Краевое условие в пространстве конечных элементов

X пространство конечных элементов без краевых условий. [c.502]

В случае областей О со сложной геометрией, когда задачу на собственные значения не удается решить точно, обращаются к методу конечных элементов [226]. Указанный метод основан на том, что дискретизацию исходной краевой задачи можно строить на функциях, лежащих за пределами —области определения оператора Ь. Идея метода состоит в замене пространства конечномерным подпространством пробных функций, лежащих в которое строится следующим образом. Область О делят на части, в каждой из которых прибегают к полиномиальному или даже линейному представлению пробных функций с соблюдением условий непрерывности на границах раздела. В связи с этим уместно отметить, что метод Галеркина применяется и к решению задач на собственные значения Ьи = %и. Идея состоит в использовании отношения Рэлея [c.12]

Итак, пространством функций, допустимых при. минимизации, будет М -, его элементы имеют первые производные с конечной энергией и удовлетворяют главному краевому условию у(0) = 0 (на это указывает нижний индекс ). Естественное краевое условие у (я) = 0 не обязательно. Отметим, что, если наши математические рассуждения последовательны, функция и из Ж, минимизирующая /, автоматически удовлетворяет условию (я) = 0. Это легко проверить, так как для некоторого числа е и некоторой функции у из Же [c.23]

Этот раздел обобщает предыдущий в трех направлениях здесь вводятся неоднородные краевые условия, рассматриваются квадратичные и даже кубические элементы, а не линейные, и решаются дифференциальные уравнения четвертого порядка, а не только второго. Оценки ошибок для различных конечных элементов часто приводятся без доказательств, так как они вытекают из теории, которая будет развита далее в этой книге. Этап г метода конечных элементов те же, что и прежде вариационная постановка задачи, выделение кусочно полиномиальных подпространств в некотором допустимом пространстве, построение и решение линейных уравнений KQ Р. Эта схема в одномерном случае более или менее закончена. [c.67]

Для линейных конечных элементов все очень просто. В точке. V = я никаких ограничений нет, там краевое условие естественное. Пространство пробных функций будет состоять пй-этому из всех кусочно линейных функций, удовлетворяющих [c.68]

Мы хотим предложить объяснение этого чуда, основанное на нашем наблюдении, что обычное измерение числа обусловленности для этих матриц неестественно. В вычислительных целях мы будем рассматривать эти матрицы как преобразования евклидова пространства (дискретного Ж°) в себя и потому возьмем одну и ту же норму для невязки уравнения и для результирующей ошибки в решении. Это целиком противоположно тому, что делается в дифференциальной задаче, или тому, что происходит при оценке ошибки дискретизации / измеряется в норме пространства Л1 и ее ошибка — в ш и ее ошибка — в Ж. (В вариационной задаче соответственно и Ж .) В самом деле, оператор I = с каким-либо обычным краевым условием вполне обусловлен как преобразование из Ж в Ж°. Ограниченность операторов I и была существенным моментом в разд. 1.2. Можно показать, что это верно и для разностного оператора б , а также для любого приемлемого аналога в методе конечных элементов, если только эти естественные нормы сохраняются. Следовательно, должен быть алгоритм решения уравнения КО, = Р, отражающий это свойство, и тогда чудо развеялось бы ошибки в Л1 и ш соответствовали бы их положению. [c.147]

Это как раз задача о закрепленной пластине с v = 1. Таким образом, предельная функция не зависит от коэффициента Пуассона, входяш его в краевые условия. Сходимость есть, но почти всегда к неверному решению. Соответствующие трудности для расчетов методом конечных элементов представлены в [Р1] и обсуждаются в [Б 10]. С другой стороны, мы предчувствуем успех изопараметрического метода, если аппроксимация границы Г по крайней мере кус очно квадратична в этом случае кривизна границы сходится. Если же предположить, что главное условие и = 0 заменяется в граничных узлах условием Ф = d /dt = О, использовать пространство Z3 (см. разд. 1.9) и взять производную d/dt вдоль истинной границы Г, то сходимость можно ожидать даже на многоугольнике. В таком изложении, однако, требуемой теории не существует. [c.227]

После связывания конечных элементов (в пространстве и времени) я использования краевых и начальных условий из (11.25) получаем [c.176]

Таким образом, определение времени Т и вектора г to) связывается с обычной задачей (10.4) на условный экстремум для функции р от конечного числа переменных ( о)- Аналогичные условия были выведены и для других случаев задачи о предельном быстродействии системы (10.1). Вывод этих условий получается естественным образом из трактовки соответствующей краевой задачи об управлении в форме, разработанной в функциональном анализе проблемы моментов. При этом существенно лишь, чтобы ограничения на управления и (1) ( о< < 1) выделяли выпуклые множества таких управлений, которые трактуются как элементы подходящего функционального пространства В и ( ) . Такая трактовка полезна еще и по той причине, что она позволяет охватить готовыми строгими рассуждениями вопросы о необходимых и достаточных условиях оптимальности, а также вопросы существования оптимального управления и в таких случаях, когда это управление и (1) удобно описывать обобщенными функциями. Последнее может встретиться, например, при ограничениях на полный импульс [c.194]

В разд. 2.3 даны общие определения конечных элементов и пространств конечных элементов и приводится обсуждение их различных свойств. Особенно важны понятие аффинного сежйства конечных элементов (когда все конечные элементы семейства могут быть получены как образы при аффипном отображении одного и того же исходного конечного элемента) и понятие оператора Рк-интерполяции (основная зависимость между этими двумя понятиями устанавливается в теореме 2.3.1). Оператор Р --интерполяции и соответствующий ему общий оператор Х -интерполяции играют фундаментальную роль в развиваемой в следующей главе теории интерполяции в простряпствах Соболева. Будет также описана методика постановки краевых условий на функции из пространств конечных элементов. [c.47]

Последний вопрос, который мы хотим рассмотрегь в этом разделе, состоит в том, как учесть краевые условия в пространстве конечных элементов. Как и прежде, будем в основном руководствоваться примерами. [c.101]

Общее правило таково краевые условия, включающие производные порядка менее 8, сохраняются при предельном переходе в норме пространства Краевые условия с производными порядка 5 и выше нестойки, и их нельзя применить к функциям пространства Теперь понятно различие между главными краевыми условиями, которые остаются, и естественными краевыми условиями, которые меняются. Это различие видно в вариационной задаче, так как она записывается в терминах первых призводных, т. е. 5 -нормы. В аппроксимации по методу конечных элементов мы будем требовать удовлетворения всех краевых условий, содержащих производные порядка менее 1, т. е. условия типа ы(0) = О, но не будем требовать удовлетворения условия на первую производную. Это не помешает аппроксимации по методу конечных элементов сходиться в 5 -норме к точному решению и, удовлетворяющему условию и п) = 0. Поэтому в следующем разделе мы сможем перейти от чисто математической постановки задачи к эквивалентной вариационной постановке. [c.18]

Эти пространства входят в категорию пространств узловых конечных элементов (в том смысле, который мы обсуждали ранее), и потому, быть может, стоит рассмотреть также и пример пространства, рассматриваемого в абстрактном методе конечных элементов. Пространство бикубических сплайнов, принадлежащих классу 9 в О, вероятно, подходит лучше всего, но в данной задаче с этим лространством работать трудно. Неприятности связаны с главным краевым условием ы = О на трещине РРъ Бикубический сплайн, равный нулю на этой прямой, будет в точке Р таким, что не сможет как следует аппроксимировать истинное решение и, все производные которого сингулярны. Чтобы обойти эту- трудность, потребуем, чтобы сплайны при переходе через прямые РСг, PQз и PQ4 были всего лишь непрерывными ( °), пространство таких сплайнов обычно называют сплайн-лагранжевым [c.312]

Определим далее подпространство из Хд, возможно лучше учитывающее краевое условие и = 0 вдоль 1раницы Г множе- ства о. Например, если общий конечный элемент—лагранжев элемент, то все степени свободы равны нулю в граничных узлах. Но опять, так как конечный элемент не принадлежит классу 5 (см. замечание 2.3.10), то функции из пространства Х д, вообще говоря, будут обращаться в нуль только в граничных узлах. [c.207]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...