Алгебра фон Неймана центр

Лемма. Пусть Ш —алгебра фон Неймана. Тогда в центре 9I 9I алгебры 9I существует оператор проектирования F, такой, что [c.168]

Лемма. Пусть — алгебра фон Неймана. Тогда в ее центре существует оператор проектирования Ещ, такой, что, [c.169]

Лемма. Пусть У1 —алгебра фон Неймана. Тогда в ее центре [c.169]

Алгебра фон Неймана 31 называется фактором, если ее центр тривиален (т. е. 3 9 = Я/ ). Центру фактора принадлежат лишь операторы проектирования О и /. Следовательно, произвольный фактор с необходимостью принадлежит к одному типу [c.172]

Теорема 14 (теорема сравнения). Пусть 31 — алгебра фон Неймана, — ее центр, а Р и Q — два оператора проектирования из 31. Тогда в 3 существует оператор проектирования R, такой, что PR QR и Q I-R) P I-R). [c.173]

Результат 3. Пусть 3 93(5 ) (г = 1, 2)две алгебры фон Неймана. Предположим, что существует инволюция пространства Ж и такая, что = и 11111=1 для любого элемента 1 из центра Зi алгебры Ш1. Тогда всякий С -изоморфизм а алгебры Э , на алгебру Ш2 унитарен. [c.204]

Результат 4. Всякий С -автоморфизм а конечной или дискретной) алгебры фон Неймана 31, такой, что а[1] = 1 для всех 7 из центра 3 алгебры 31, унитарен или осуществляется некоторым унитарным элементом 7 из 3 ). [c.204]

Требование о том, что автоморфизм должен оставлять все элементы центра инвариантными, для некоторых дискретных алгебр фон Неймана может быть ослаблено. [c.205]

Рассмотрим случай, когда ф — состояние КМШ динамической системы Я, 6, а , такое, что пространство сепарабельно. Поскольку центр — абелева алгебра фон Неймана на сепарабельном гильбертовом пространстве, оно порождается единственным эрмитовым оператором 7ф. Чтобы не усложнять нашу первую попытку построить теорию, предположим, что оператор обладает дискретным спектром. Тог (1а мы можем написать, что [c.277]

Как показал дель Антонио, если помимо допущений теоремы предполагается, что 31 (Q) — фактор типа I (или вообще алгебра фон Неймана типа I с полностью атомарным центром), то сходимость ф (0)->ф(0) равномерна, т. е. при каждом е > О существует величина Пц, такая, что из неравенства п, т> По следует неравенство [c.360]

Центр алгебры фон Неймана 168 Центральная мера 278 Центральное разложение представления 279 [c.420]

Алгебра фон Неймана 9 называется алгеброй фон Неймана типа I (или дискретной), если она изоморфна алгебре фон Неймана ак с абелевым коммутантом. Поскольку коммутант Зй абелев, он конечен и, стало быть, полуконечен. Такими же свойствами обладает и коммутант коммутанта Ш" = Зй. Следовательно, алгебра фон Неймана типа I полуконечна. Алгебра фон Неймана называется непрерывной, если в ее центре не существует оператора проектирования Р, такого, что Р фО н алгебра фон Неймана З р дискретна. [c.169]

Результат 7. Пусть 31 — алгебра фон Неймана с собственно бесконечным коммутантом. Всякий С -автоморфизм а алгебры % такой, что a[Z] ==Z для всех элементов Z из центра 3 алгебры 31, унитарен. [c.205]

Примечание. Из результата 7 вытекает ряд интересных следствий, на которых мы сейчас кратко остановимся. Прежде всего напомним, что если Ш — алгебра фон Неймана типа III, то и ее коммутант (стр. 171) также является алгеброй фон Неймана типа III. Отсюда мы заключаем, что множество 9 " чисто и, следовательно, собственно бесконечно. Таким образом, из результата 7 следует, что всякий С -автоморфизм алгебры фон Неймана типа III унитарен, если он оставляет инвариантными все элементы центра алгебры 3- Последнее условие можно отбросить, если считать, что алгебра фон Неймана типа III действует в сепарабельном гильбертовом пространстве [77, гл. 3, 8, п. 6, следствие 7 79, приложение А, результат 51]. В любом случае условие относительно действия автоморфизма на центр алгебры становится излишним, если алгебра является фактором. Таким образом, всякий С -автоморфизм фактора типа III унитарен. В случае факторов типа ситуация не столь проста. Предположим, что Ш есть фактор типа П . Потребуем дополнительно, чтобы в Ж существовало конечное множество М, разделяющее для 3i. Тогда [77, гл. 1, 1, п. 4, предложение 5 и следствие] М —конечное циклическое множество для iR. Поскольку Ш есть фактор, его коммутант Ш также есть фактор, который либо конечен, либо собственно бесконечен. Но если бы коммутант Ш был бесконечен, то фактор 97 также был бы бесконечен, поскольку для 9 существует конечное циклическое множество (стр. 171), а это противоречило бы предположению. Итак, наше дополнительное условие достаточно для того, чтобы коммутант 91 был собственно бесконечным, и мы можем заключить, что всякий С -автоморфизм фактора типа П , допускающего конечное разделяющее множество, унитарен. Предположение о том, что 97 есть фактор, как видно из леммы иа стр. 168, не является существенным. Действительно, эта лемма утверждает, что в центре алгебры фон Неймана Шгл Ш существует оператор проектирования Е, такой, что коммутант We конечен, а коммутант 9i/ собственно бесконечен. Кроме того, мы видим, что множество ЕМ циклично в ЕЖ относительно W и, следовательно, относительно Ш е. Таким образом, алгебра фон Неймана Ше=Ше= 31 е) конечна. Поскольку элемент Е принад-лел<ит центру алгебры 9i, мы, пользуясь той же леммой, заключаем, что где (/ —f) — наибольший оператор проектирования из центра алгебры фон Неймана 97, такой, что алгебра фон Неймана 97(/ Р) собственно бесконечна. Но так как алгебра 9i собственно бесконечна по предположению, мы имеем F = I я, следовательно, = 0, т. е. коммутант 97 собственно бесконечен. Итак, мы видим, что требование в результате 7, а именно требование собственно-бесконечности коммутанта 91, можно заменить требованием собственно-бесконечности самой алгебры фон [c.206]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...