Непрерывная алгебра фон Неймана

Пусть — алгебра фон Неймана. Мы видели, что можно рассматривать как -подалгебру алгебры 23(5 ). Пусть 9 -мно-жество, двойственное к Ш, т. е. множество всех линейных функционалов ф 9 - С, непрерывных относительно топологии, индуцированной на 9 нормой (п.4). [c.154]

Оператор проектирования ni — наибольший оператор проектирования в такой, что алгебра фон Неймана 3 непрерывна. [c.170]

Итак, мы видим, что всякая алгебра фон Неймана 92 есть С -алгебра. Последняя как банахово пространство двойственна некоторому банахову пространству (а именно банахову пространству 92, всех ультраслабых непрерывных функционалов на 92). Таким образом, 92 есть 1 -алгебра. Множество 92, называется множеством, преддвойс твенным множеству 92. [c.156]

Понятие универсальной обертывающей алгебры фон Неймана 0i" С -алгебры 0i тесно связано с понятием квазиэквивалентности представлений алгебры Ш, к обсуждению которого мы сейчас перейдем. Рассмотрим два представления 0i- 93 (г=1, 2) С -алгебры 9i. Пусть — единственное ультраслабо непрерывное расширение отображения на 31". Как мы только что видели, я,- (0i") = Я (9i)". Два представления Я и Яг С -алгебры называются квазиэквивалентными, если существует -изоморфизм а, действующий из Я Щ" в Яг (3i)" и такой, что я2(р)=ая, (Р) для всех Из последнего условия [c.161]

Алгебра фон Неймана 9 называется алгеброй фон Неймана типа I (или дискретной), если она изоморфна алгебре фон Неймана ак с абелевым коммутантом. Поскольку коммутант Зй абелев, он конечен и, стало быть, полуконечен. Такими же свойствами обладает и коммутант коммутанта Ш" = Зй. Следовательно, алгебра фон Неймана типа I полуконечна. Алгебра фон Неймана называется непрерывной, если в ее центре не существует оператора проектирования Р, такого, что Р фО н алгебра фон Неймана З р дискретна. [c.169]

Поскольку i iii = 0, при Ящ = / мы приходим к равенству E — 0, т. е. I — Ei = I. Иначе говоря, всякая чисто бесконечная алгебра фон Неймана непрерывна. Если бы в приведенном выше рассуждении мы поменяли ролями и Ещ, то, очевидно, получили бы уже известный результат, а именно мы установили бы, что всякая дискретная алгебра фон Неймана полуконечна. [c.170]

I — iii] — наибольший оператор проектирования в ytr W, такой, что алгебра фон Неймана полуконечна и непрерывна. [c.170]

На этом основании можно дать следующие определения. Мы скажем, что алгебра фон Неймана относится к runt/ II, если она полуконечна и непрерывна, и к типу III, если она чисто бесконечна (и, следовательно, непрерывна). Из приведенной выше структуры видно, что алгебра фон Неймана может принадлежать самое большее одному из трех типов (I, II и III) и что произвольную алгебру фон Неймана можно каноническим образом разложить в сумму трех алгебр фон Неймана [c.170]

Прежде всего мы обнаружим, что алгебры типа I допускают дальнейшее разложение на два взаимно непересекающихся класса класс конечных алгебр (обозначаемых через 1 , где < оо) и класс собственно бесконечных алгебр (обозначаемых через 1 ). Точно так же алгебры фон Неймана типа II могут быть разложены на два непересекающихся класса класс конечных алгебр и класс собственно бесконечных алгебр. Первый из этих классов называется типом IIj, а второй — гагаож П . Соответственно этому оператор проектирования Ец разлагается в сумму двух ортогональных операторов проектирования 5ц (1) и Ец (оо) — наибольших операторов проектирования Е в W, обладающих тем свойством, что алгебра фон Неймана в первом случае непрерывна и конечна, а во втором непрерывна и собственно бесконечна. На этом мы закончим классификацию общих алгебр фон Неймана. Все сказанное можно обобщить в следующей теореме [c.171]

BE = ЕВ — В.Ъ обоих случаях алгебра 31 наследует от алгебры 31 следующие свойства а) полуконечна б) чисто бесконечна (т. е. алгебра фон Неймана типа III) в) дискретна (т. е. алгебра фон Неймана типа I) г) 31 непрерывна д) 31 — алгебра фон Неймана типа II е) 3 g конечна и ж) 31 — алгебра фон Неймана типа П]. Доказательство см. в работе Диксмье [77] (доказательства утверждений а и е — гл. 1, 6, п. 8, предложение 11 утверждения б гл. 1, 6, п. 8, следствие 4 утверждений в и г — гл. 1, 8, п. 3, предложение 4). Утверждение д следует из утверждений а и г . Утверждение ж следует из утверждений д и е . Теми же свойствами (кроме двух последних свойств, не имеющих места в общем случае) обладает и коммутант 31. Доказательство см. в работе Диксмье [77] (в частности, утверждение а доказано в гл. 1, 6, п. 8, следствие 1 утверждение 6 — в гл. I, 6, п. 8, следствие 3 утверждение в — в гл. 1, 8, Н,. 2, теорема 1 утверждение г — в гл. 1, 8, п. 2, следствие 1). Утверждение д следует из утверждений а и г . Заметим, однако, что утверждение е и, следовательно, утверждение ж остаются в силе для коммутанта 31, если существует конечный набор Wi,..., W элементов из Ж, циклических относительно 31 [77, гл. 2, 2, упражнение 2]. [c.172]

Теперь мы уже можем пояснить происхождение терминологии, используемой в классификации алгебр фон Неймана. Мюррей и фон Нейман классифицировали факторы по свойствам области значений относительной размерности, допускаемой этими факторами дискретные (1 , 1 ) или непрерывные (III, П , III), конечные (1 , П,) или бесконечные (т. е. собственно бесконечные) (1 , III), полуконечные (1 , 1 , IIi, П ) или чисто бесконечные (III). [c.176]

Поскольку отображение V биективно, для каждого самосопряженного элемента ЛеШ" существует самосопряженный элемент В Ш", такой, что у (В] = V [Л] v [Л ]. Поскольку же отображение (X, обратное отображению V, существует и обладает теми же свойствами, мы заключаем из этого неравенства, что В < Л2. В то же время В = ц [V [Л] ] > (ц [V [ Л]]) = Комбинируя эти два неравенства, мы получаем, что В= и, следовательно, V [Л] = V [В] = V [Л ]. Поскольку отображение V линейно, оно, таким образом, является йордановым автоморфизмом множества всех самосопряженных элементов универсальной обертывающей алгебры фон Неймана 3 1". По линейности отображение V можно продолжить до йорданова -автоморфизма всей алгебры Ш". Мы до сих пор еще не использовали предположение о том, что отображение V -непрерывно. Если V обладает ге -непрерывностью на множестве < , то его линейное расширение на Я также ге -непрерывно. Для любого элемента (но не обязательно из 9Г ) и любой сети ф элементов из Ш, сходящейся к ф в ге -топологии, величина (ф v [У ]) = (V [ф ] Я) сходится к (v[фl Я), поскольку отображение V -непрерывно. Следовательно, (фц-, [Я] сходится к <ф v [/ ]) и v [У ] — г -не-прерывный линейный функционал, действующий из ЭГ в С. Отсюда следует [91, гл. 5, 3, п. 9], что принадлежит [c.202]

Результат 1. Всякий йорданов -автоморфтм а алгебры фон Неймана Ш взаимно-непрерывен в ультраслабой и ультрасильной топологии. Кроме того, сужение автоморфизма а на любое ограниченное подмножество алгебры 31 взаимно-непрерывно в слабой и сильной топологии. [c.203]

В этом можно убедиться непосредственно. Во-первых, перенесем (эта операция тривиальна) отображение а с С -алгебры на ее универсальное представление. и , которое точно. Возникающий при этом Йорданов -автоморфизм а взаимно непрерывен в слабой операторной топологии на (Э ) и, следователы о, может быть продолжен по непрерывности до замыкания множества (5Н) в слабой операторной топологии, т. е. до универсальной обертывающей алгебры фон Неймана С -алгебры Ш. [c.203]

Во-первых, на протяжении данного пункта мы исходили из предположения о том, что эволюцию во времени бесконечной системы можно рассматривать ак непрерывную группу автоморфизмов алгебры Я. Подобное допущение отнюдь не тривиально, поскольку эволюция во времени бесконечной системы определяется предельным переходом от конечной системы, для которой можно определить гамильтониан, и, таким образом, допускает прямую физическую интерпретацию. Если сказать несколько иначе, то проблема сводится к тому, чтобы вычислить термодинамический предел способом, не приводящим к противоречию с динамикой. Такой непротиворечивости удается легко достичь для довольно широкого класса нетривиальных квантовых решеточных систем (гл. 4, 2, п. I), где, как было показано, эволюция во времени оказывается именно тем автоморфизмом С -алгебры Я, который нам хотелось бы связать с бесконечными системами. Но вообще говоря это не так. Например, недавно было доказано [70, 446], что эволюцию во времени бесконечного свободного бозе-газа нельзя рассматривать как автоморфизм С -алгебры Я, но можно рассматривать как автоморфизм алгебры фон Неймана, порожденной представлением, которое ассоциировано с состоянием Гиббса (при температуре выше критической). Так же обстоит дело в модели БКШ [70] ) и в классе обобщенных моделей Вейсса для ферро- и антиферромагнетизма [104]. В последнем случае эволюция во времени, определенная для каждой фазы в отдельности, согласуется с эволюцией во времени, определенной для состояния Гиббса, образованного фазами. Во всех этих случаях удалось сформулировать соответствующие обобщения условия КМШ и добиться обобщения большей части результатов, изложенных в данном пункте, в частности теоремы 9 о коммутанте. [c.274]

Теорема 13. Пусть — произвольная алгебоа фон Неймана. Тогда существует разбиение единицы на пять операторов проектирования Elin), 1(00), ii(l), ii(oo) принадлежащих Ш Ш, таких, что сужение алгебры 91 на соответствующие подпространства является алгеброй Неймана типа 1 дискретная конечная), типа 1 дискретная, собственно бесконечная), типа IIj непрерывная, конечная), типа непрерывная, собственно бесконечная) и типа III чисто бесконечная). [c.171]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...