Алгебра фон Неймана

Естественное развитие идей этого параграфа привело бы к введению понятия алгебры фон Неймана ЗЬ 0) открытого множества О. Эта алгебра есть -алгебра ограниченных операторов. Наиболее естественно эти операторы получаются с помощью спектрального разложения эрмитовых элементов. причем берется алгебра, порождаемая их спектральными проекциями. Мы не будем здесь вдаваться в объяснение такого построения. Заметим только, что есть веские основания для убеждения, что изучение алгебр М 0) — стоящее дело. Существуют соображения, в силу которых две теории поля, относящиеся к одному и тому же представлению группы Лоренца, приводят к одной и той же -матрице в том и только в том случае, если их алгебры 5 (0) изоморфны ). Этот факт придает интерес теоремам данного раздела. [c.199]

Стандартную теорему о разделяющих векторах для алгебр фон Неймана можно найти в книге [c.246]

Основные средства алгебраического подхода описаны в гл. 2. В 1 мы излагаем различные аспекты математической теории С -алгебр и алгебр фон Неймана, наиболее часто используемые в физических приложениях. Второй параграф посвящен изучению симметрий и нарушения симметрии. Наиболее важные сведения содержатся в 1, п. 1—3, и в 2, п. 1, 2, 4—6. Читатель, который за недостатком времени лишен возможности проследить за всеми деталями изложения, может ограничиться беглым просмотром 1, п. 4—6, и 2, п. 3 и ознакомиться с 1, п. 7. [c.9]

Доказательство. Неприводимость представления я (8 ) означает, что в я (3 ) имеются лишь два оператора проектирования О и /. Поскольку же алгебра фон Неймана порождается своими операторами проектирования (теорема 9), это эквивалентно тому, что я (8 ) = Я/ . I [c.112]

В п. 2 мы уже встречались с понятием алгебры фон Неймана п(Ш)", порожденной представлением я Ш —> 58 (3ii) С -алгебры Щ. Такая конструкция оказывается очень полезной при исследовании представлений С -алгебр. Ниже мы хотим остановиться на тех свойствах алгебр фон Неймана, которые, насколько можно судить, имеют наиболее важное значение в теории представлений. [c.145]

Пусть заданы комплексное гильбертово пространство Ж и С -алгебра 33 (Ж) всех ограниченных операторов на Ж, снабженная обычными алгебраическими операциями, операторной нормой и инволюцией (в качестве последней мы будем рассматривать операцию сопряжения). Алгеброй фон Неймана Я называется -подалгебра алгебры 33 (Ж), такая, что = В явном виде условия, налагаемые на алгебру фон Неймана, означают, что [c.145]

Абстрактно алгебру фон Неймана можно определить следующим образом [347] 1 -алгебра есть С -алгебра, двойственная некоторому банахову пространству. Можно показать, что всякая 1 -алгебра обладает точным представлением как алгебра фон Неймана, определенная на некотором гильбертовом пространстве. Но сколь ни изящен такой подход к алгебрам фон Неймана с математической точки зрения, он почти не допускает прямой физической интерпретации, и в дальнейшем мы не будем использовать его. [c.146]

Теперь у нас уже есть все необходимое и мы можем приступить к изучению алгебр фон Неймана, начав со следующей теоремы [c.148]

Чтобы доказать включение Ш Е 0", предположим сначала, что элемент А = А принадлежит Пусть 2) —алгебра фон Неймана, порожденная элементом А Ш = А " 9 " = Пусть [c.148]

В некотором смысле теорема 9 указывает на то, что алгебра фон Неймана порождается как своими операторами проектирования, так и своими унитарными элементами. Точнее данное утверждение сформулировано в теореме 10. Рассмотрим произвольное подмножество Ж в Ъ[Ж). Обозначим через Ъ Ж) алгебру, порожденную из элементов подмножества Ж взятием всех конечных линейных комбинаций и всех конечных произведений элементов из Ж Vi Ж = М Ш Ж). Из доказательства теоремы 9 мы видим, что ( ) = 9 , вследствие чего в смысле теории -алгебр множество 9 действительно порождено своими унитарными элементами. В общем случае ситуация с не столь проста [117]. Но имеется один общий результат, который мы хотели бы отметить (см. примечание к теореме 10). Для этого сначала кратко перечислим некоторые топологические свойства алгебры 33(3ii). [c.149]

Как показывает следующая лемма, рассмотренные нами топологии имеют прямое отношение к изучению алгебр фон Неймана. [c.151]

Эти аксиомы заменяют топологические аксиомы, сформулированные в гл. 1, 2. Их можно рассматривать как обобщение понятия алгебры фон Неймана по крайней мере в двух аспектах. Во-первых, они относятся к абстрактной структуре, не содержащей никаких указаний относительно реализации ее как алгебры операторов, действующих на гильбертовом пространстве. Во-вторых, в формулировке этих аксиом не встречается эквивалент обычного произведения АВ, а фигурирует лишь (имеющее лишь физический смысл) симметризованное произведение А°В. На основании лишь этой структуры, по-видимому, правильно передающей основные черты алгебр фон Неймана, сам фон Нейман [438] сумел вывести большинство резуль- [c.153]

Пусть — алгебра фон Неймана. Мы видели, что можно рассматривать как -подалгебру алгебры 23(5 ). Пусть 9 -мно-жество, двойственное к Ш, т. е. множество всех линейных функционалов ф 9 - С, непрерывных относительно топологии, индуцированной на 9 нормой (п.4). [c.154]

Известно очень много разных видов, в которых встречаются С -алгебры и их представления как алгебр операторов, действующих в гильбертовом пространстве, и в частности алгебр фон Неймана. Замечательная классификация алгебр фон Неймана, в которой последние подразделяются на непересекающиеся типы, была разработана на раннем этапе развития теории Мюрреем и фон Нейманом [282] для частного случая факторов . Классификация Мюррея и фон Неймана полна в том смысле, что любой фактор с необходимостью приводит лишь к одному типу алгебр. Эта классификация основана на свойствах области значений функции размерности , которая представляет собой обобщение обычного понятия следа в случае операторов проектирования рассматриваемой алгебры фон Неймана ) На основе обобщенного понятия следа, которое мы введем в дальнейшем, была предпринята попытка расширить классификацию факторов до классификации общих алгебр фон Неймана. Типы полученных при этом общих алгебр фон Неймана в случае факторов совпадают с типами Мюррея и фон Неймана. Новые типы алгебр также не пересекаются. Однако в отличие от случая факторов новая классификация не является исчерпывающей, т. е. общая алгебра фон Неймана не обязательно принадлежит одному из типов. Тем не менее такая классификация представляет определенный интерес, поскольку позволяет всегда осуществлять каноническое разложение произволь- [c.165]

Данный пункт параграфа строится следующим образом. Сначала мы кратко рассмотрим наиболее существенные свойства операции взятия следа на Ъ(Ж). Затем мы определим абстрактное понятие следа на С -алгебре и на его основе проведем классификацию алгебр фон Неймана. После этого мы рассмотрим частный случай факторов и в заключение проведем классификацию представлений С -алгебр, обращая особое внимание на интерпретацию представлений с точки зрения состояний, порождающих интересующее нас представление. В конце пункта мы приводим несколько примеров, которые позднее рассмотрим еще более подробно. Эти примеры призваны показать, что возможна определенная физическая интерпретация математической классификации представлений. [c.165]

Если, кроме того, 9 —алгебра фон Неймана, то в качестве аксиом, определяющих понятие следа, мы можем выбрать свойства 0—2 и 3, где и теперь пробегает множество унитарных элементов в 9I (оба выбора аксиом эквивалентны [77, гл. 1, 6, п. 1, теорема 1, следствие 1]). След на алгебре фон Неймана называется нормальным, если он обладает свойством 6, где 2)i = R+. В случае нормальных следов на алгебре фон Неймана условия 5 и 5 эквивалентны [79, приложение А.28]. [c.168]

Пусть 9I—алгебра фон Неймана, а Р —оператор проектирования в 9I. Обозначим через 31р алгебру фон Неймана, получающуюся при сужении алгебры 9I на подпространство Р Ж), устойчивое относительно 9I. [c.168]

Лемма. Пусть Ш —алгебра фон Неймана. Тогда в центре 9I 9I алгебры 9I существует оператор проектирования F, такой, что [c.168]

Эти два свойства (справедливые при всех N 1) являются определяющими свойствами алгебр фон Неймана. Мы скажем, что бикоммутант я(3 )" является алгеброй фон Неймана, пора- [c.111]

Поясним сказанное на нескольких примерах. Тривиальными примерами алгебр фон Неймана служат множества Я/ и Ъ Ж). Заметим, что оба эти множества являются в то же время С -алгебрами. Естественно возникает вопрос, всякая ли алгебра фон Неймана является некоторой С -алгеброй, т. е. С -под-алгеброй алгебры 33 (Ж) гильбертова пространства, на котором определена алгебра фон Неймана. Мы увидим, что ответ на этот вопрос положителен, а поэтому алгебры фон Неймана можно рассматривать как частные типы С -алгебр и переносить на них все теоремы, ранее доказанные для С -алгебр. Обратное утверждение неверно. Рассмотрим, например, С -подалгебру 21 алгебры 33(Ж), состоящую из всех компактных операторов. Ее бикоммутант 21" совпадает с 33 (Ж), вследствие чего 21 содержится как собственное подмножество в 21", если пространство Ж бесконечномерно. В этой связи мы хотели бы отметить [75, 350, 440], что объект 51 , двойственный двойственному объекту алгебры 21, изоморфен как банахово пространство множеству 33(Ж). Это обстоятельство не случайно и в действительности служит лищь иллюстрацией к весьма общей теореме, которая, как мы увидим в дальнейшем, позволяет нам каноническим образом сопоставлять всякой абстрактной С -алгебре некоторую алгебру фон Неймана, [c.145]

Общие исследования алгебр фон Неймана читатель н дет в работах Диксмье [77 79, приложение А], Сакаи [347] или Шварца [353]. [c.146]

Теорема 9. Пусть 31 — алгебра фон Неймана. Обозначим через 0 множество всех операторов проект и ровония на Ш, а через 41 — множество всех унитарных операторов на 9 . Тогда, 5 = д>" = сц". [c.148]

Примечания. Всякая алгебра фон Неймана 3 содержит тождественный оператор и, стало быть, удовлетворяет предположению теоремы. Так как, по определению, = мы на основании теоремы заключаем, что алгебра фон Неймана Ш замкнута относительно слабой операторной топологии и, следовательно, относительно любой из пяти топологий, введенных выше на Зд Ж). В частности, любая алгебра фон Неймана замкнута относительно сильной топологии, индуцированной нормой, и является С -алгеброй. На основании только что доказанной теоремы мы заключаем также, что всякая -подалгебра алгебры 23( ), содержащая тождественный оператор и замкнутая относительно слабой операторной топологии (сильной операторной топологии, ультраслабой топологии или ультрасильной топологии), есть алгебра фон Неймана. Итак, мы имеем ряд альтернативных определений алгебры фон Неймана. Заметим далее, что если VI — алгебра фон Неймана, — множество всех ее операторов проектирования и ( ) — множество, порожденное [c.152]

Теоремы 9 и 10, а также отмеченные нами следствия (в частности, утверждение о том, что всякая алгебра фон Неймана, наделенная слабой операторной топологией, порождается своими операторами проектирования) служат краеугольными камнями многих приложений алгебр фон Неймана. В связи с тем что нас интересует проблема аксиоматической формулировки квантовой теории, заметим, что фон Нейман [438] исходил из абстрактной йордановой алгебры с дистрибутивным симметризованным произведением А о В и пытался воспроизвести основные свойства слабой операторной топологии при помощи топологии т, удовлетворяющей следующим аксиомам [c.153]

Итак, мы видим, что всякая алгебра фон Неймана 92 есть С -алгебра. Последняя как банахово пространство двойственна некоторому банахову пространству (а именно банахову пространству 92, всех ультраслабых непрерывных функционалов на 92). Таким образом, 92 есть 1 -алгебра. Множество 92, называется множеством, преддвойс твенным множеству 92. [c.156]

Интересной иллюстрацией перечисленных лемм может служить алгебра фон Неймана Ъ Ж) ). Обозначим через Ъ Щ множество всех операторов конечного ранга, действующих в Ъ Ж). Они образуют -подалгебру в Ъ Ж). Равномерное замыкание Ъ Щ представляет собой С -алгебру % Ж) всех компактных операторов в 93 ( ) и является двусторонним замкнутым -идеалом алгебры Ъ Ш). Введем в рассмотрение множество Й Ж) всех операторов Гильберта — Шмидта на Л е й Ж) в том и только в том случае, еслиЗр Л Л < оо. Нетрудно убедиться, что % М)< Ж) с.% Ж) и й( ) — банахова -алгебра относительно нормы ЛЦ =(5рЛ Л) ". В этой норме скалярное произведение принимает вид (Л, В) = 5рЛ Б и, стало быть, 2 Ж) —алгебра Гильберта ). Пространство Ж) есть замыкание множества % Ж) по норме . .. Ц , Гильберта — Шмидта. [c.156]

Теорема 11. Пусть есть С -алгебра, я -> й— ее универсальное представление, = я (Я)" — ее универсальная обертывающая алгебра фон Неймана, Ш или Э ) — множество, двойственное или дважды двойственное) алгебре <2 — множество всех состояний на — множество всех нормальных состояний на Э " и Ш — множество, преддвойственное множеству Ш". Тогда [c.160]

Понятие универсальной обертывающей алгебры фон Неймана 0i" С -алгебры 0i тесно связано с понятием квазиэквивалентности представлений алгебры Ш, к обсуждению которого мы сейчас перейдем. Рассмотрим два представления 0i- 93 (г=1, 2) С -алгебры 9i. Пусть — единственное ультраслабо непрерывное расширение отображения на 31". Как мы только что видели, я,- (0i") = Я (9i)". Два представления Я и Яг С -алгебры называются квазиэквивалентными, если существует -изоморфизм а, действующий из Я Щ" в Яг (3i)" и такой, что я2(р)=ая, (Р) для всех Из последнего условия [c.161]

Итак, выше нам встретились три типа эквивалентности представлений С -алгебры, а именно унитарная (т. е. пространственная) эквивалентность, квазиэквивалентность и физическая эквивалентность. Они перечислены в таком порядке, что каждая из них следует из предыдущей. В случае неприводимых представлений унитарная эквивалентность совпадает с квазиэквивалентностью, в случае алгебр фон Неймана совпадают понятия квазиэквивалентности и физической эквивалентности. Мы указали физические критерии каждого из перечисленных типов эквивалентности, относящиеся к состояниям, ассоциированным с рассматриваемыми представлениями. [c.164]

Алгебра фон Неймана 9 называется конечной, если для всякого ненулевого элемента Л е ЗХ существует конечный нормальный след г] на 9 +, такой, что (iIj Л) ф 0. Например, алгебра фон Неймана S Ж) конечна, если пространство Ж конечномерно. Поскольку всякий вектор состояния на абелевой алгебре фон Неймана 9I тривиально удовлетворяет условию 3, его можно рассматривать как след на 9I. Такой след конечен, ультраслабо непрерывен и, следовательно, нормален. Отсюда мы заключаем, что всякая абелева алгебра фон Неймана конечна. Алгебра фон Неймана, не являющаяся конечной, называется бесконечной. В частности, алгебра фон Неймана называется собственно бесконечной, если ф = О — единственный конечный нормальный след на 91+. На основании свойства 3 мы заключаем, что алгебра фон Неймана Ж) собственно бесконечна, если пространство Ж бесконечномерно. [c.168]

Смотреть страницы где упоминается термин Алгебра фон Неймана : [c.60] [c.235] [c.24] [c.726] [c.112] [c.145] [c.153] [c.154] [c.157] [c.158] [c.158] [c.159] [c.160] [c.161] [c.162] [c.162] [c.165] [c.166] [c.167] [c.167] [c.168]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...