Оператор бигармонический Лапласа

В квадратных скобках стоит выражение гармонического оператора Лапласа V , примененное к (V u )i т. е. в целом уже знакомый из гл. 4 бигармонический оператор VV , примененный к г/ . В результате приходим к уравнению изгиба пластины [c.156]

Особый интерес представляет бигармонический оператор, который получим, дважды применив оператор Лапласа (8.11) [c.233]

Отметим, что в случае плоской задачи бигармоническое уравнение (9.20) аппроксимируется разностной системой алгебраических уравнений, которую можно получить на основании формулы (7.248). Повторив операцию разностного оператора Лапласа для квадратной сетки, получим следующую систему алгебраических уравнений [c.328]

У е S. Так как одновременно эти векторы на границы заданы быть не могут, то формула (2.29) непосредственного практического применения не имеет. Но, как мы увидим далее, она может быть использована для получения многих важных результатов. Рассмотрим изотропную среду. Прежде чем получить явное выражение перемещений Кельвина, построим некоторые важные частные решения статической задачи упругости, т.е. решения, которые удовлетворяют уравнениям Ламе (1.72), но не обязательно удовлетворяют граничным условиям. Такие частные решения обычно разыскиваются с помощью вектора перемещения через не которые векторы, удовлетворяющие уравнениям более простым, чем уравнения Ламе, например уравнению Лапласа или Пуассона, однородному или неоднородному бигармоническому уравнению. Такое выражение принято называть представлением решения задачи теории упругости. Применим к уравнениям (1.72) один раз оператор div, а другой раз оператор Лапласа Д = Тогда получим соответственно [c.86]

В упругой области функция напряжений Ф(г, в) удовлетворяет бигармоническому уравнению (V — оператор Лапласа) [c.30]

Уравнения в сферических координатах. Иногда удобно исходить из уравнений осесимметричной задачи в сферических координатах г, Ф, 0 при этом напряжения, деформации и смещения не зависят от угла ф ось симметрии характеризуется значением 0 = 0. Функция напряжений удовлетворяет бигармоническому уравнению, причем оператор Лапласа имеет теперь вид [c.43]

Вернемся к обш.им уравнениям плоской задачи в полярных координатах и рассмотрим тот случай, когда объемные нагрузки gr gtgQ равны нулю. В 2.1 было показано, что решение плоской задачи в прямоугольной декартовой системе координат сводится к решению бигармонического уравнения (2.8) при этом напряжения выражаются через функцию напряжений ф по формулам (2.6). Вывод этих соотношений можно повторить и в полярных координатах, но делать это не обязательно достаточно преобразовать формально окончательные зависимости при переходе к полярной системе координат. При этом внешний вид бигармонического уравнения (2.8) сохраняется, но в полярной системе координат оператор Лапласа запишется так [c.52]

С учетом этих соотношв1гий оператор Лапласа можно представить в виде ( ) = 4 ) 3 бигармонический оператор — ввпде ( )= [c.38]

Уравнения в сферических координатах. Ингид ] удобно исходить из ураннений осесимметричной задачи в сферических координатах г, ф, 0 прн том нанряжения, деформации и смещения не зависят от уг. а ч ось симметрии характеризуется значением 6=0. Функция напряженип удовлетворяет бигармоническому уравнению, причем оператор Лапласа имеет теперь вид [c.43]

Здесь мы рассмотрим несколько задач на плоскости, или, вернее, в области Q на плоскости, ограниченной гладкой кривой Г. Нашей целью в первую очередь будет сопоставление с дифференциальным видом этих задач, содержащих оператор Лапласа А и бигармонический оператор А , эквивалентной вариационной формулировки. Это означает, что в вариационной постановке мы должны подобрать допустимые пространства, в которых ищется решение. Естественно, что эти пространства зависят от краевых условий, и, как и в случае одномерной краевой задачи, условия Дирихле (главные условия) будут отличаться от условий Неймана (естественных условий). Примеры привести очень легко, но они представляют собой простейшие модели плоского напряженного состояния и изгиба пластины, так что полезнее еще раз проиллюстрировать основные идеи [c.81]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...