Решение смешанной граничной задачи теории потенциала

Решение смешанной граничной задачи теории потенциала. Смешанной называется граничная задача, в которой на одной части границы заданы условия первой граничной задачи, а на остальной— условия второй граничной задачи. В частности, для уравнения Лапласа смешанная задача состоит в построении гармонической внутри В, функции, если известны ее значения на части общей границы 5 и ее нормальная производная на остальной части 2 = 5 — границы. [c.414]

В последующие годы развитие методов, основанных на использовании общих уравнений теории упругости и, в частности, функций Папковича — Нейбера, позволило свести многие общие смешанные задачи упругого равновесия полупространства к некоторым классам смешанных задач теории потенциала. При этом в качестве основной из таких задач целесообразно выделить тот случай, когда на всей границе полупространства заданы касательные напряжения, в некоторой конечной области 6" граничной плоскости 2 = 0 известно нормальное перемещение щ = f (х, у), а вне 6 (в области 3 ) задано нормальное напряжение сг = о (х, у). Так, для контактной задачи без трения и пригрузок имеем о = О, а функция / определяется формой основания штампа. Существенно, что смешанные задачи указанного класса в конечном счете могут быть сведены к нахождению одной гармонической функции, заданной в /5", причем в области 8 известна ее нормальная производная. Советскими учеными были разработаны эффективные методы подхода к подобным задачам теории потенциала, позволившие, в частности, дать точные решения некоторых контактных и сходных смешанных задач. Основными из этих методов являются следующие применение сфероидальных и эллипсоидальных координат (А. И. Лурье) построение и использование функции Грина (Л. А. Галин М. Я. Леонов, 1953) метод интегральных уравнений (И. Я. Штаерман В. И. Моссаковский, 1953) использование тороидальных координат и интегральных преобразований (Я. С. Уфлянд, 1956, 1967) метод комплексных потенциалов (Н. А. Ростовцев, 1953, 1957). Мы здесь специально не выделяем метод парных интегральных уравнений, успешно развитый Я. Н. Снеддоном ), поскольку его эффективность существенно проявляется при решении более сложных смешанных задач, о которых речь пойдет ниже. [c.34]

Предлагаемая книга посвящена применению методов потенциала к основным граничным задачам теории упругости. Исследования на эту тему занимали автора и раньше [13 а, г, е], но настоящая работа отличается от прежних тем, что в ней впервые, наряду с однородными телами, рассматриваются также кусочно-неоднородные и доказываются теоремы существования для основных граничных задач таких тел. Второй особенностью книги является построение всей теории граничных задач на базе теории сингулярных интегральных уравнений. Это позволило, с одной стороны, расширить круг исследуемых граничных задач (контактные задачи, смешанные задачи) и, с другой стороны, обнаружить новые возможности метода При точном и приближенном решении многих задач Наконец, третья особенность книги заключается в том, что в ней впервые излагаются два новых способа приближенного решения граничных задач. [c.7]

В книге содержатся результаты, принадлежащие в основном советским авторам. Это обусловлено следующими обстоятельствами. В СССР исследования велись по различным вопросам теории контактных задач. Широкое применение современных методов решения задач теории упругости, основанных, в частности, на применении теории функций комплексной переменной, было начато в России еще в дореволюционное время, ио особенно бурное развитие получило в Советском Союзе. В дальнейшем эти методы, а также методы теории потенциала позволили решить большое количество контактных задач, часть задач со смешанными граничными условиями, что представляет ряд специфических трудностей. Следует отметить, что за рубежом появились и продолжают появляться работы, совпадающие с теми, которые были проведены в нашей стране много лет назад. Это является свидетельством наших достижений в области теории контактных задач. Но само собой разумеется, что исследования по теории контактных задач в СССР не являются изолированными. Поэтому в некоторых разделах книги представлены результаты зарубежных исследователей, что продиктовано необходимостью достаточно полного освещения рассматриваемых проблем. [c.3]

В смешанных задачах теории упругости, где имеются линии и точки раздела граничных условий, нельзя рассчитывать на существование гладких решений даже при весьма гладких исходных данных задачи. Возможно поэтому методы теории потенциала использовались здесь значительно реже. В плоской задаче эффективным средством анализа смешанных трехмерных краевых задач оказались методы теории функций комплексного переменного [176, 177, 208, 226, 227, 377]. Более приспособленными для исследования существенно смешанных задач оказались функциональные методы. Они дают возможность вначале доказать разрешимость основных задач в классе слабых решений, а затем установить степень гладкости решения в зависимости от исходных данных и внутренней структуры решения. [c.88]

Решение уравнений (43.10) в форме (43.12) обладает некоторыми преимуществами в случае, когда необходимо удовлетворить граничным условиям на плоских поверхностях. Тогда задача об удовлетворении граничных условий может быть сведена к смешанной задаче теории гармонического потенциала (задача Буссинеска — Черрути). [c.350]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...