Устойчивость условия высшего порядка

Исследование устойчивости. Метод гармоник (метод Фурье). Дать строгое обоснование корректности сеточных краевых задач удается не часто. Исследования такого рода составляют скорее исключение, чем правило. Объясняется это рядом причин. В условиях практической расчетной работы задачу приходится упрощать. Если исходная сеточная задача нелинейная, то прежде всего производят линеаризацию, т. е. рассматривают малые возмущения решения и, отбрасывая малые величины высших порядков, получают линейную краевую задачу для малых возмущений. После линеаризации получают линейную краевую задачу (сеточную), обычно с переменными коэффициентами. На этом уровне иногда удается исследовать ее корректность, но, как правило, переходят к уравнениям с постоянными коэффициентами, используя при этом принцип замораживания коэффициентов. Согласно этому принципу, коэффициенты сеточных уравнений заменяют значениями, которые они принимают в произвольной, но фиксированной точке Ро, принадлежащей расчетной области. При этом, вообще говоря, требуется рассматривать всю совокупность уравнений, возникающую при произвольном выборе точки Ро- [c.85]

В данном разделе были рассмотрены эффекты, связанные с кубическим членом нелинейной поляризации, записанным в виде (2.3.6). При очень больших уровнях мощности нелинейный отклик начинает насыщаться, поэтому необходимо включать члены высших порядков. Каплан [53] обобщил нелинейное уравнение Шредингера (5.2.5), заменив в нелинейном члене на произвольную функцию/( J7 ). Оказывается, что при определенных условиях поведение солитона становится бистабильным. При заданном значении энергии импульса бистабильные солитоны могут распространяться в двух состояниях при этом можно осуществлять переключение из одного состояния в другое [54]. Вопросы устойчивости бистабильных состояний привлекли большое внимание [55]. В волоконных световодах бистабильное поведение пока не наблюдали, поскольку для этого необходимы чрезвычайно высокие значения мощности. Для этой цели более подходящими могут быть среды с легко насыщающейся нелинейностью. В заключение отметим, что солитоны могут существовать в волноводах с пространственно-периодичной величиной показателя преломления, так как волна, распространяющаяся в такой среде, также описывается нелинейным уравнением Шредингера [56]. [c.122]

Проведем через центр кольца три взаимно перпендикулярных оси координат, причем пусть плоскость ху совпадает с плоскостью кольца, а ось г пусть совпадает с осью симметрии кольца. Мы можем характеризовать потерю устойчивости плоской формы равновесия бесконечно малыми перемещениями С параллельными оси г, которые и нарушают плоскую круглую форму нейтральной осевой линии кольца. Происходящие при этом перемещения точек нейтральной осевой линии параллельно плоскости кольца будут бесконечно малыми величинами высших порядков, и, следовательно, ими в сравнении с перемещениями С можно пренебречь. Перемещение С представляет пока еще неизвестную функцию от центрального угла а. Мы применим общие условия равновесия к форме кольца, характеризуемой перемещениями [c.378]

Значки А употребляются здесь для точного обозначения вариаций, ка1 конечных разностей. Полагая в (1.2) равной нулю последовательно одну из разностей, можно получить частные условия устойчивости равновесия, которые устанавливают определенное соответствие знаков изменения сопряженных величин. Условие (1.2) удобно представить в другой форме. Примем за независимые переменные энтропию и объем, обозначим их виртуальные изменения как б5 и Ьи. Выразим вариации температуры и давления через 6з, 6у, пренебрегая бесконечно малыми высших порядков. Подстановка в (1.2) дает положительно определенную квадратичную форму [c.15]

Условия устойчивости высшего порядка. Для простоты рассмотрим однородную систему, в которой, кроме того, одна интенсивная переменная остается постоянной. Соответствующие [c.228]

Далее можно доказать, что коэффициенты устойчивости, соответствующие р = п — 2,р = гг — 4,..., последовательно становятся равными нулю, когда ряд продолжается в направлении возрастающих эксцентриситета и углового момента. Но условие, при котором все такие неустойчивости данного порядка п достигаются раньше появления первого из коэффициентов, образованного из гармонических функций высших порядков гг-Ь1, гг + 2,. .., не выполняется. [c.163]

Очевидно, что это рассуждение не вполне строго, потому что в правых частях диференциальных уравнений были отброшены члены высших порядков. Одни линейные члены не дают достаточных условий для существования периодических орбит, и, следовательно, когда рассмотрение ограничено таким образом, то оно отвечает лишь на вопрос, касающийся устойчивости решения. Но в настоящем случае периодические орбиты [c.272]

Следовательно, можно ожидать, что волны, распространяющиеся со скоростями с+ и с , также играют некоторую роль. На данной стадии пока еще рано углубляться в этот вопрос, но стоит сделать замечание, весьма существенное для интерпретации условия устойчивости. В дальнейшем при исследовании уравнений высшего порядка мы увидим, что скорости распространения, соответствующие производным высшего порядка, определяют самый быстрый и самый медленный сигналы. В данном случае для сколь угодно малого, но отличного от нуля времени реакции т самый быстрый сигнал распространяется со скоростью с+, а самый медленный — со скоростью с . Таким образом, ясно, что приближение [c.79]

Критическая частота по-прежнему определяется из (12). Из правила перемежаемости следует, что для обеспечения устойчивости корни уравнения низшей степени должны располагаться между корнями уравнения высшей степени. Поэтому условие устойчивости для системы четвертого порядка имеет вид [c.88]

Для общего алгоритма модификации уравнений высших приближений метода Чепмена - Энскога предлагается следующая формулировка. Обозначим отрезок ряда Чепмена - Энскога для переносных свойств через Е. Положим X = + 1Р- + где дается приближением Навье - Стокса, Е ) включает главные члены, - остальные члены высших приближений метода Чепмена - Энскога. Слагаемые не изменяют порядка системы уравнений сохранения, условий существования и устойчивости решений для данного класса течений. При учете Е + Е получаем уравнения сохранения первого приближения (усеченные уравнения), далее строится итерационная процедура, Е З) учитывается в неоднородных частях уравнений. В полученных выше модификациях сделана только одна итерация. В общем случае число итераций, как и выбор приближения для Е, определяется условиями задачи. [c.190]

Первое условие устанавливает пределы для крутизны к характеристики устройства, создающего ускоряющий момент, второе условие определяет нижнюю границу кинетического момента Я. Так как при выполнении условий (6.78) все корни характеристического уравнения будут иметь отрицательные вещественные части, то на основании первой теоремы Ляпунова об устойчивости по первому ггриближению однорельсовый вагон асимптотически устойчив независимо от членов высшего порядка V и 0. [c.182]

Анализ выясняет чувствительность системы, склонность её к колебаниям, предел устойчивости системы, получающееся отклонение скорости и т. д. Этот анализ отличается некоторой сложностью [27, 53]. При несколько упрощённом рассмотрении процессов и их линеаризации обычно получается семейство линейных диференциальных уравнений с постоянными коэфициентами 3, 4, 5 и высших порядков. Так как решение алгебраических (характеристических) уравнений выше 4-й степени невозможно, то при анализе обычно ограничиваются выяснением пределов условий устойчивости системы на базе критерия Гур-вица. При этом неизбежно приходится нтти на упрощения, пренебрегая иногда при наличии нескольких членов в отдельных равенствах членами, имеющими по сравнению с другими малую величину. [c.73]

Подчеркнем, что полученные условия устойчивости" являются условиями устойчивости как движения около центра масс, так и движения самого центра масс. Однако допустимые возмущения в движении центра масс, то есть возмущения, при которых движение еще не теряет устойчивости, весьма малы. Оценку допустимых возмущений движения около центра масс и движения самого центра масс можно провести по функции Ляпунова (4.4.7). В самом деле, L = Lo= onst, а так как Ь является суммой положительно определенных квадратичных форм, то каждая такая форма по величине меньше, чем L (причем членами выше второго порядка малости, входящими в , можно при оценке пренебречь). При оценке можно также ограничиться приближенным значением силовой функции и, чтобьг не привлекать в оценку членов высшего порядка малости. [c.167]

Таким образом, как и в задаче 7.6, условие устойчивости высшего порядка обеспечивает совпадение бинодали и спинодали в критической точке. [c.264]

Сформулированное в таком виде, это условие эквивалентно условию устойчивости для невращающихся систем из (32). Но здесь необходимо отметить для вращающихся систем уже не требуется, чтобы все коэффициенты устойчивости Ь, Ъ2,. ., Ьп были положительными. Если -Л , -Д2,. .., -XI являются (по предположению) вещественными и отрицательными, то учитывая член высшего порядка и постоянный член в уравнении (31), получаем [c.43]

Следуя Хёрту [1968], отбрасываем в уравнении (3.125) высшие производные и сохраняем первые и вторые производные по каждому независимому переменному (х и ). что дает полезное дифференциальное приближение. Оно имеет смысл по двум причинам. Во-первых, производные высших порядков обычно меньше. Во-вторых, а posteriori известно, что условие устойчивости, полученное в рехультате этого анализа, будет сильнее ограничения, накладываемого на шаг по времени при наличии только диффузионного члена, лишь для течений с малой вязкостью, т. е. для а <С и, когда коэффициенты при высших производных в уравнении (3.125) становятся малыми. В результате получается дифференциальное приближение [c.76]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...