Конечная алгебра фон Неймана

В некотором смысле теорема 9 указывает на то, что алгебра фон Неймана порождается как своими операторами проектирования, так и своими унитарными элементами. Точнее данное утверждение сформулировано в теореме 10. Рассмотрим произвольное подмножество Ж в Ъ[Ж). Обозначим через Ъ Ж) алгебру, порожденную из элементов подмножества Ж взятием всех конечных линейных комбинаций и всех конечных произведений элементов из Ж Vi Ж = М Ш Ж). Из доказательства теоремы 9 мы видим, что ( ) = 9 , вследствие чего в смысле теории -алгебр множество 9 действительно порождено своими унитарными элементами. В общем случае ситуация с не столь проста [117]. Но имеется один общий результат, который мы хотели бы отметить (см. примечание к теореме 10). Для этого сначала кратко перечислим некоторые топологические свойства алгебры 33(3ii). [c.149]

Оператор проектирования Р из алгебры фон Неймана называется конечным, если из соотнощений Q 3l, QM s РЖ и Q P (mod 31) следует равенство Р = Q. Нетрудно видеть [77, гл. 3, 2, п. 3, предложение 4], что если множество 31р конечно (как алгебра фон Неймана), то оператор проектирования Р конечен в указанном выще смысле. Обратное утверждение также верно, хотя доказывается гораздо сложнее [77, гл. 3, 8, п. 6, следствие 1]. Оператор проектирования называется бесконечным, если он не конечен. [c.173]

Оператор проектирования Р из алгебры фон Неймана называется минимальным (другие названия точка или атом), если Р ФО п если из того, что Q е 9 , причем Q<3 S РЖ, следует , что оператор проектирования Q совпадает либо с О, либо с Р. Из изложенной выше классификации факторов, а также из общих свойств относительной размерности ясно, что фактор допускает минимальные операторы проектирования в том и только в том случае, если он дискретен. Кстати сказать, это утверждение остается в силе [77, гл. 1, 8, п. 3, следствие 1] для общих алгебр фон Неймана. Данное обстоятельство свидетельствует о серьезном недостатке тех подходов, использующих исчисление высказываний, которые основаны на предположении о существовании минимальных операторов проектирования. Для физика может представить интерес тот факт, что еще фон Нейман высказывал (хотя, насколько можно судить, и без достаточных оснований) предположение о том, что в физике могут встретиться факторы не только типа I, но и других типов. Фон Нейман считал особенно вероятным появление факторов типа П,, указывая на то, что на этих факторах (так же, как и на факторах типа 1 ) существует относительная размерность, нормированная к 1. Следовательно, на множестве всех операторов проектирования факторов типа П можно ввести определение конечной равномерной априорной вероятности. Как мы увидим позднее, другие факторы действительно встречаются в различных конкретных физических моделях. [c.176]

Результат 4. Всякий С -автоморфизм а конечной или дискретной) алгебры фон Неймана 31, такой, что а[1] = 1 для всех 7 из центра 3 алгебры 31, унитарен или осуществляется некоторым унитарным элементом 7 из 3 ). [c.204]

Второе различие между нашими аксиомами и аксиомами Йордана, фон Неймана и Вигнера заключается в том, что мы не требуем существования в 91 конечного линейного базиса. Предположение о конечном базисе представляет собой весьма сильное ограничение и должно быть отброшено в любой общей теории, поскольку исключает всякую обычную квантовую теорию, формулируемую для бесконечномерного гильбертова пространства (например, описание квантовой частицы, движущейся вдоль действительной прямой ). Математическое упрощение, достигаемое введением такого ограничения, состоит в том, что тогда можно анализировать свойства алгебры 91, не используя в явном виде топологические понятия. В частности, Йордан, фон Нейман и Вигнер, исходя из своих аксиом, сумели доказать два важных результата, что само по себе свидетельствует о мощи избранного ими подхода. Первый из этих результатов заключался в возможности полного построения спектральной теории, второй — в проведении полной классификации всех реализаций аксиом Йордана, фон Неймана и Вигнера. [c.67]

Второй из результатов Йордана, фон Неймана и Вигнера, который мы хотели бы отметить, — это классификация всех реализаций предложенных ими аксиом. Для изложения этой классификации нам понадобятся некоторые предварительные определения. Говорят, что подпространства 23 и пространства 21 ортогональны, если 93о =0. Пространство 91 называется прямой суммой двух своих ортогональных подпространств (например, 23 и Щ, если каждый элемент Л е 51 можно однозначно представить в виде Л = В + С, где В е 23 и Се . Алгебра 51 простая, если она не содержит собственного идеала, т. е. собственного подпространства такого, что 91 о Опираясь на то обстоятельство, что их алгебры г-чисел обладают конечным линейным базисом, Йордан, фон Нейман и Вигнер доказали следующую лемму [c.68]

Сформулировав все эти определения, вернемся к С -алгебре КПС для рассмотренного выше пространства пробных функций Обозначим через одномерное комплексное подпространство пространства < с, порожденное базисным вектором б/. Пользуясь теоремой фон Неймана, можно показать, что для любого подпространства Рс пространства ё с, натянутого на еу е/ , где / — любое конечное подмножество множества целых положительных чисел выполняется соотнощение [c.331]

Алгебра фон Неймана 9 называется конечной, если для всякого ненулевого элемента Л е ЗХ существует конечный нормальный след г] на 9 +, такой, что (iIj Л) ф 0. Например, алгебра фон Неймана S Ж) конечна, если пространство Ж конечномерно. Поскольку всякий вектор состояния на абелевой алгебре фон Неймана 9I тривиально удовлетворяет условию 3, его можно рассматривать как след на 9I. Такой след конечен, ультраслабо непрерывен и, следовательно, нормален. Отсюда мы заключаем, что всякая абелева алгебра фон Неймана конечна. Алгебра фон Неймана, не являющаяся конечной, называется бесконечной. В частности, алгебра фон Неймана называется собственно бесконечной, если ф = О — единственный конечный нормальный след на 91+. На основании свойства 3 мы заключаем, что алгебра фон Неймана Ж) собственно бесконечна, если пространство Ж бесконечномерно. [c.168]

Интересной иллюстрацией перечисленных лемм может служить алгебра фон Неймана Ъ Ж) ). Обозначим через Ъ Щ множество всех операторов конечного ранга, действующих в Ъ Ж). Они образуют -подалгебру в Ъ Ж). Равномерное замыкание Ъ Щ представляет собой С -алгебру % Ж) всех компактных операторов в 93 ( ) и является двусторонним замкнутым -идеалом алгебры Ъ Ш). Введем в рассмотрение множество Й Ж) всех операторов Гильберта — Шмидта на Л е й Ж) в том и только в том случае, еслиЗр Л Л < оо. Нетрудно убедиться, что % М)< Ж) с.% Ж) и й( ) — банахова -алгебра относительно нормы ЛЦ =(5рЛ Л) ". В этой норме скалярное произведение принимает вид (Л, В) = 5рЛ Б и, стало быть, 2 Ж) —алгебра Гильберта ). Пространство Ж) есть замыкание множества % Ж) по норме . .. Ц , Гильберта — Шмидта. [c.156]

Прежде всего мы обнаружим, что алгебры типа I допускают дальнейшее разложение на два взаимно непересекающихся класса класс конечных алгебр (обозначаемых через 1 , где < оо) и класс собственно бесконечных алгебр (обозначаемых через 1 ). Точно так же алгебры фон Неймана типа II могут быть разложены на два непересекающихся класса класс конечных алгебр и класс собственно бесконечных алгебр. Первый из этих классов называется типом IIj, а второй — гагаож П . Соответственно этому оператор проектирования Ец разлагается в сумму двух ортогональных операторов проектирования 5ц (1) и Ец (оо) — наибольших операторов проектирования Е в W, обладающих тем свойством, что алгебра фон Неймана в первом случае непрерывна и конечна, а во втором непрерывна и собственно бесконечна. На этом мы закончим классификацию общих алгебр фон Неймана. Все сказанное можно обобщить в следующей теореме [c.171]

BE = ЕВ — В.Ъ обоих случаях алгебра 31 наследует от алгебры 31 следующие свойства а) полуконечна б) чисто бесконечна (т. е. алгебра фон Неймана типа III) в) дискретна (т. е. алгебра фон Неймана типа I) г) 31 непрерывна д) 31 — алгебра фон Неймана типа II е) 3 g конечна и ж) 31 — алгебра фон Неймана типа П]. Доказательство см. в работе Диксмье [77] (доказательства утверждений а и е — гл. 1, 6, п. 8, предложение 11 утверждения б гл. 1, 6, п. 8, следствие 4 утверждений в и г — гл. 1, 8, п. 3, предложение 4). Утверждение д следует из утверждений а и г . Утверждение ж следует из утверждений д и е . Теми же свойствами (кроме двух последних свойств, не имеющих места в общем случае) обладает и коммутант 31. Доказательство см. в работе Диксмье [77] (в частности, утверждение а доказано в гл. 1, 6, п. 8, следствие 1 утверждение 6 — в гл. I, 6, п. 8, следствие 3 утверждение в — в гл. 1, 8, Н,. 2, теорема 1 утверждение г — в гл. 1, 8, п. 2, следствие 1). Утверждение д следует из утверждений а и г . Заметим, однако, что утверждение е и, следовательно, утверждение ж остаются в силе для коммутанта 31, если существует конечный набор Wi,..., W элементов из Ж, циклических относительно 31 [77, гл. 2, 2, упражнение 2]. [c.172]

Теперь мы уже можем пояснить происхождение терминологии, используемой в классификации алгебр фон Неймана. Мюррей и фон Нейман классифицировали факторы по свойствам области значений относительной размерности, допускаемой этими факторами дискретные (1 , 1 ) или непрерывные (III, П , III), конечные (1 , П,) или бесконечные (т. е. собственно бесконечные) (1 , III), полуконечные (1 , 1 , IIi, П ) или чисто бесконечные (III). [c.176]

Примечание. Из результата 7 вытекает ряд интересных следствий, на которых мы сейчас кратко остановимся. Прежде всего напомним, что если Ш — алгебра фон Неймана типа III, то и ее коммутант (стр. 171) также является алгеброй фон Неймана типа III. Отсюда мы заключаем, что множество 9 " чисто и, следовательно, собственно бесконечно. Таким образом, из результата 7 следует, что всякий С -автоморфизм алгебры фон Неймана типа III унитарен, если он оставляет инвариантными все элементы центра алгебры 3- Последнее условие можно отбросить, если считать, что алгебра фон Неймана типа III действует в сепарабельном гильбертовом пространстве [77, гл. 3, 8, п. 6, следствие 7 79, приложение А, результат 51]. В любом случае условие относительно действия автоморфизма на центр алгебры становится излишним, если алгебра является фактором. Таким образом, всякий С -автоморфизм фактора типа III унитарен. В случае факторов типа ситуация не столь проста. Предположим, что Ш есть фактор типа П . Потребуем дополнительно, чтобы в Ж существовало конечное множество М, разделяющее для 3i. Тогда [77, гл. 1, 1, п. 4, предложение 5 и следствие] М —конечное циклическое множество для iR. Поскольку Ш есть фактор, его коммутант Ш также есть фактор, который либо конечен, либо собственно бесконечен. Но если бы коммутант Ш был бесконечен, то фактор 97 также был бы бесконечен, поскольку для 9 существует конечное циклическое множество (стр. 171), а это противоречило бы предположению. Итак, наше дополнительное условие достаточно для того, чтобы коммутант 91 был собственно бесконечным, и мы можем заключить, что всякий С -автоморфизм фактора типа П , допускающего конечное разделяющее множество, унитарен. Предположение о том, что 97 есть фактор, как видно из леммы иа стр. 168, не является существенным. Действительно, эта лемма утверждает, что в центре алгебры фон Неймана Шгл Ш существует оператор проектирования Е, такой, что коммутант We конечен, а коммутант 9i/ собственно бесконечен. Кроме того, мы видим, что множество ЕМ циклично в ЕЖ относительно W и, следовательно, относительно Ш е. Таким образом, алгебра фон Неймана Ше=Ше= 31 е) конечна. Поскольку элемент Е принад-лел<ит центру алгебры 9i, мы, пользуясь той же леммой, заключаем, что где (/ —f) — наибольший оператор проектирования из центра алгебры фон Неймана 97, такой, что алгебра фон Неймана 97(/ Р) собственно бесконечна. Но так как алгебра 9i собственно бесконечна по предположению, мы имеем F = I я, следовательно, = 0, т. е. коммутант 97 собственно бесконечен. Итак, мы видим, что требование в результате 7, а именно требование собственно-бесконечности коммутанта 91, можно заменить требованием собственно-бесконечности самой алгебры фон [c.206]

Во-первых, на протяжении данного пункта мы исходили из предположения о том, что эволюцию во времени бесконечной системы можно рассматривать ак непрерывную группу автоморфизмов алгебры Я. Подобное допущение отнюдь не тривиально, поскольку эволюция во времени бесконечной системы определяется предельным переходом от конечной системы, для которой можно определить гамильтониан, и, таким образом, допускает прямую физическую интерпретацию. Если сказать несколько иначе, то проблема сводится к тому, чтобы вычислить термодинамический предел способом, не приводящим к противоречию с динамикой. Такой непротиворечивости удается легко достичь для довольно широкого класса нетривиальных квантовых решеточных систем (гл. 4, 2, п. I), где, как было показано, эволюция во времени оказывается именно тем автоморфизмом С -алгебры Я, который нам хотелось бы связать с бесконечными системами. Но вообще говоря это не так. Например, недавно было доказано [70, 446], что эволюцию во времени бесконечного свободного бозе-газа нельзя рассматривать как автоморфизм С -алгебры Я, но можно рассматривать как автоморфизм алгебры фон Неймана, порожденной представлением, которое ассоциировано с состоянием Гиббса (при температуре выше критической). Так же обстоит дело в модели БКШ [70] ) и в классе обобщенных моделей Вейсса для ферро- и антиферромагнетизма [104]. В последнем случае эволюция во времени, определенная для каждой фазы в отдельности, согласуется с эволюцией во времени, определенной для состояния Гиббса, образованного фазами. Во всех этих случаях удалось сформулировать соответствующие обобщения условия КМШ и добиться обобщения большей части результатов, изложенных в данном пункте, в частности теоремы 9 о коммутанте. [c.274]

Из принятой нами формы канонического перестановочного соотношения следует, что всякое конечное произведение членов вида и (а,) У (Ь ) можно представить в виде и а)У (Ь). Поэтому 2В, есть -алгебра с единицей, сильное замыкание которой совпадает с 2Б". Отсюда мы можем заключить, что в Ш" существует счетное всюду плотное семейство элементов, а именно 2Во-КИМ образом, алгебра фон Неймана ЗВ" сепарабельна в сильной операторной топологии. Если представление и а), ]/ Ь) а, е неприводимо, то каждый вектор Ф евЖ цикличен относительно 2В" и, следовательно, относительно ЗВо- Поскольку же [c.297]

Теорема 13. Пусть — произвольная алгебоа фон Неймана. Тогда существует разбиение единицы на пять операторов проектирования Elin), 1(00), ii(l), ii(oo) принадлежащих Ш Ш, таких, что сужение алгебры 91 на соответствующие подпространства является алгеброй Неймана типа 1 дискретная конечная), типа 1 дискретная, собственно бесконечная), типа IIj непрерывная, конечная), типа непрерывная, собственно бесконечная) и типа III чисто бесконечная). [c.171]

Введение. Сначала мы рассмотрим различные формулировки канонических перестановочных соотношений для систем с конечным числом степеней свободы и проанализируем физический смысл формы Вейля КПС, Мы приведем теорему фон Неймана, но доказательство ее будет дано позже в этом же параграфе. Затем мы дадим определение общей С -алгебры канонических перестановочных соотношений. При этом мы введем математическое понятие С -индуктивного предела С -алгебр, которое будет играть главную роль в следующей главе. Пользуясь конструкцией ГНС, мы докажем теорему относительно общей структуры представлений этой алгебры и как частный случай докажем теорему фон Неймана. Каждую из двух частей теоремы Хаага мы подробно рассмотрим в отдельности. Затем, построив некоторые специальные представления, мы проиллюстрируем теорему об общей структуре представлений КПС. Кроме того, будут сделаны некоторые замечания относительно выбора пространства пробных функций, ассоциировано-ного с данным представлением. В заключение мы укажем пределы применимости некоторых представлений, которые использовались в качестве примеров. [c.290]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...