ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Сечение Пуанкаре и хаотические движения из "Динамика твёрдого тела " Для визуализации хаотических движений двухстепенных систем используют отображение Пуанкаре сечение Пуанкаре, фазовое сечение), сводящее фазовый поток к дискретному двумерному отображению плоскости на себя. [c.55] Замечание 3. Последнее условие обусловлено тем, чтобы периодические орбиты, пересекающие плоскость д = до, вообще говоря, в двух точках, были бы неподвижными точками точечного отображения х = хо, п = 1. (см. рис. 4). [c.56] Отображение Пуанкаре сопоставляет каждой точке ее последовательную итерацию Xn+i, принадлежащую той же фазовой траектории. Это отображение, вообще говоря, определено локально вблизи некоторого периодического решения, т. к. при действии фазового потока точка может сойти с секущей плоскости и более никогда на нее не вернуться. Тем не менее это отображение является очень полезным и иллюстрирует различные эффекты, связанные с возвращающимися траекториями. Оно обычно также называется отображением первого возвращения. [c.56] Имеет смысл рассматривать отображения Пуанкаре и глобально, выделяя на фазовой плоскости области, для которых отображение Пуанкаре определено. Они называются областями возможных движений (ОВД). Обычно они определяются из существования решения для уравнения энергии Ж р, q) = Е, р, q) е q = до = onst (в нашем случае р, q) = = L,G,l,g),до = до)- Если уровень энергии является компактным, то справедлива теорема Пуанкаре о возвращении и точка снова пересечет выбранную плоскость, причем бесконечно много раз. Очевидно, что на границе ОВД траектория касается секущей плоскости, т. е. происходит потеря трансверсальности пересечения. Глобальные отображения Пуанкаре еще плохо изучены. [c.56] Это связано с достижением необходимой точности численного интегрирования и сокращением времени счета. Отметим также, что в последних версиях наших программных средств мы используем также кватернионные уравнения в переменных (М, А), которые позволяют достичь даже большей точности, и в то же время определить абсолютное движение твердого тела, необходимое для визуализации траекторий различных точек тела. [c.57] Если для интегрируемых систем последовательные итерации отображения ложатся на инвариантные кривые, состоящие из периодических или квазипериодических движений (см. 7), определенные дополнительным интегралом (рис. 5), то в общей (неинтегрируемой ситуации траектория может хаотическим образом заполнять целые области в фазовом пространстве (на уровне Н = И, рис. 6). [c.57] Отображение Пуанкаре возникло и постоянно используется в теории неинтегрируемости и детерминированного хаоса. Оно также полезно для изучения интегрируемых случаев, так как позволяет наглядно представить взаимное расположение различных частных решений в фазовом пространстве, среди которьк имеются особо замечательные и имеющие важное значение (см. гл. 2). [c.57] к в [71] А. Депри считал их основным достоинством наглядную интерпретацию решений задачи Эйлера, вполне заменяющую геометрическую интерпретацию Пуансо ( 2 гл. 2). Далее мы используем описанную конструкцию для изучения как интегрируемых, так и неинтегрируемых случаев. [c.57] Вернуться к основной статье