Теорема Аносова

Доказательство. Каждая замкнутая геодезическая длины t определяет в точности две орбиты периода t геодезического потока. По предложению 5.6.3 и по теореме Аносова 17.6.2 геодезический поток является контактным, следовательно, по теореме 18.3.6 он является топологически перемешивающим. Таким образом, мы можем применить теорему 20.6.9 и получим требуемое утверждение. [c.656]

В литературе уже отмечалась странность этого термина [74]. Для современной эргодической теории подобный аттрактор является, напротив, естественным. Его существование вытекает, в частности, из теоремы Аносова [8] о структурной устойчивости хаоса для динамических систем определенного класса, которые получили позднее название систем Аносова. С другой стороны, упоминаемая ниже фрактальная структура хаотического аттрактора не является универсальной, это может быть, например, и просто тор.— Прим. ред. [c.19]

Теорема Аносова 16.5. Любая У-система (М, (р) структурно устойчива. [c.70]

Теорема Аносова распространяется на У-потоки. [c.72]

Приведенные выше рассуждения распространяются на (7-диффеоморфизмы самого общего вида. Деликатным вопросом является конструкция разбиения, аналогичного разбиению /3, и меры площади слоев. Эту трудность устраняет теорема Аносова [2], которую мы сейчас сформулируем. [c.77]

Приложение 25 Доказательство лемм к теореме Аносова [c.200]

Доказательство лемм к теореме Аносова [c.201]

Так как сказанное выше верно для, найдется слой (3 расслое ния в шаре Bq, который обладает тем же свойством. Так как слои 8 и 3 трансверсальны в Во, существует точка пересечения z = 8 П (3, единственная в е-окрестности центра шара Во- Гомеоморфизм к из теоремы Аносова мы определим, положив к т) = фг. Нетрудно доказать, что все конструкции непрерывно зависят от точки ш следовательно, к — гомеоморфизм. Отношение (р к = к (р очевидно, как и то, что к е-близок к тождественному отображению. [c.207]

Эта теорема (см. [Н, 5.1]) может быть доказана с помощью весьма общей и глубокой теоремы Д. В. Аносова о семействах е-траекторий, упрощенный вариант которой мы сейчас приведем (в полном объеме эту теорему вместе с доказательством и следствиями см. в [8]). [c.212]

Замечание. Из достаточного условия теоремы 5.1.13 следует необходимое условие предложения 5.1.6. В самом деле, если Jf" x) = Л 1 для некоторого X = f"(x), то Jf x) = А" —юо при m —> оо или т —> —оо. Теорема 19.2.7 утверждает, что для определенного класса гладких динамических систем (систем Аносова см. определение 6.4.2 и определение 17.4.2) последнее условие фактически является достаточным для существования положительной инвариантной гладкой меры и, следовательно, из теоремы 5.1.13 вытекает необходимое условие. [c.198]

Сформулируйте и докажите аналог леммы Аносова о замыкании (теорема 6.4.15) для гиперболических отталкивающих множеств (определение 6.4.3). [c.278]

Покажите, что инвариантное множество Л в подкове из п, 2.5 в содержит совершенное подмножество, на котором наше отображение минимально. Выведите отсюда, что периодические точки, существование которых гарантирует лемма Аносова о замыкании (теорема 6.4.15), могут не принадлежать гиперболическому множеству. [c.278]

До сих пор единственными примерами диффеоморфизмов Аносова (определение 6.4.2), с которыми мы встречались, были гиперболические автоморфизмы п-мерного тора ( 1.8) и их возмущения, которые в силу теоремы 2.6.3 и упражнения 2.6.1 топологически сопряжены с линейными моделями. Как уже упоминалось в п. 6.4 а, диффеоморфизмы Аносова являются достаточно специальными объектами. Например, в предложениях [c.542]

Теорема 17.5.1. Геодезический поток на т является потоком Аносова. [c.549]

Теорема 17.6.2. Геодезический поток на компактном римановом многообразии отрицательной секционной кривизны является потоком Аносова. [c.554]

Исключительно важная особенность гиперболических систем состоит в необычайно чувствительной зависимости орбиты от начальных условий. Тем самым возникает проблема извлечения осмысленной информации из приблизительного знания отрезка орбиты. Мы уже видели, что почти периодическая орбита всегда приближается периодическими (лемма Аносова о замыкании, теорема 6.4.15). Теперь посмотрим, как обстоит дело с непериодическими орбитами. [c.566]

Лемма о е-траекториях может быть доказана аналогично доказательству леммы Аносова о замыкании (упражнение 18.1.1), а именно путем перехода к локальным координатам и к последовательности отображений пространства К , близких к гиперболическим линейным отображениям. Мы же получим этот результат как частный случай более общей теоремы 18.1.3. Отметим, что нет никакой гарантии, что приближающая орбита является в каком бы то ни было смысле типичной. Если рассмотреть, например, отображение / ж1- 2ж (тос 1), то любая орбита, получен- [c.566]

Еще одно отличие от доказательства леммы Аносова о замыкании (теорема 6.4.15) состоит в том, что принцип сжатых отображений здесь применяется в бесконечномерном пространстве. [c.568]

Докажите лемму о е-траекториях (теорему 18.1.2), используя метод доказательства леммы Аносова о замыкании (теоремы 6.4.15). [c.571]

Теорема о семействах е-траекторий используется непосредственно, чтобы установить ряд свойств, показывающих, что динамика на гиперболическом множестве устойчива, имеет определенную структуру и, вообще говоря, богата. Прототипом такого результата служит следствие 6.4.19 леммы Аносова о замыкании (теорема 6.4.15). В этом параграфе мы докажем еще два основных результата такого типа. [c.572]

Теорема 18.3.6. Контактные потоки Аносова на связном многообразии являются топологически перемешивающими. [c.577]

Чтобы показать, что приближающая орбита может быть сделана периодической, мы будем считать, что /3 min e/2 , е, 25 /2, где число С вводится так же, как в лемме Аносова о замыкании (теорема 6.4.15), и выберем соответствующее число М так же, как и прежде. Если q М + L(S) — наш период, замкнем 5 путем перехода к спецификации S = (т, Р ), где т = т и а, + д и =Р, Р (а -Ь д) = Р(а,), которая, очевидно, [c.581]

Эта теорема доказывается с помощью леммы Аносова о замыкании для потоков (следствие 18.1.8) и того факта, что неустойчивые многообразия периодических точек плотны, аналогично доказательству теоремы 18.3.9. [c.582]

Теорема 20.4.1. Пусть М —компактное связное гладкое риманово многообразие и f М М — диффеоморфизм Аносова. Тогда f обладает не более чем одной инвариантной гладкой мерой. Если. / обладает инвариантной гладкой мерой А, то f — топологическое перемешивание и мера А равна равновесному состоянию для функции ip = log J / (/( )), где / ))—якобиан в неустойчивом направлении, определенный в следствии. 19.1.13, и, следовательно, f — перемешивающее преобразование по отношению к мере А. Кроме того, KU) = -Wd [>]. [c.638]

Теорема 20.4.6. Предположим, что и — контактные орбитально эквивалентные потоки Аносова на трехмерном многообразии и что периоды соответствуюи их периодических орбит равны. Тогда потоки <р и ф С -сопряжены. [c.643]

Докажите аналог теоремы 20.4.1 для потоков Аносова. [c.643]

Превосходный исторический обзор, касающийся теоремы Адамара — Перрона и связанных с ней вопросов, а также множество ссылок содержатся в 4 книги [16]. Этой теме посвящена чрезвычайно обширная литература, вышедшая как до книги Аносова, так и после нее. [c.727]

Предложени51 3.6 — 3.8, а также свойство спецификации (см, стр. 231) На базисном множестве Й , на котором Л-диффеоморфизм I является перемешивающим, вытекают из теоремы Аносова о семействах е траек-торий (см. [20] и [211). [c.75]

В этой главе мы осуществляем часть программы, сформулированной в 4 введения. Главный принцип нашего анализа состоит в использовании своего рода гиперболичности линеаризованной динамической системы вдоль определенных орбит. Мы покажем, что она порождает аналогичное поведение нелинейной системы вблизи некоторой заданной орбиты (теорема Адамара — Перрона 6.2.8). Комбинация локальной гиперболичности, возникаю-ш,ей в линеаризованной системе, с нетривиальным возвращением, явлением по существу нелинейным, приводит к изобилию периодических орбит (теорема Аносова о замыканни 6.4.15) и порождает богатую и устойчивую во многих отношениях структуру орбит, которая будет далее исследоваться в части 4. [c.243]

Основными источниками являются по У-аиффеоморфизмам работа Аносова [2], по А-диффеоморфиэмам — работа Смейла [14]. Теорему об устойчивых многообразиях для гиперболических множеств докаяалн Хирш и Пью [8] ). Теоремы о сушествовании канонических координат и о спектральном разложении заимствованы из [14]. а часть 3.5, относящаяся к перемешиванию, — из [4]. [c.74]

В этой статье марковские разбиения используются для изучения минимальных множеств диффеоморфизмов, принадлежащих к некоторому классу, введенному Смейлом [9]. В [I] (или [15, ЗС]. — Ре5.) мы построили марковские разбиения базисных множеств 2 диффеоморфизмов f, удовлетворяющих аксиоме А (см. [9]), обобщив метод, примененный Синаем к диффеоморфизмам Аносова ([7], [8], [П]). При помощи этих разбиений удается представить f = f QsKaк факторсистему неприводимой топологической марковской цепи с конечным числом состояний [1, 4] (нли [15, теорема 3.18]. — Ред.) при этом отображение факторизации л эквивариантиым образом сопоставляет точкам некоторые последователь- ности символов. [c.92]

Работа Колмогорова об энтропии положила начало строгому анализу динамических систем в предельном случае, который является обратным условием теоремы KAM, т. е. в случае максимального разрушения инвариантных торов. Развитие этого анализа нашло отражение в работах Аносова, Рохлина п Синая [47 — 51] (см. также обзоры [37 — 39, 52, 53]). Связь A-энтро-пии с различными физическими понятиями и, в том числе, с обычной энтропией рассматривалась Чириковым [24]. [c.33]

Теорема 6.4.15 (лемма Аносова о замыкании). Пусть А — гиперб лическое множество отображения / 11 М. Тогда существуют такс открытая окрестность V Э А и такие числа С, д > О, что для е < и для любой периодической -орбиты (а ,..., х ) С У найдется такс точка у и, что /" (г/) = у и (И51 / у), х ) < Се для к =0,..т I. [c.274]

Можно доказать аналог леммы Аносова о замыкании для потоков, используя отображения Пуанкаре одной трансверсали к псевдоорбите в другую (см. упражнение 17.4.2). Этот же результат можно получить другим способом, из теоремы об е-траекториях для потоков 18.1.7. [c.547]

Также при чтении доказательства полезно вспомнить доказательство леммы Аносова о замыкании (теорема 6.4.15), так как метод этого доказательства подобен используемому здесь. Заметим, что лемма о замыкании представляет собой другой частный случай леммы о е-траекториях, соответствующий/ =/, V = Ъ/пЪ, д(А ) = А - -1 (тос1 п). [c.567]

Мы покажем, что контактные потоки Аносова являются топологически перемешивающими. Этот класс, в частности, включает геодезические потоки на римановых многообразиях отрицательной секционной кривизны (см. п. 5.0 б и теорему 17.6.2). Следующий результат играет важную роль в получении мультипликативной асимптотики роста числа замкнутых геодезических на многообразиях отрицательной секционной кривизны (теорема 20.6.10). [c.577]

В этом параграфе будет показано, что в случае диффеоморфизмов Аносова на торе структурная устойчивость приводит к глобальной классификации. Мы уже видели в 2.6, что в пределах гомотопического класса гиперболического автоморфизма любое отображение / (и, следовательно, любой диффеоморфизм Аносова) имеет линейную модель в качестве фактора. Сначала будет показано, что любой диффеоморфизм Аносова гомотопен линейному гиперболическому. Ключевую роль в доказательстве этого факта играют теорема 18.5.6 и формула Лефшеца (8.6.1). Затем мы докажем, что полусопряжение с линейнои моделью на самом деле инъективно, следовательно, является гомеоморфизмом. В качестве промежуточного результата, представляющего независимый интерес, покажем, что неблуждающее множество совпадает со всем тором. [c.588]

Теорема 18.6.1. Каждый диффеоморфизм Аносова п-мерного тора топологически сопряжен с линейньш. гиперболическим автоморфизмом. [c.588]

Поскольку по теореме 18.6.1 диффеоморфизмы Аносова на торе сопряжены с линейными моделями, для которых отображения голономии гладки, мы получаем еще одно следствие. [c.602]

Этот последний результат на самом деле не зависит ни от наличия условия Аносова, ни от вида многообразия. Любое компактное гиперболическое множество обладает гёльдеровым слоением с тем же самым показателем, который будет получен для касательных распределений в теореме 19.1.6. Так как мы не нуждаемся в этом результате и его детальное доказательство достаточно громоздко, опустим это доказательство [ ]. [c.602]

Аносова о замыкании (теорема 6.4.15) и теорема о спецификации 18.3.9 представляют собой сильные утверждения о плотности, тогда как теоремы 18.5.1 и 18.5.6 показывают, что скорость роста числа периодических орбит отражает полную динамическую сложность гиперболического множества. В этом пункте мы покажем, что решения когомологических уравнений с гёльдеровыми данными на гиперболическом множестве полностью определяются данными на периодических орбитах. Это дает новый метод нахождения решений когомологических уравнений и доказательства их регулярности в дополнение к двум методам решения неподкрученных когомологических уравнений, предложенным в 2.9 (см. также конструкцию патологических кограниц из 12.6). Метод состоит в том, чтобы попросту [c.611]

Теорема 19.2.7. ПустьМ—риманово многообразие с формой объема и f М —у М — -топологически транзитивный диффеоморфизм Аносова. Тогда следуюи ие три условия эквивалентны [c.614]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...