Устойчивость движения в случае равных корней

Устойчивость движения в случае равных корней. Если определяющее уравнение имеет равные корни, то мы видели, что решение имеет, вообще говоря, члены, которые содержат t в качестве множителей. Для нас важно выяснить влияние этих членов на устойчивость системы. Если т — положительная величина, то наличие слагаемого конечно, сделает систему неустойчивой. Однако если т — отрицательная величина, то [c.248]

Допустим, Что волчок приводится во вращение вокруг своей оси симметрии каждый раз с одной и той же угловой скоростью г , но что в начальный момент угол 6q вместо того, чтобы быть в точности равным нулю, будет лишь очень мал, т. е. что о очень близко к 1. Исследуемое движение будет устойчиво, если в последующем движении и также близко к 1 и неустойчиво в противном случае. Но на основании предыдущего и заключено между о и другим корнем uj многочлена /(и), находящемся между —1 и -fl. Следовательно, для устойчивости нужно, чтобы j, так же как и о, было очень близко к 1. Другими словами, необходимо, чтобы угловая скорость вращения Го была такой, чтобы в многочлене относительно и [c.185]

В положении 2, когда прямая ММ касается в точке 5 нижней ветви параболы, уравнение (13.53) имеет три веш ественных корня, причем два из них равные. В положении 3 прямая ММ трижды пересекает параболу и в соответствии с этим уравнение (13.53) имеет три веш ественных корня. В этом случае теоретически оказываются возможными три периодических решения. Однако не все эти решения осуществляются, так как не все они обладают одинаковой устойчивостью. Система совершает одно устойчивое периодическое движение с амплитудой, равной одному из трех корней уравнения (13.53). Выбор устойчивой амплитуды происходит автоматически, причем необычным для линейных систем способом. [c.554]

Ссылка автора на теорему Ляпунова ошибочна, а его точка зрения на значение метода малых колебаний при рассмотрении частных практических вопросов может ввести читателя в заблуждение. Метод малых колебаний приводит к исчерпывающему ответу, если все корпи характеристического уравнения имеют действительные отрицательные части или в том случае, когда хотя бы один из них имеет положительную вещественную часть. Если же имеются корни, действительные части которых равны нулю, то нельзя судить об устойчивости и неустойчивости по первому приближению, так как все будет зависеть от членов более высокого порядка в уравнениях возмущенного движения. Если псе корпи чисто мнимые, то требуется дополнительное исследование. Обычно это встречается при исследовании устойчивости консервативных систем, по в этих случаях можно вывести необходимое заключение из анализа интеграла энергии. Если в рассмотрение входят диссипативные силы, что обычно и бывает при решении технических проблем, то можно потребовать, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные действительные части. В тех случаях, когда все же нельзя удовлетворить этому условию и когда входит, например, один нулевой корень, следует обратиться к исследованиям особых случаев" Ляпунова или изменить постановку задачи, что иногда бывает возможно. [c.425]

Все случаи, которые могут представиться при решении задачи об устойчивости, можно разбить на некритические и критические. В некритических случаях вопрос об устойчивости решается рассмотрением уравнений первого приближения (2). В критических случаях уравнений первого приближения недостаточно для решения задачи об устойчивости обязательно требуется привлечение нелинейных членов в уравнениях возмущенного движения (1). Из доказанной выше теоремы следует, что критическими будут те и только то случаи, когда характеристическое уравнение (2) не имеет корней с положительными вещественными частями, но имеет корни с вещественными частями, равными нулю. [c.532]

В критических случаях, когда вещественные части некоторых корней характеристического уравнения равны нулю, в то время как вещественные части остальных корней отрицательны, об устойчивости невозмущенного движения нельзя судить по уравнениям первого приближения — необходимо рассмотреть влияние нелинейных членов Xf. [c.39]

С теорией критических случаев устойчивости тесно связан вопрос о поведении динамических систем вблизи границ области устойчивости в пространстве параметров. Границей области устойчивости называется совокупность всех тех точек пространства параметров, в которых по крайней мере один из корней характеристического уравнения является критическим. Так, для линейной системы уравнений возмущенного движения с постоянными коэффициентами устойчивость может теряться либо когда по меньшей мере один из корней характеристического уравнения становится равным нулю, либо когда два корня становятся чисто мнимыми в этих случаях уничтожаются либо последний, либо предпоследний из определителей Гурвица. В первом случае уравнения возмущенного движения будут иметь новую последовательность равновесий, проходящую через отвечающую точку, а во втором — последовательность периодических движений (Н. Г. Четаев, 1946). [c.60]

Тогда, как показано в 3 главы I, характеристичное уравнение системы первого приближения есть всегда возвратное, так что каждому корню р этого уравнения соответствует корень р-. Отсюда сейчас же следует, что невозмущенное периодическое движение почти всегда неустойчиво и что устойчивость возможна только в том случае, когда все корни характеристичного уравнения равны единице по модулю, т. е. когда все характеристические показатели имеют равные нулю вещественные части. А все эти случаи и относятся к категории особенных, в которых решение задачи требует вообще рассмотрения членов высших порядков в уравнениях (2.51). [c.113]

Л < 1. Корни комплексные сопряженные (vi = — V2). Так как модули двух сопряженных величин между собой равны, то в данном случае каждый из них равен единице тогда [ii = [I2 = 0. Оба решения q и <72 ограниченные, а поэтому система динамически устойчива. Система совершает колебательные движения с ограниченной амплитудой. Что касается вопроса о периодичности решения, то, как видно из уравнения (3.138), qj периодично, если Vj есть рациональное число. Полное решение является периодическим, если V, и V2 являются оба рациональными числами. Это следует непосредственно из формулы (3.129), определяющей общее решение. [c.185]

Последние работы Каменкова (1966—1967) посвящены исследованию устойчивости периодических движений. Здесь доказана общая теорема о том, что задача об устойчивости периодических движений в случаях, несущественно особенных, всегда приводится к задаче об устойчивости равновесия. Анализируются различные случаи, которые могут при этом представиться. Если среди корней характеристического уравнения имеются по модулю равные единице и выполняются условия отсутствия резонанса в числах до порядка N включительно, то подсистема с 2р переменными, соответствующая этим корням, преобразуется в подсистему с р нулевыми корнями с р группами решений. Если же условия отсутстви я резонанса не выполняются, то каждой паре мнимых сопряженных корней соответствует в преобразованной системе два нулевых корня. Каменков (1967) обобщает свои ранее полученные результаты по принципу сведения на системы с периодическими коэффициентами, а также на системы с произвольными непрерывными и ограниченными коэффициентами. Разработанный Каменковым принцип сведения основан на существовании для укороченной системы функций Ляпунова или Четаева, вследствие чего [c.59]

Для исследования устойчивости периодического движения периода т можно вместо отображения (6) воспользоваться отображением Тпереводящим любую точку окрестности точки в точку, в которую она переходит по истечении времени т. В случае неавтономной системы корни характеристических уравнений отображений и (6) совпадают, а в случае автономной системы отображение имеет дополнительный корень, равный единице (остальные корни совпадают) (Ю, И. Неймарк, 1958). [c.154]

Заметим, что в общем виде эта задача до сих пор еще не решена. Сам А. М. Ляпунов разобрал и исследовал только наиболее простые случаи, когда характеристическое уравнение имеет или только один нулевой корень или два чисто мнимых корня. Для приложений к небесной механике, однако, эти сомнительные случаи представляют наибольший интерес. Действительно, уравнения небесной механики обычно имеют каноническую форму, и, следовательно, характеристическое уравнение системы в вариациях (см. 9) имеет одинаковое число корней с положительными и отрицательными действительными частями. Следовательно, если действительные часги всех корней отличны от нуля, то невозмущенное движение всегда будет неустойчивым. Для того чтобы движение было устойчивым, необходимо, но разумеется недос паточно, чтобы действительные части всех корней были равны нулю, т. е. чтобы характеристическое уравнение имело только чисто мнимые корни. [c.479]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...