Морса множество

Минимальное множество 222 Минимальный период 163 Минимальный центр притяжения 221 Множество рациональных (иррациональных) точек абсолюта 233 Морса множество 207 [c.241]

Наш обзор, естественно, является неполным. Мы не включили в него, сравнительно немногочисленные, работы о локальных бифуркациях в трехпараметрических семействах и о нелокальных бифуркациях в двупараметрических семействах некоторые ссылки даны в списке литературы. В описании нелокальных бифуркаций мы ограничились только теми, которые происходят на границе множества систем Морса—Смейла. Теория таких бифуркаций в значительной части завершена, хотя и недостаточно широко известна посвященные ей работы математиков Горьковской школы зачастую публиковались в труднодоступных источниках. Не исследована та часть границы множества систем Морса—Смейла, на которой возникает счетное множество неблуждающих траекторий этой проблеме посвящен 7 гла-чы 3. Для сохранения единства стиля мы формулируем известные результаты зачастую не в том виде, как в первоисточниках. [c.11]

Границу множества систем Морса—Смейла можно разбить на следуюш,не части [c.86]

Поэто иу для векторного поля общего положения, имеющего контур и лежащего на границе множества векторных полей Морса—Смейла, либо [c.92]

Бифуркационная поверхность может отделять системы Морса—Смейла от систем с бесконечным неблуждающим множеством — при переходе через нее может, например, рождаться странный аттрактор или нетривиальное гиперболическое множество (определение см. в [198]), или сложное предельное множество, содержащее бесконечно много траекторий. [c.95]

Теорема ([8], [9], [185]). 1. Любая грубая (структурно устойчивая) система на замкнутой поверхности является системой Морса—Смейла. 2. Множество грубых (структурно устой- [c.97]

Таким образом, любая негрубая система является граничной для множества систем Морса—Смейла. [c.98]

В этом параграфе описаны бифуркации при переходе через гиперповерхность в функциональном пространстве, состоящую из векторных полей с гиперболической особой точкой, имеющей гомоклиническую траекторию. Исследуется окрестность гочек общего положения на этой гиперповерхности как принадлежащих, так и не принадлежащих границе множества систем Морса—Смейла. [c.127]

Бифуркации гомоклинических траекторий седла, происходящие на границе множества систем Морса—Смейла. В однопараметрических семействах общего положения встречаются векторные поля с гомоклинической траекторией гиперболического седла, не устранимые малым шевелением семейства. Будем-считать, что в однопараметрических семействах такие поля соответствуют нулевому значению параметра (называемому также критическим значением). [c.127]

Добавление бифуркации гомоклинических петель вне границы множества систем Морса—Смейла. [c.137]

Несложно сконструировать диффеоморфизм, имеющий больше одного модуля устойчивости. Для этого достаточно, чтобы неустойчивое (устойчивое) многообразие точки р(< ) было предельным для неустойчивых (устойчивых) многообразий других седловых точек (как, например, в теореме пункта 6.2). В [139] выведены условия, необходимые и достаточные для того, чтобы диффеоморфизм, лежащий на границе множества систем Морса—Смейла, имел единственный модуль. [c.141]

Существование на границе множества систем Морса—Смейла векторных полей с контурами установлено в [58]. На рис. 51 приведен пример подобного диффеоморфизма. [c.141]

В случае, если бифуркационная поверхность является граничной для векторных полей Морса—Смейла в точке vq, то векторные поля (do различаются модулем (см. п. 6.3), но геометрически одинаковы . В неблуждающее множество добавляется лишь гомоклиническая траектория простого касания. [c.147]

Здесь описывается компонента границы множества систем Морса—Смейла, состоящая из потоков с бесконечным множеством неблуждающих траекторий. Во всех приводимых ниже примерах типичные точки границы недостижимы. Так ли это в общем случае, неизвестно. В частности, неизвестно, верно ли, что в типичном однопараметрическом семействе векторных полей рождению бесконечного неблуждающего множества предшествует одна из бифуркаций, описанных в предыдущих параграфах (появление негиперболической особой точки или цикла, или траекторий, принадлежащих простому касанию либо не-трансверсальному пересечению устойчивого и неустойчивого многообразий особой точки и (или) цикла). [c.149]

Векторные поля на двумерном торе. Класс систем Морса—Смейла на двумерном торе так же, как и на любой двумерной поверхности (см. 2), совпадает с классом структурно устойчивых (и грубых) систем. Поэтому любая негрубая система лежит на границе множества систем Морса—Смейла. [c.149]

Очевидно, векторное поле v может лежать на границе множества систем Морса—Смейла (в замкнутом шаре большого радиуса в R ). [c.150]

Теорема. Если v лежит на границе множества систем Морса—Смейла, то для достаточно малой окрестности v множество также принадлежит границе множества систем Мор- [c.151]

Очевидно, поле гладко и гладко зависит от е. При е<0 поле Ve задает систему Морса—Смейла, поскольку поле w этим свойством обладает, и преобразования монодромии дна трубки В на ее крышку у полей и w совпадают. При е О поле имеет бесконечное множество неблуждающих траекторий, заполняющих четыре тора. Семейство d построено. [c.155]

Из формулы (2.3) следует, что множества суть уровни гладкой функции / = не имеющей критических точек при малых значениях переменной у. Следовательно, — гладкое многообразие, когда р Ро, Ро мало. Так как уровень / = 0 совпадает с 8D, то по теореме Морса [45] диффеоморфно 8D. [c.138]

В одно- и двумерных фазовых пространствах структурной устойчивостью обладают так называемые системы Морса—Смейла, у которых множества неблуждающих точек состоят лишь из конечного числа неподвижных точек и замкнутых траекторий, причем все они — гиперболические отвечающие любым таким точкам устойчивое и неустойчивое многообразия трансверсальны (т. е. либо не пересекаются, либо касательные к ним пространства в каждой точке их пересечения и в сумме образуют полное касательное пространство). [c.127]

Несмотря на простую и естественную формулировку этих достаточных условий, возможная качественная структура систем Морса — Смейла может быть очень сложной. У таких систем может быть счетное множество ячеек . Существуют также примеры грубых динамических систем со счетным множеством седловых предельных циклов с неограниченно увеличивающимся периодом. Впервые такой пример был построен американским математиком Смейлом (см. список дополнительной литературы [42 ]). Примеры грубых систем со счетным множеством устойчивых или неустойчивых циклов с неограниченно увеличивающимся периодом отсутствуют. Доказательство того, что в грубых многомерных системах не может существовать счетного множества предельных циклов с ограниченными периодами, не представляет затруднений. [c.470]

Следствие 7.2.8. Пусть 2 < г оо, и пусть М — гладкое многообразие. Тогда множество функций Морса (см. определение 7.2.3) является плотным в С -топологии и открытым в -топологии подмножеством пространства С -функций на М. [c.300]

Докажите, что на компактном многообразии множество функций Морса открыто в С (М). [c.304]

Эта теорема представляет собой первый пример того, как вариационные методы позволяют найти бесконечно много периодических орбит. Ранее мы встречались с ситуациями, когда бесконечное множество периодических орбит удавалось найти, используя гиперболичность (следствие 6.4.19) или определенные сведения из топологии (следствие 8.6.11, следствие 8.6.12, теорема 8.7,1). Позднее мы сможем использовать вариационные методы для получения бесконечного множества орбит в других ситуациях, а именно для геодезических потоков, когда будет найдено бесконечно много замкнутых геодезических (теорема 9.5.10), а также большие множества минимальных геодезических (теорема 9.6.7). Доказательство теоремы 9.3.7 интересно также тем, что, оказывается, нахождение критических точек с помощью вариационных методов представляет собой не вполне тривиальную задачу и использует некоторые топологические соображения. В то время как построение первой периодической орбиты использует достаточно грубый (хотя и нетривиальный) поиск минимума некоторого функционала действия, построение второй базируется на сочетании вариационных методов с дифференциальной топологией в форме простой теории Морса или соображений [c.362]

Попытаемся применить к функции L на множествах Dk результаты тео-рии Морса. Для этого нужно, чтобы Рт 1 при подходе к границе внутри любой из областей Dk функция L, например, уменьшалась. [c.60]

В вариационном исчислении в целом имеется вариант понятия индекса Морса, относящийся к некоторым множествам критических точек ( невырожденные критические многообразия ). У нас этому соответствовало бы понятие индекса Морса для множества периодических траекторий (удовлетворяющего определенным условиям). Но для ТДС такой вариант является менее существенным, и я ограничусь приведенным выше простейшим и в то же время важнейшим вариантом, относящимся к отдельным траекториям. [c.178]

В этой главе описаны бифуркации систем, лринадлежащ,их границе множества систем Морса — Сме0ла. Напомним, что точка Р называется н блуждающей точкой потока / (или диффеоморфизма /), если для любой окрестности ЩР существует последовательность ti- oo при 1- <х> ki Z, ki <х> при/->оо) такая, что ифО) LJ [ U 0). Поток (или диффеомор- [c.86]

Негиперболические особые точки. На границе множества систем Морса—Смейла встречаются системы с негиперболическими точками (циклами). Локальные бифуркации таких точек и циклов описаны в главах 1 и 2. Однако с негиперболичес- [c.88]

Лемма (В. С. Афраймович, 1985). Если векторное поле, удовлетворяющее требованиям, наложенным в примере 2 или 3, имеет гомоклиническую траекторию цикла, по которой трансверсально пересекаются множества 5 и S , то все векторные поля из некоторой окрестности поля в пространстве х (Л ) имеют бесконечное множество неблуждающих траекторий и, следовательно, поле не принадлежит границе множества векторных полей Морса—Смейла. [c.91]

Поскольку в этой статье рассматриваются лишь бифуркации в окрестности границы множества систем Морса—Смейла, то всюду нйже гомоклинические траектории негиперболического цикла рассматриваются только в том случае, когда один из мультипликаторов цикла равен 1. [c.91]

Структура семейства гомоклинических траекторий. Как указывалось в 1, точке общего положения на границе множества систем Морса—Смейла соответствует поле с гомокли-нической траекторией негиперболического цикла, только если один мультипликатор этого цикла равен 1. На бифуркации такого поля существенно влияет компактность или некомпакт-ность объединения цикла и множества его гомоклинических траекторий. [c.115]

Кроме перечисленных случаев, перемежаемость может быть обусловлена исчезновением цикла с мультипликатором 1, узлового по гиперболическим переменным, имеющего гомоклини-ческую траекторию, принадлежащую V (векторное поле в этом случае уже не принадлежит границе множества систем Морса—Смейла, см. [81]). [c.122]

Пусть М — компактное С -гладкое многообразие без края, Diff (М) — множество С -диффеоморфизмов, MS — множество диффеоморфизмов Морса—Смейла, 9 (М) — множество С дуг диффеоморфизмов М. То есть если / — единичный интервал, то состоит из С -отображений Ф Мх/- Мх/ таких, что [c.125]

В этом параграфе рассматриваются бифуркации векторного поля, лежащего на границе множества систем Морса—Смейла, для которого неблуждающее множество состоит из конечного числа гиперболических положений равновесия и гиперболических циклов, чьи устойчивые и неустойчивые многообразия пересекаются трансверсально по всем траекториям, за исключением одной — простого касания либо квазитрансверсального пересечения. [c.138]

Теорема ([66], [67]). В окрестности векторного поля, удовлетворяющего условиям теоремы пункта 6.8, но не являющегося граничным для векторных полей Морса—Смейла, на бифуркационной поверхности всюду плотны векторные поля, обладающие 1) предельным циклом типа седло-узел 2) предельным циклом типа неориентируемый узел (с мультипликатором, равным (—1)) 3) бесконечным множеством устойчивых предельных циклов. [c.147]

Теорема. В пространстве гладких векторных полей на области евклидова пространства R" (и на любом п-мерном многообразии) для любого mсистемы Морса—Смейла, а при-закритических — принадлежат Я. [c.152]

Замечание. Явления, прсисходящие на интервале ( (ц), +(ц)), при т>2 совершенно не исследованы при т = 2 значительная информация содержится в работах Шансине (п. 2.3,. гл. 2). Однако и в этом случае, насколько нам известно, не получен ответ на следующий вопрос что происходит в типичном семействе при первой бифуркации, выводящей из множества систем Морса—Смейла [c.152]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...