КАК ОБНАРУЖИТЬ ХАОТИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Как обнаружить хаотические колебания 47 [c.47]

Обратный эффект периодизации хаотических колебаний при гармоническом внешнем воздействии наблюдался в работе [28]. Было обнаружено, что в случае, когда автономный генератор работал в хаотическом режиме (например, при р, = 1,45 7 = = 0,21), а частота внешней силы близка к собственной (ю = 1), при В>Во 1,14 наступала синхронизация, при которой период колебаний совпадал с периодом внешней силы. Области синхронизации для уравнений (5.5) при 7 = 0,3 и ряде значений р, [c.323]

В отличие от систем с запаздыванием, исследования распределенных систем, описываемых уравнениями в частных производных, чрезвычайно ограничены. Здесь можно указать лишь работы [51, 165], в которых аналитически произведена оценка размерности аттрактора для некоторых типов уравнений в частных производных, работы [25, 38, 41, 123, 213, 306], в которых исследуются цепочки, моделирующие одномерные диссипативные среды, а также немногочисленные работы, в которых были обнаружены хаотические режимы при численном решении уравнений в частных производных. Об одной из таких работ уже говорилось в 7 [300]. К ним относятся также [687], в которой решались уравнения, подобные уравнению Кортевега-де-Вриза, и [396, 406, 509, 524], в которых моделировалось уравнение си-нус-Гордона с затуханием и внешней силой. Имеется, правда, сравнительно большое количество экспериментальных работ, посвященных наблюдению и исследованию хаотических колебаний в гидродинамике (см., например, [395, 411, 469, 470, 561, 569]), в лазерах [376—378, 488, 492, 505, 525, 592, -674, 675], нелинейной оптике [431, 454, 525, 591, 594] и некоторых других системах [2]. Однако большинство из этих работ еще требует осмысливания. [c.380]

Автономные нелинейные цепи. Автономные хаотические колебания обнаружены в цепи с туннельным диодом, показанной на рис. 3.34, о [44]. [c.115]

Еще более сложные и удивительные процессы происходят в неоднородных системах Белоусова—Жаботинского. В тонком (около 2 мм) слое раствора спонтанно возникают окрашенные структуры высокой степени сложности (спирали, дуги, окружности), которые движутся вдоль слоя и исчезают при столкновениях [234, 432, 439 ]. При этом раствор в целом не движется, а изменяются концентрации веществ вследствие реакций между ними и диффузии. Такие реактивно-диффузионные системы должны описываться уравнениями в частных производных, и изучение их намного сложнее, чем однородных. Копель [233] аналитически установил существование плоских волн и разрывов, а также периодических во времени и нерегулярных в пространстве решений простой модельной задачи. Еще раньше хаотическое поведение было обнаружено в подобной системе численно [246]. При этом выяснилось, что хаос является следствием диффузии, тогда как в однородной системе происходят только периодические колебания. Недавние эксперименты [437], по-видимому, подтверждают, что именно диффузия приводит к турбулентности. Переход к турбулентности выглядит в экспериментах плавным без какой-либо резкой границы. [c.495]

Аналогичные пути к хаосу обнаружены не только в жидкостях, но и в других системах. Например, в лазерах порог генерации соответствует бифуркации Хопфа, а распад лазерных импульсов в ультракороткие импульсы — бифуркации предельного цикла в тор. При других условиях периодическое движение по предельному циклу может сменяться хаотическим режимом или, точнее, периодическими колебаниями, модулированным хаотическим движением. Исследование сценариев для широких классов систем и разработка методов построения общей картины — важная задача будущего. [c.309]

Кобаяши [93] на год раньше Лоренца провел исследование, обнаружившее хаотические колебания с помощью аналитических ме- [c.79]

Если бы кто-то сказал, что через триста лет после публикации Prin ipia Ньютона в динамике будут сделаны новые открытия, его бы посчитали наивным или неумным. Тем не менее в последние десять лет во всех областях нелинейной динамики были обнаружены новые явления, главное из которых — хаотические колебания. Хаотические колебания — это возникновение неупорядоченных движений в совершенно детерминированных системах. Такие движения и раньше обнаруживались в механике жидкостей, ио недавно их заметили в несложных механических и электрических системах и даже в простых задачах с одной степенью свободы. Вместе с этими открытиями пришло понимание того, что нелинейные разностные и дифференциальные уравнения могут иметь офаниченные непериодические решения, которые ведут себя случайным образом, хотя в этих уравнениях нет случайных параметров. Это способствовало развитию новых математических идей, новых подходов к динамическим решениям, проникающих сейчас в лаборатории. [c.6]

Квазипериодический путь к хаосу. Хотя удвоение периода — самый знаменитый путь к хаотическим колебаниям, обнаружено и изучено еше несколько схем. В одной из них, предложенной Ньюха-узом и др. [150], авторы рассматривают систему, которая, прежде чем перейти в хаотическое состояние, испытывает последовательные динамические неустойчивости. Пусть, например, система сначала находится в стационарном состоянии, но после изменения какого-нибудь параметра становится динамически неустойчивой (например, аэродинамические колебания — флаттер). С раскачкой движений вступают в действие нелинейности, и движение выходит на предельный цикл. Такие переходы математики называют бифуркациями Хопфа (см., например, [1]). Если при дальнейших изменениях параметра в системе происходят две или более бифуркации Хопфа, так что одновременно присутствуют три связанных предельных цикла, то становится возможным хаотическое движение. [c.66]

Примером хаоса в автономной механической системе являются колебания (флаттер), вызванные течением жидкости иад упругой пластиной. Это явление известно как флаттер пластины более подробное обсуждение механики этой системы можно найти в книге [28]. Такие колебания наблюдались во время первых полетов во внешних оболочках ракетоносителей Сатурн , которые доставили человека на Луну в начале семидесятых годов. В работах Кобаяши [93] и Фунга [39], опубликованных до этих полетов, были обнаружены непериодические движения. В одной серии задач, рассмотренных ими, анализировалось совместное действие сжатия в плоскости пластины и течения жидкости. Более поздние численные результаты показаны на рис. 3.12, где видны устойчивые траектории в фазовом пространстве при одних параметрах потока жидкости и сжимающей нагрузки и хаотические колебания при других условиях [c.91]

Интенсивные исследования нелинейных диссипативных систем с трехмерным фазовым пространством позволили в последние годы обнаружить совершенно новый класс автоколебательных систем. Это автогенераторы шума — диссипативные системы, совершающие незатухающие хаотические колебания, колебания со сплошным спектром за счет энергии нешумовых источников. Замечательно, что даже столь привычный нам осциллятор (14.10) в широкой области параметров является автогенератором шума. Открытие стохастических автоколебаний — это, пожалуй, наиболее яркое достижение современной теории. Почему же оно появилось только сейчас Дело в том, что со времен Пуанкаре до недавнего времени предельный цикл был единственным примером нетривиального притягивающего множества в фазовом пространстве нелинейных диссипативных систем. Правда, уже довольно давно были обнаружены сложные многопетлевые предельные циклы. Устойчивые многопериодические движения были обнаружены при исследовании синхронизации автогенераторов. [c.305]

Возможность существования такого сложного негрубого притягивающего множества, как аттрактор Лоренца, вызвала огромный резонанс как в математике, так и в приложениях. Еще до появления уравнений Лоренца были известны хаотические , стохастические колебания в системах, описываемых точными уравнениями без всякого присутствия вероятностных добавлений. Впервые такие движения были обнаружены в точно математически описанной модели часов, данной Н. Н. Баутиным ([12, 35 ]). Как оказалось, так называемый пичковый режим в лазере описывается теми же уравнениями Лоренца ([58 ]). [c.471]

Экспериментальные исследования тепловой конвекции Р> лея—Бенара в замкнутом объеме обнаружили, что предвестниками хаотического состояния являются последовательности удвоения периода. Эти эксперименты проводились с гелием, водой и ртутью для широкого диапазона значений безразмерных чисел Прандтля и Рэлея. Бремя проведения этих опытов приходится на конец 70-х годов. Например, Либхабер и Маурер [108] наблюдали колебания с удвоением периода при конвекции гелия. Ряд экспериментальных статей опубликовала группа из Французской национальной лабора- [c.118]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...