Типы алгебр фон Неймана

Известно очень много разных видов, в которых встречаются С -алгебры и их представления как алгебр операторов, действующих в гильбертовом пространстве, и в частности алгебр фон Неймана. Замечательная классификация алгебр фон Неймана, в которой последние подразделяются на непересекающиеся типы, была разработана на раннем этапе развития теории Мюрреем и фон Нейманом [282] для частного случая факторов . Классификация Мюррея и фон Неймана полна в том смысле, что любой фактор с необходимостью приводит лишь к одному типу алгебр. Эта классификация основана на свойствах области значений функции размерности , которая представляет собой обобщение обычного понятия следа в случае операторов проектирования рассматриваемой алгебры фон Неймана ) На основе обобщенного понятия следа, которое мы введем в дальнейшем, была предпринята попытка расширить классификацию факторов до классификации общих алгебр фон Неймана. Типы полученных при этом общих алгебр фон Неймана в случае факторов совпадают с типами Мюррея и фон Неймана. Новые типы алгебр также не пересекаются. Однако в отличие от случая факторов новая классификация не является исчерпывающей, т. е. общая алгебра фон Неймана не обязательно принадлежит одному из типов. Тем не менее такая классификация представляет определенный интерес, поскольку позволяет всегда осуществлять каноническое разложение произволь- [c.165]

Алгебра фон Неймана 31 называется фактором, если ее центр тривиален (т. е. 3 9 = Я/ ). Центру фактора принадлежат лишь операторы проектирования О и /. Следовательно, произвольный фактор с необходимостью принадлежит к одному типу [c.172]

Оператор проектирования Р из алгебры фон Неймана называется минимальным (другие названия точка или атом), если Р ФО п если из того, что Q е 9 , причем Q<3 S РЖ, следует , что оператор проектирования Q совпадает либо с О, либо с Р. Из изложенной выше классификации факторов, а также из общих свойств относительной размерности ясно, что фактор допускает минимальные операторы проектирования в том и только в том случае, если он дискретен. Кстати сказать, это утверждение остается в силе [77, гл. 1, 8, п. 3, следствие 1] для общих алгебр фон Неймана. Данное обстоятельство свидетельствует о серьезном недостатке тех подходов, использующих исчисление высказываний, которые основаны на предположении о существовании минимальных операторов проектирования. Для физика может представить интерес тот факт, что еще фон Нейман высказывал (хотя, насколько можно судить, и без достаточных оснований) предположение о том, что в физике могут встретиться факторы не только типа I, но и других типов. Фон Нейман считал особенно вероятным появление факторов типа П,, указывая на то, что на этих факторах (так же, как и на факторах типа 1 ) существует относительная размерность, нормированная к 1. Следовательно, на множестве всех операторов проектирования факторов типа П можно ввести определение конечной равномерной априорной вероятности. Как мы увидим позднее, другие факторы действительно встречаются в различных конкретных физических моделях. [c.176]

Как показал дель Антонио, если помимо допущений теоремы предполагается, что 31 (Q) — фактор типа I (или вообще алгебра фон Неймана типа I с полностью атомарным центром), то сходимость ф (0)->ф(0) равномерна, т. е. при каждом е > О существует величина Пц, такая, что из неравенства п, т> По следует неравенство [c.360]

Поясним сказанное на нескольких примерах. Тривиальными примерами алгебр фон Неймана служат множества Я/ и Ъ Ж). Заметим, что оба эти множества являются в то же время С -алгебрами. Естественно возникает вопрос, всякая ли алгебра фон Неймана является некоторой С -алгеброй, т. е. С -под-алгеброй алгебры 33 (Ж) гильбертова пространства, на котором определена алгебра фон Неймана. Мы увидим, что ответ на этот вопрос положителен, а поэтому алгебры фон Неймана можно рассматривать как частные типы С -алгебр и переносить на них все теоремы, ранее доказанные для С -алгебр. Обратное утверждение неверно. Рассмотрим, например, С -подалгебру 21 алгебры 33(Ж), состоящую из всех компактных операторов. Ее бикоммутант 21" совпадает с 33 (Ж), вследствие чего 21 содержится как собственное подмножество в 21", если пространство Ж бесконечномерно. В этой связи мы хотели бы отметить [75, 350, 440], что объект 51 , двойственный двойственному объекту алгебры 21, изоморфен как банахово пространство множеству 33(Ж). Это обстоятельство не случайно и в действительности служит лищь иллюстрацией к весьма общей теореме, которая, как мы увидим в дальнейшем, позволяет нам каноническим образом сопоставлять всякой абстрактной С -алгебре некоторую алгебру фон Неймана, [c.145]

Итак, выше нам встретились три типа эквивалентности представлений С -алгебры, а именно унитарная (т. е. пространственная) эквивалентность, квазиэквивалентность и физическая эквивалентность. Они перечислены в таком порядке, что каждая из них следует из предыдущей. В случае неприводимых представлений унитарная эквивалентность совпадает с квазиэквивалентностью, в случае алгебр фон Неймана совпадают понятия квазиэквивалентности и физической эквивалентности. Мы указали физические критерии каждого из перечисленных типов эквивалентности, относящиеся к состояниям, ассоциированным с рассматриваемыми представлениями. [c.164]

Алгебра фон Неймана 9 называется алгеброй фон Неймана типа I (или дискретной), если она изоморфна алгебре фон Неймана ак с абелевым коммутантом. Поскольку коммутант Зй абелев, он конечен и, стало быть, полуконечен. Такими же свойствами обладает и коммутант коммутанта Ш" = Зй. Следовательно, алгебра фон Неймана типа I полуконечна. Алгебра фон Неймана называется непрерывной, если в ее центре не существует оператора проектирования Р, такого, что Р фО н алгебра фон Неймана З р дискретна. [c.169]

На этом основании можно дать следующие определения. Мы скажем, что алгебра фон Неймана относится к runt/ II, если она полуконечна и непрерывна, и к типу III, если она чисто бесконечна (и, следовательно, непрерывна). Из приведенной выше структуры видно, что алгебра фон Неймана может принадлежать самое большее одному из трех типов (I, II и III) и что произвольную алгебру фон Неймана можно каноническим образом разложить в сумму трех алгебр фон Неймана [c.170]

Прежде всего мы обнаружим, что алгебры типа I допускают дальнейшее разложение на два взаимно непересекающихся класса класс конечных алгебр (обозначаемых через 1 , где < оо) и класс собственно бесконечных алгебр (обозначаемых через 1 ). Точно так же алгебры фон Неймана типа II могут быть разложены на два непересекающихся класса класс конечных алгебр и класс собственно бесконечных алгебр. Первый из этих классов называется типом IIj, а второй — гагаож П . Соответственно этому оператор проектирования Ец разлагается в сумму двух ортогональных операторов проектирования 5ц (1) и Ец (оо) — наибольших операторов проектирования Е в W, обладающих тем свойством, что алгебра фон Неймана в первом случае непрерывна и конечна, а во втором непрерывна и собственно бесконечна. На этом мы закончим классификацию общих алгебр фон Неймана. Все сказанное можно обобщить в следующей теореме [c.171]

BE = ЕВ — В.Ъ обоих случаях алгебра 31 наследует от алгебры 31 следующие свойства а) полуконечна б) чисто бесконечна (т. е. алгебра фон Неймана типа III) в) дискретна (т. е. алгебра фон Неймана типа I) г) 31 непрерывна д) 31 — алгебра фон Неймана типа II е) 3 g конечна и ж) 31 — алгебра фон Неймана типа П]. Доказательство см. в работе Диксмье [77] (доказательства утверждений а и е — гл. 1, 6, п. 8, предложение 11 утверждения б гл. 1, 6, п. 8, следствие 4 утверждений в и г — гл. 1, 8, п. 3, предложение 4). Утверждение д следует из утверждений а и г . Утверждение ж следует из утверждений д и е . Теми же свойствами (кроме двух последних свойств, не имеющих места в общем случае) обладает и коммутант 31. Доказательство см. в работе Диксмье [77] (в частности, утверждение а доказано в гл. 1, 6, п. 8, следствие 1 утверждение 6 — в гл. I, 6, п. 8, следствие 3 утверждение в — в гл. 1, 8, Н,. 2, теорема 1 утверждение г — в гл. 1, 8, п. 2, следствие 1). Утверждение д следует из утверждений а и г . Заметим, однако, что утверждение е и, следовательно, утверждение ж остаются в силе для коммутанта 31, если существует конечный набор Wi,..., W элементов из Ж, циклических относительно 31 [77, гл. 2, 2, упражнение 2]. [c.172]

Рассматривая представление л Ш- Ж) С -алгебры 31, мы определяем тип представления следующим образом. Мы говорим, что я есть представление типа I (II или III), если алгебра фон Неймана п(91)" [или, что эквивалентно, л (Я) ] принадлежит типу I (II или III). На основании данного определения и определения квазиэквивалентности нетрудно заключить, что тип представления инвариантен относительно квазиэквивалент-НОСТИ, Из определения же дискретной алгебры фон Неймана [c.176]

Примечание. Из результата 7 вытекает ряд интересных следствий, на которых мы сейчас кратко остановимся. Прежде всего напомним, что если Ш — алгебра фон Неймана типа III, то и ее коммутант (стр. 171) также является алгеброй фон Неймана типа III. Отсюда мы заключаем, что множество 9 " чисто и, следовательно, собственно бесконечно. Таким образом, из результата 7 следует, что всякий С -автоморфизм алгебры фон Неймана типа III унитарен, если он оставляет инвариантными все элементы центра алгебры 3- Последнее условие можно отбросить, если считать, что алгебра фон Неймана типа III действует в сепарабельном гильбертовом пространстве [77, гл. 3, 8, п. 6, следствие 7 79, приложение А, результат 51]. В любом случае условие относительно действия автоморфизма на центр алгебры становится излишним, если алгебра является фактором. Таким образом, всякий С -автоморфизм фактора типа III унитарен. В случае факторов типа ситуация не столь проста. Предположим, что Ш есть фактор типа П . Потребуем дополнительно, чтобы в Ж существовало конечное множество М, разделяющее для 3i. Тогда [77, гл. 1, 1, п. 4, предложение 5 и следствие] М —конечное циклическое множество для iR. Поскольку Ш есть фактор, его коммутант Ш также есть фактор, который либо конечен, либо собственно бесконечен. Но если бы коммутант Ш был бесконечен, то фактор 97 также был бы бесконечен, поскольку для 9 существует конечное циклическое множество (стр. 171), а это противоречило бы предположению. Итак, наше дополнительное условие достаточно для того, чтобы коммутант 91 был собственно бесконечным, и мы можем заключить, что всякий С -автоморфизм фактора типа П , допускающего конечное разделяющее множество, унитарен. Предположение о том, что 97 есть фактор, как видно из леммы иа стр. 168, не является существенным. Действительно, эта лемма утверждает, что в центре алгебры фон Неймана Шгл Ш существует оператор проектирования Е, такой, что коммутант We конечен, а коммутант 9i/ собственно бесконечен. Кроме того, мы видим, что множество ЕМ циклично в ЕЖ относительно W и, следовательно, относительно Ш е. Таким образом, алгебра фон Неймана Ше=Ше= 31 е) конечна. Поскольку элемент Е принад-лел<ит центру алгебры 9i, мы, пользуясь той же леммой, заключаем, что где (/ —f) — наибольший оператор проектирования из центра алгебры фон Неймана 97, такой, что алгебра фон Неймана 97(/ Р) собственно бесконечна. Но так как алгебра 9i собственно бесконечна по предположению, мы имеем F = I я, следовательно, = 0, т. е. коммутант 97 собственно бесконечен. Итак, мы видим, что требование в результате 7, а именно требование собственно-бесконечности коммутанта 91, можно заменить требованием собственно-бесконечности самой алгебры фон [c.206]

Теорема 13. Пусть — произвольная алгебоа фон Неймана. Тогда существует разбиение единицы на пять операторов проектирования Elin), 1(00), ii(l), ii(oo) принадлежащих Ш Ш, таких, что сужение алгебры 91 на соответствующие подпространства является алгеброй Неймана типа 1 дискретная конечная), типа 1 дискретная, собственно бесконечная), типа IIj непрерывная, конечная), типа непрерывная, собственно бесконечная) и типа III чисто бесконечная). [c.171]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...