Ь. (Считается, что масса распределена, а не сконцентрирована между интервалами длины а.) Дисперсионное соотношение для случая продольных колебаний получается путем предельного перехода от уравнения (78) к непрерывной системе [c.87]

Очень глубокая аналогия между этим уравнением и соответствующим уравнением для внутренних волн наглядно проявляется в полученном дисперсионном соотношении. Решение вида плоской волны [c.528]

Рассмотрим среду, характеризующуюся конкретным дисперсионным уравнением, т. е. данным соотношением между волновым числом k и частотой со (рис. 8.11). Это означает, что электрическое поле плоской линейно-поляризованной и монохроматической электромагнитной волны с частотой (О будет распространяться вдоль оси Z в соответствии с выражением Е - exp[j((o/ — kz)], где к = к ьз) определяется дисперсионным уравнением среды. Поскольку фаза волны равна [c.515]

Первое из этих уравнений дает амплитудное соотношение между ф и г ) при известном р. Второе уравнение — это дисперсионное уравнение для данного случая, определяющее связь р с а и г/, т. е. в конечном счете — волновое число к при заданном радиусе цилиндра В. Можно легко убедиться, что при заданном В, т. е. при заданных хжу, существует много значений р, удовлетворяющих уравнению (1.96). Каждое из этих значений р определяет фазовую скорость соответствующей волны. В данном разделе исследуется волна, которая переходит в рэлеевскую волну при бесконечном увеличении радиуса кривизны поверхности. Такой волне соответствует только один корень урав- [c.66]

Вообще говоря, со и к комплексны, и уравнение (7.1) имеет решение, только если со и к удовлетворяют специальному соотношению в соответствии с допустимыми значениями со и к можно найти функции g, которые либо интегрируемы с квадратом ( собственные решения ), либо нет ( обобщенные собственные решения ). В первом случае соотношение между со и к обычно называют дисперсионным соотношением, а решение g ехр [ к-х + i oi] — нормальной модой. Комбинация собственных решений и обобщенных собственных решений дает общее решение линеаризованного уравнения Больцмана [c.164]

Связанные солитоны [31]. Как мы видели в гл. 17, при резонансном взаимодействии трех (или двух) пространственно однородных или стационарных волн в среде с квадратичной нелинейностью обмен энергией и, следовательно, изменение амплитуд волн осуществляется не при любых фазовых соотношениях между ними. При определенных разностях фаз возможно существование стационарного состояния (на рис. 17.5 ему соответствуют состояния равновесия), в котором амплитуды волн не меняются. Естественно предположить, что подобное состояние должно существовать и при взаимодействии модулированных волн — волновых пакетов, если изменение фаз при их нелинейном взаимодействии сбалансируют эффекты дисперсионного расплывания. На спектральном языке это, по существу, тот же самый нелинейный сдвиг частоты, компенсирующий линейный рассинхронизм, о котором мы говорили в связи с генерацией сателлитов и установлением солитонов огибающей при распространении волнового пакета в среде с кубичной нелинейностью. В простейшей постановке, когда взаимодействуют основная волна ш и ее вторая гармоника 2ш, а дисперсионные эффекты внутри узкого спектрального интервала существенны лишь на основной частоте, мы приходим к стандартному уравнению, описывающему солитоны и двумерные волноводы в среде с кубичной нелинейностью Р/<1 — аа - - [c.429]

Рассмотрим теперь случай 1 / л/1 + е < /3 < 1. Дисперсионные кривые в переменных (ж, у) показаны на рис. 2.27,6. Отличие от нредыдугцего случая в том, что теперь на этом графике имеются локальные максимум и минимум. Важное заключение состоит в том, что значение у в нравом минимуме должно быть не меньше, чем его значение в левом максимуме, иначе на графике будет такая область значений у, при которых кубическое отпосительпо ж уравнение (2) будет иметь пять корней. Следовательно нри таком соотношении между параметрами обязательно сугцествует область значений у, при которых имеются два комплексно сопряженных корня ж. Один из этих корней приводит к частоте, лежагцей в нижней полуплоскости и, что соответствует неустойчивости. [c.119]

Для каждого из четырех решений уравнение, получающееся приравниванием соответствующего поддетерминанта нулю, называется дисперсионным уравнением. Если упругие свойства среды характ( ризовать значениями Fs и коэффициента Пуассона а i), а не параметрами Я и л, то в дисперсионных уравнениях можно рассматривать три независимые переменные. В безразмерных величинах этими переменными являются угловая частота wbiVs, постоянная распространения уЬ п коэффициент Пуассона о. Обычно вычисляется соотношение между частотой и постоянной рас-прострапения для данного значения коэффициента о, выбранного в качестве параметра материала. Графически решения дисперсионных уравнений обычно представляют собой последовательность непрерывных кривых или ветвей, причем каждая ветвь [c.146]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...