Поле касательных к замкнутой кривой

Соленоидальный вектор образует трубки постоянной интенсивности. Если векторная функция а задает некоторое векторное поле, то векторными линиями поля называются линии, касательные к которым в каждой точке направлены вдоль вектора а, проведенного в этой точке (ср. линии тока). Векторная трубка образуется векторными линиями поля, проведенными через каждую точку некоторой замкнутой кривой. Рассмотрим часть векторной трубки, заключенную между двумя плоскими сечениями 5, и внешние нормали к которым обозначим через п, и — П . Из теоремы Гаусса можно получить равенство [c.61]

Из теоремы о вращении поля касательных на гладкой замкнутой кривой [51] следует, что приращение аргумента касательной при обходе контура профиля с острой кромкой (с внутренним углом а) составляет величину тг + а. Поэтому в случае, изображенном на рис. 5.1, приращение аргумента вектора скорости на каждой стороне профиля не превосходит тг + + а (для рис. 5.2 — на верхней стороне). В случае, изображенном на рис. 5.3 (выпукло-вогнутый профиль) величина тг + а представляет собой разность приращений аргумента вектора скорости на выпуклой и вогнутой сторонах профиля (приращения отсчитываются от одной и той же точки О). [c.158]

Поле касательных к замкнутой кривой. [c.212]

Доказательство, Пусть С — рассматриваемая простая замкнутая кривая. Ввиду ее гладкости С является спрямляемой кривой. Будем считать для определенности, что длина кривой С равна 1 и направление касательного вектора V в каждой точке кривой С соответствует положительному направлению обхода на С (длины векторов V роли не играют, лишь бы они отличались от нуля можно, например, считать, что V представляет поле единичных касательных векторов). [c.212]

Это соотношение также не зависит от выбора осей координат ) и может быть выражено в следующей форме пусть будет s некоторая замкнутая кривая, проведенная в поле вектора, а S какая-нибудь поверхность, для которой эта кривая служит контуром обозначим через Т проекцию вектора (и, V, w) на касательную к кривой s в какой-либо ее точке, через 2проекцию вектора иа нормаль в ка- [c.58]

Из всего сказанного выше относительно свойств фазовой плоскости и фазовых кривых, нанесенных на ней, для линейных систем следует, что фазовая плоскость, по сути дела, является своеобразным векторным полем, свойство которого характеризуют не только направление касательной к данной интегральной кривой в любой точке этой плоскости, но и направления движения по фазовой траектории нашей изображающей точки, определяющей ход процесса, и, следовательно, и свойства звена. Фазовая плоскость, следовательно, не есть чисто геометрическое понятие, а является областью, настолько пропитанной векторами, что всюду, за исключением особых точек, эти векторы заставляют двигаться в определенном направлении и с определенной скоростью нашу изображающую точку наподобие того, как струи воды в быстринах увлекают за собой щепку. Наблюдая такие области в этих быстринах, где имеются вихревые движения, мы можем заметить, что эти щепки иногда описывают замкнутую, иногда разомкнутую траектории и иногда, будучи подхвачен струей, уносятся из данной области дальше. [c.225]

Кривая, касательная к которой в каждой точке совпадает по направлению с вектором с в этой же точке, называется векторной линией поля с. Если через замкнутый контур L можно провести векторные линии поля с, то образованную таким образом поверхность называют векторной трубкой поля с. Поток вектора с через незамкнутую поверхность, ограниченную контуром L, называется интенсивностью векторной трубки в соответствующем сечении. Векторное поле с называется соленоидальным, если его поток из любой стягиваемой замкнутой поверхности равен нулю. Используя (1.6), видим, что это условие будет выполнено тогда и только тогда, когда div с - 0. Для непрерывного и интегрируемого с квадратом соленоидального векторного поля с справедливы тождества [c.13]

Если существует замкнутая область R, не содержащая особых точек и такая, что в каждой точке ее границы вектор поля F направлен внутрь области, то в такой области имеется по крайней мере одна циклическая траектория. (Предполагается, что граница области состоит из кривых с непрерывно изменяющимся наклоном касательной, за исключением конечного числа угловых точек.) В самом деле, любая положительная полухарак-теристика, начинающаяся в области R, остается в этой области и при < 0 эта положительная полухарактеристика либо является циклической, либо стремится к предельному циклу. К тому же выводу мы приходим и в том случае, когда во всех точках границы вектор поля JP направлен наружу. Для доказательства достаточно рассмотреть отрицательные полухарактеристики, начинающиеся в точках области R. Из сказанного, разумеется, не следует, что в области R имеется лишь одна циклическая траектория. (Область R не может быть односвязной. Если бы, например, область R состояла из простой замкнутой кривой Г и ограничиваемой ею области, а вектор 1 в каждой точке Г был бы направлен внутрь этой области, то индекс ( 20.1) кривой Г был бы равен единице, так что в области была бы по крайней мере одна особая точка.) [c.392]

Векторное поле вихря удобно характеризовать нек-рыми геом. образами. В и х р е в о ii линией наз. линия, касательная к к-рой в каждой точке направлена но вектору вихря совокупность вихревых линий, про ходящих через замкнутую кривую, образует вихревую трубку. Поток вектора вихря через любое [c.284]

Теорема 24 (Пуанкаре). Индекс гладкой простой замкнутой кривой по отноигению к полю своих касательных равен + 1. [c.212]

Определение 14.1.2. Грансверсальад к векторному полю на поверхности называется такая простая замкнутая кривая, что векторное поле не является касательным к этой кривой ни в одной точке. [c.456]

Теперь с помощью последнего равенства мы покажем, что tp p) W (p) для плотного множества значений t из окрестности 0. Для этого выберем два вектора v е Е (р) и го Е (р) таким образом, что d9(v, w) ф 0 это возможно, потому что в — невырожденная форма. Далее, рассмотрим короткие кривые с [О, е]— Жо (р) и % [0> Жос(Р)> являющиеся отрезками геодезических в этих подмногооо разиях. Для достаточно малого е найдется точка Z ( (е)) П Жос(с (е))- Выберем так, что z = е (с (е))- Существуют гладкие кривые 7 с И ос(с (е)) и 7, С (с (е)), идущие в Z и z соответственно. Так как сильно устойчивое и сильно неустойчивое слоения непрерывны в 7 -топологии, эти кривые можно считать почти параллельными с и с соответственно. Например, можно параллельно перенести касательные векторы к вдоль геодезических в соответствующие точки 7 и гарантировать, что получившееся векторное поле вдоль 7 настолько близко к касательному векторному полю, насколько нам нужно, при условии, что е достаточно мало. Заметим также, что с точностью до произвольно малого гладкого возмущения можно считать точку z периодической. Перенос кривых и 7 под действием потока представляет собой четырехзвенную ломаную, соединяющую точку р с точкой р р) кривыми из сильно устойчивого и неустойчивого слоев. Добавляя маленький отрезок орбиты р, мы, таким образом, получаем замкнутую кусочно гладкую кривую с. Она проектируется в простую кривую в трансверсали Т, так что эту кривую можно рассматривать как границу поверхности А, инъективно проектирующейся на поверхность тг(А) в Т. Теперь заметим, что с точностью до умножения в на постоянный множитель по теореме Стокса мы имеем [c.578]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...