Состояние равновесия типа центр

Определение XXV. Мы скажем, что задана схема состояния равновесия типа центр, если указано, совпадает ли на траекториях этого центра направление по I с положительным направлением обхода или противоположно ему. [c.361]

Значениям h из интервала —1<А<+1 соответствуют замкнутые траектории, охватывающие состояние равновесия типа центра, значениям h из интервала 1 < й < с — замкнутые траектории, охватывающие цилиндр при /г = 1 сепаратрисы седла образуют петлю, охватывающую цилиндр (см. рис. 138, а). [c.263]

Самому состоянию равновесия типа центра соответствует значение й = —2/3. В точках (—я/2, 0), (я/2, 0)— седла. [c.274]

Траектории системы при ц = 0 имеют либо вид замкнутых кривых, охватывающих состояние равновесия (типа центра) в точке ф = О, I/ = О, лпбо замкнутых кривых, сшитых из кусков эллипсов и гипербол, охватывающих пространство (цилиндр). Эти две области разделяются сепаратрисами, составленными из кусков прямых и эллипсов, идущими из седла в седло (в точках (—я, 0) (я, 0) система (1) при д, = 0 имеет простые седла). [c.382]

На плоскости (О) (р —2 —я /2 = 0) предельный цикл, охватывающий состояние равновесия 01( д, уоя/2, 0), влипает в сепаратрису, идущую из седла в то же седло (рис. 201, 4.6). На поверхности (Е) (1 —2р/л = 0) в точке 01(м- Уол /2, 0) система имеет состояние равновесия типа центра (рисунок не приводится). [c.388]

Замкнутым кривым соответствует интервал изменения к от А=-- (1 — Г) (состояние равновесия типа центр) до Л = 0 [c.393]

Рис. 1.1. Фазовый портрет гармонического осциллятора, описываемого уравнением (1.2) 0)0 = - /g/I — математический маятник и>о = 1/y/L — электрический контур 0)0 = л/ 1 2 — линеаризованная модель хищник-жертва в начале координат — состояние равновесия типа центр

Мы уже привыкли к фазовым портретам линейного осциллятора без трения (состояния равновесия типа центр или седло ), с малым затуханием (состояние равновесия типа фокус ), с большим затуханием (состояние равновесия типа узел ). Линейный осциллятор подробно обсуждался в гл. 1, но для дальнейшего изложения полезно еще раз взглянуть на все возможные фазовые портреты линейных автономных систем — они представлены на рис. 15.1 а-г. Исследование нелинейных систем мы начали в двух предыдущих главах с рассмотрения динамики нелинейного осциллятора и простейших моделей автоколебаний. Их уже достаточно сложные фазовые портреты также приведены на рис. 15.1, который собрал в себе все, что мы пока знаем. [c.307]

Рис. 15.1. Фазовые портреты линейного и нелинейного осцилляторов. Линейные осцилляторы а — х + Шо =0, состояние равновесия типа центр б — х — а х = 0 — седло в — х- -2 х- -ш 1х = О, 7 < ojq — фокус г — х- -2 ух- -+ш1х = о, 7 > ojq — узел (все состояния равновесия — начало координат). Нелинейные осцилляторы д — х — ж(1 — ж/2) =0 — седло , центр е — ж -Ь sin ж = О — седло , центр , седло ж, э —автоколебательные системы

Если это условие хоть немного нарущается, т. е. если хотя бы немного изменяется какой-либо из параметров системы, то система переходит в область А О или А <[ 0. Это значит, что состояние равновесия типа центра неустойчиво по отношению к малым изменениям параметров системы. Другие же состояния равновесия сохраняют свой тип при небольших изменениях параметров системы, т. е. обладают устойчивостью по отношению к малым изменениям параметров системы. Так как небольшие изменения параметров системы всегда неизбежны, то неустойчивые по отношению к ним состояния не отражают поведения реальной физической системы. Поэтому состояние равновесия типа центра физически имеет значение лишь как граница между двумя другими состояниями — устойчивым и неустойчивым фокусом, точно так же как случай А = (о имеет смысл лишь как граница между узлом и фокусом. Однако этим границам, как уже указывалось, не следует придавать слишком большого физического смысла. В реальных системах переход от одного типа движений к другому происходит постепенно и физическая граница между колебательным и апериодическим затуханием не слишком резка, так как при увеличении затухания система теряет свои колебательные свойства не сразу, а постепенно. Другими словами, в реальных системах мы не в состоянии отличить сильный фокус, т. е. фокус с очень большим А (когда А только немного меньше иф, от слабого узла, т. е. узла, для которого А только немного больше (о . Точно так же мы не можем отличить очень слабое затухание от очень слабого нарастания, ибо, чтобы обнаружить разницу между этими двумя процессами, нам бы пришлось ждать чрезвычайно долго. [c.92]

Основными элементами, определяющими качественную картину интегральных кривых для консервативных систем, являются особые точки и сепаратрисы. Если мы знаем вид сепаратрис (особые точки типа седла суть точки самопересечения сепаратрис) и относительное расположение сепаратрис и состояний равновесия типа центра, то мы можем воспроизвести в общих чертах всю картину интегральных кривых. [c.125]

Оценки сверху числа предельных циклов, появляющихся при изменении коэффициентов из состояния равновесия типа фокуса или центра. Квадратичная система общего вида при наличии в начале координат фокуса или центра всегда может быть приведена к виду [c.285]

Замкнутые кривые семейства (18) при —2/3<к<0 охватывают состояние равновесия типа сшитый центр, а при О < <к< °о — фазовый цилиндр. Состояния равновесия 0 (—я/2, 0) п С>2(я/2, 0) будут седла. Функция г1)(/г) здесь будет иметь вид [c.460]

Однако не все эти пять типов равновесия представляют одинаковый физический интерес. Всем состояниям равновесия, кроме центра (А = 0), соответствуют конечные области значений параметров системы, в частности параметра М. Другими словами, значениям М., заключенным между заданными конечными пределами, может соответствовать всякое состояние равновесия, кроме центра, а этому последнему состоянию равновесия соответствует только одно-един-ственное значение получающееся из условия Ж5о—НС=0. [c.92]

Рис. 75. Фазовый портрет математического маятника на плоскости. Изображены фазовые траектории колебательных, асимптотических и вращательных движений, указана зона отрицательной реакции связи. Видны состояния равновесия, в линейном приближении имеющие эллиптический и гиперболический типы (особые точки типа центр и седло )

Рассматриваются общие закономерности электронного поглощения и испускания многоатомных соединений в жидкой фазе. Благодаря взаимодействию со средой, а также миграции колебательной энергии внутри системы процессы поглощения и испускания сложных молекул подчиняются определенным статистическим закономерностям. Это позволяет получить ряд, спектральных соотношений универсального характера и предложить достаточно общие методы определения молекулярных спектроскопических и термодинамических параметров. Они могут быть использованы при исследовании процессов перераспределения колебательной энергии и условий нарушения термодинамического равновесия в растворах, изучении конфигурации частиц среды и релаксации электронных состояний, для разделения полос поглощения и испускания, структура и форма которых искажаются за счет перекрывания спектров нескольких электронных переходов, различных типов центров, наличия примеси, что необходимо для последовательного и глубокого анализа влияния среды на спектры. [c.30]

Такие кривые называются сепаратрисами. В данном случае сепаратрисы отделили внутреннюю область устойчивых колебаний (особая точка типа центра) от четырех внешних (особые точки типа седла ), где векторное поле отбрасывает изображающую точку все дальше и дальше от состояния равновесия. [c.226]

Рис. 1.6. Расположение корней на комплексной плоскости р = р + гр" и их связь с типом состояния равновесия системы а — 7 = О, р1, 2 = ги>о — центр б — шо > 7 > О, р1,2 = -7 л/с о 7 — фокус в — 7 = шо, Р1,2 = —7 — фазовый портрет качественно изменяется г — 7 > и>о, р, 2 = = -7 д/7= - — узел д — 7 = О, Р1, 2 = шо — седло

Нетрудно убедиться, что особая точка типа центра соответствует устойчивому состоянию равновесия. Пусть задана сколь угодно малая область s, например квадратная (вертикальная штриховка на рис. 18). Выберем из замкнутых кривых, окружающих особую точку. [c.47]

Итак, одним только изменением величины А, характеризующей сопротивление системы (от больших положительных до больших отрицательных /г), можно перевести систему последовательно через пять различных областей, соответствующих различным типам движений и состояний равновесия, а именно устойчивый узел, устойчивый фокус, центр, неустойчивый фокус и неустойчивый узел. В следующем параграфе мы познакомимся еще с одним типом состояний [c.91]

Особая точка типа центра, как мы уже убедились при рассмотрении частного примера, соответствует устойчивому состоянию равновесия. Найдем теперь аналитические условия наличия такой особой точки и приближенные уравнения замкнутых кривых вблизи нее. [c.111]

Как мы видели при рассмотрении линейной системы с отталкивающей силой, особая точка типа седла соответствует всегда неустойчивому состоянию равновесия. Найдем теперь аналитические условия существования такой особой точки и приближенные уравнения интегральных кривых в непосредственной близости к состоянию равновесия. Поступая совершенно так же, как и в случае центра, мы [c.113]

Мы рассмотрели три возможных случая экстремальных значений потенциальной энергии системы и связали их с типом особых точек и с вопросом об устойчивости состояний равновесия ). Мы убедились в том, что в случае минимальной потенциальной энергии состояние равновесия является особой точкой типа центра и устойчиво если потенциальная энергия имеет максимум, то состояние равновесия является особой точкой типа седла и неустойчиво. Состояние равновесия неустойчиво и в случае, когда потенциальная энергия имеет точку перегиба. На этом основании для рассматриваемого случая простейшей консервативной системы можно сформулировать две основные теории устойчивости во-первых,теорему Лагранжа ),которая гласит Если в состоянии равновесия потенциальная энергия есть минимум, то состояние равновесия устойчиво, [c.116]

Рождение и.ч одного равновесного состояния трёх состояний равновесия (спонтаиное нарушение симметрии). Напр., изменению движения гаарика в жёлобе при появлении на дне жёлоба бугорка соответствует Б., при к-рой иа вырожденного состояния равновесна типа центр (рис. 5, а) возникают три состояния равно- [c.210]

Состояния равновееия типа центр. Предположим теперь, что рассматриваемое состояние равновесия О таково, что к нему не стремится ни одна полутраектория. Тогда в силу теоремы 18 4 в любой сколь угодно малой окрестности точки О есть залшнутая траектория, содержащая точку О внутри. В силу предположения о конечности числа орбитно-неустойчивых траекторий существует во > О такое, что в окрестности О) не лежит целиком ни одной особой траектории кроме точки О. Пусть L — замкнутая траектория, целиком лежащая в (( ) и содержащая точку О внутри (такая траектория, очевидно, всегда существует), а gj, — область. [c.360]

Можно построить поверхность z = (ж, ж) и, пересекая ее плоскостями Z = С = onst, получить при проецировании сечений на плоскость XX фазовый портрет (рис. 13.5 6). Легко убедиться, что в двумерной консервативной системе могут существовать лишь состояния равновесия типа седло и центр . [c.279]

При изменении силовой характеристики может измениться тип особой точки Например, соответствующий устойчивому состоянию равновесия консервативной системы центр при введении в сис1сму сколь угодно малого сопротивления превращается в устойчивый фокус, который при дальнейшем увеличеыии сопротивления может иерейти в устойчивый узел. Если в систему вводить отрицательное сопротивление, то центр переходит в неустойчивый фокус, который затем молчет превратиться в неустойчивый узел. [c.25]

Теорема 18. Всякая достаточно малая окрестность состояния равновесия О системы (А), не являюи аяся центром или топологическим узлом, состоит из конечного числа эллиптических замкнутых узловых), параболических узловых) и гиперболических седловых) областей в частных случаях области некоторых типов могут отсутствовать), примыкающих последовательно [c.62]

Смотреть страницы где упоминается термин Состояние равновесия типа центр : [c.114] [c.136] [c.259] [c.397] [c.450] [c.48] [c.302] [c.713] [c.211] [c.45] [c.234] [c.50] [c.129] [c.289] [c.128] [c.128] [c.140] [c.140] [c.147] [c.483]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...