Энтропия Колмогорова

Существует предположение, что Э. В. как целого можно оценить, используя понятие энтропии Колмогорова — Синая (А-энтропии см. Энтропия, Эргодическая теория). К-энтропия явл. мерой хаотичности и неустойчивости, она связана со ср. скоростью разбегания близких в нач. момент траекторий. Причём ЛГ-энтропия тем больше, чем быстрее разбегаются траектории, т. е. чем сильнее неустойчивость траекторий и хаотичнее система. Однородное распределение вещества гравитационно неустойчиво развитие неустойчивости приводит к образованию отд. сгустков. При гравитац. сжатии сгустка гравитац. энергия вещества переходит в тепловую энергию движения частиц. Поэтому образование звёзд и галактик из равномерно распределённого вещества сопровождается ростом А -энтропии. Т. о., в рамках этого предположения для Вселенной справедлив закон роста энтропии, хотя она и не является термодинамич. системой и в ходе эволюции становится структурно более сложной. [c.619]

Естественно предположить, что порог синхронизации связан с такой количественной характеристикой стохастиче/ских движений, как метрическая энтропия Колмогорова. Такая гипотеза была проверена и подтверждена численным счетом для целого ряда конкретных систем [214, 215, 224]. Оказалось, что зависимость между порогом синхронизации Вп и энтропией К достаточно хорошо аппроксимируется формулой [c.238]

Новый этап в развитии наших представлений о хаосе и его зарождении возник в последние два десятилетия. Его происхождение было подготовлено рядом работ, из которых следует выделить результаты Хопфа и Н. С. Крылова. Взрыв произошел после работ Колмогорова, связанных с условиями устойчивости динамических систем (так называемая теория Колмогорова — Арнольда — Мозера), с одной стороны, и с введением динамической энтропии (так называемая -энтропия, пли энтропия Колмогорова) для сильно неустойчивых систем, с другой стороны. [c.5]

Огрубление функции распределения. Динамическая энтропия Колмогорова. Я-системы и энтропия. Изоморфизм Я-систем [c.31]

Хотя аналогия уравнения для фаз в (2.19) с универсальным преобразованием в гл. 4 очевидна, тем не менее одно обстоятельство является принципиально новым растяжение фазы происходит во многих направлениях к, а именно в тех, для которых Kkk > 1 Это приводит к важным физическим следствиям. Остановимся сначала на энтропии Колмогорова для такого рода спстемы. [c.133]

Отсюда в соответствии с определением (1.6.11) находим динамическую энтропию Колмогорова [c.133]

Пусть динамическая система обладает свойством локальной неустойчивости с инкрементом v(/ , q), где аргументы обозначают координату точки в фазовом пространстве. Введем два масштаба в фазовом пространстве 1) область ДГ, характеризующую элемент фазового объема, по которому производится огрубление различных характеристик системы 2) область Г, определяющую характерный фазовый объем всей системы, или же область, на которой происходят медленные ( гидродинамические ) изменения характеристик системы. Тогда энтропия Колмогорова h может быть определена следующим образом [c.218]

Формула (5.12) имеет простую физическую интерпретацию. С ростом К (т. е. с ростом энтропии Колмогорова К) показатель степени в (5.12) уменьшается и расталкивание уровней становится слабее. При К- -оо (fe- oo) вероятность Р(Е АЕ) перестает зависеть от АЕ и расталкивание уровней исчезает. Это связано с тем, что чем больше К, тем быстрее происходит стохастизация траекторий, т. е. тем сильнее локальная неустойчивость и корреляция между собственными значениями ослабевает. В пределе, когда время стохастизации траекторий стремится к нулю (Я -> о°), корреляция уровней исчезает. Такая система становится очень рыхлой . В ней разрушены какие-либо свойства симметрии, и именно с этим связано исчезновение корреляций любого типа. [c.229]

Хаотическое поведение свойственно большей части динамических систем как консервативных, с сохранением энергии, так и диссипативных. Для гамильтоновых систем, у которых фазовый объем сохраняется, движение носит характер перемешивания в фазовом пространстве начальная "капля" фазового пространства, размер которой задан неопределенностью начальных данных, сложным образом деформируется в процессе движения. "Капля" испускает из себя "отростки", которые затем вытягиваются, деформируются и постепенно "прорастают" во все фазовое пространство, сохраняя свой объем, так что все это становится похожим на комок ваты. Близкие траектории при таком движении экспоненциально быстро расходятся друг от друга, средний темп их разбегания характеризуется энтропией Колмогорова-Синая. В процессе перемешивания траектории могут сколь угодно близко подходить к любой заданной точке в пространстве. Такие системы называются эргодическими — средние значения некоторой функции от координат фазового пространства по времени и по пространству совпадают в них между собой. [c.340]

Показатели Ляпунова играют важную роль в теории гамильтоновых и диссипативных динамических систем. Они дают вычислимую-количественную меру степени стохастичности. Помимо этого, существует тесная связь между показателями Ляпунова и другими характеристиками случайности, такими, как энтропия Колмогорова (п. 5.2в) или фрактальная размерность (п. 7.1в). [c.294]

К-системы. К-системы называются по имени Колмогорова, который ввел это понятие в работе [230 ] ). Эти системы имеют положительную КС-энтропию (энтропию Колмогорова). КС-энтропия (по имени Крылова [241], Колмогорова [230] и Синая [376, 378 ]) определялась первоначально [230 ] посредством построения специального разбиения фазового пространства. В момент времени t = О разделим пространство на множество Л,- (0)) малых ячеек конечной меры и рассмотрим их эволюцию обратно по времени на единичном временном интервале ). В результате получим новое множество Ai (—l)j. Каждый элемент пересечения этих двух множеств В (— 1) = [А (0) П Aj (— 1)) имеет, как правило, меньшую меру, чем элемент Ai (0). Продолжая этот процесс, построим элементы множества [c.300]

Величину Н называют метрической энтропией или энтропией Колмогорова-Синая. [c.463]

Видно, что в вашем случае корреляции со временем спадают экспоненциально. Показатель экспоненты, т. е. показатель Ляпунова, характеризующий скорость спадания корреляций (одновременно и скорость разбегания траекторий), — это энтропия Колмогорова-Синая. В данном случае энтропия h = 1п2. [c.469]

В специальных расчетах и экспериментах [27] по исследованию процесса установления колебаний в ЛОВ была зафиксирована четкая связь между возникновением хаоса и появлением неустойчивости движения системы по отношению к возмущению начальных условий. Как указано в гл. 22, количественным выражением этой неустойчивости является существование положительной энтропии Колмогорова (у аттрактора должен быть хотя бы один положительный ляпуновский показатель). В [27] приведены согласующиеся между собой оценки энтропии Колмогорова из расчетов и эксперимента показано, что степень неустойчивости движения на аттракторе возрастает с увеличением параметра. [c.505]

Энтропия Колмогорова-Синая 469 Эргодичность 461 Эффект Доплера 207, 215 [c.560]

Энтропия Л(Т) является, очевидно, метрическим инвариантом если Ti и Гг метрически изоморфны, то h(Ti) =h(T2). Иногда h(T) называется также метрической энтропией, энтропией Колмогорова, несколько реже энтропией Колмогорова— Синая. [c.48]

Энтропия Колмогорова и мера странного аттрактора [c.275]

Понятие Э. используется также в классич. механике ка характеристика хаоса динамического в системах с неустойчивостью движения—экспоненциальной расходимостью близких в нач. момент траекторий. Количественной мерой неустойчивости таких систем служит энтропия Крылова— Колмогорова — Синая, или АГ-энтропия. Для широкого класса систем АГ-энтропия выражается через положительные показатели Ляпунова по формуле [c.618]

В. И. Арнольда, Ю. Мозера, Я. Г. Синая и др. Именно в рамках этого круга идей возникли понятия полного перемешивания, теория Колмогорова — Арнольда — Мозера (KAM) о наличии интегральных торов у гамильтоновых динамических систем, понятия энтропии динамической системы и символическое описание ее движений, топологической марковской цепи, открывающие пути к статистическому описанию детерминированных динамических систем. [c.82]

Определение энтропии принадлежит Колмогорову и Синаю (см. [c.56]

Этот параграф будет начат с некоторого возврата к классическим Я-системам. Нам понадобятся некоторые их свойства, на которых мы до сих пор не останавливались, либо обсуждали их слишком кратко. В 1.6 уже отмечалось свойство изоморфизма Я-систем с одинаковыми значениями энтропии А, введенное Колмогоровым. Обсудим его детальнее. [c.218]

Выход в свет перевода нашей книги на русский язык доставляет нам огромное удовлетворение. Современная теория динамических систем в том виде, как она представлена в этой книге, имеет несколько основных источников, и среди них вклад русской школы, в особенности в период с начала пятидесятых до середины семидесятых годов, занимает выдающееся место. В начале этого периода А. Н. Колмогоров выдвинул программу изучения классических динамических систем с использованием методов современного анализа и теории вероятностей. Эта программа, а также первые результаты ее реализации коротко, но весьма убедительно изложены в пленарном докладе Колмогорова на Международном Математическом Конгрессе 1954 года в Амстердаме. Вклад самого Колмогорова в развитие теории динамических систем трудно переоценить теория возмущений вполне интегрируемых гамильтоновых систем и введение энтропии являются, пожалуй, самыми важными достижениями, относящимися соответственно к устойчивому и хаотическому поведению в динамике. [c.10]

Аналогичными рассуждениями Р. Адлер и Б. Вейс установили ([57]), что любой эргодический автоморфизм двумерного тора, задаваемый целочисленной унимодулярной матрицей, изоморфен, с точки зрения эргодической теории, некоторой стационарной марковской цепи. Этот изоморфизм позволил им провести классификацию всех таких автоморфизмов. Единственным инвариантом нри этом оказалась энтропия автоморфизма в смысле А. Н. Колмогорова, равная логарифму модуля того из собственных чисел матрицы автоморфизма, у которого этот модуль больше 1(для эргодического автоморфизма тора одно из собственных чисел обязательно таково). [c.66]

Выражение (6.11) и определяет энтропию Колмогорова h. Порядок выполнения пределов в формуле (6.11) существен. Перечислим основные свойства A-энтропип. [c.34]

Гамильтониан взаимодействующих фононов. Раснадные спектры. Построение дискретного отображения. Условие устойчивости и условие стохастичности. Роль числа степеней свободы. Энтропия Колмогорова в многомерной системе [c.127]

В 1.6 энтропия Колмогорова была введена из простых качественных соображений об олюции в неустойчивом случае огрубленного фазового объема ДГ (см. (1.6.9)) [c.133]

Теория показателей Ляпунова [262] использовалась для анализа стохастического движения Оселедецем [323]. Связь показателей Ляпунова с энтропией Колмогорова рассматривалась Бенет-тином и др. [19] и была установлена Песиным [334]. Метод вычисления показателей Ляпунова развит Бенеттином и др. [20] и описан в 5.3. Здесь же мы обсудим их свойства, следуя в основном [c.294]

Это направление Э.т. возникло в кон. 50-х — нач. 60-х гг. после того, как А. Н. Колмогоровым было введено понятие энтропии ДС, близкое к теоретико-информац. энтропии К. Э. Шеннона (С. Е. Shannon) (см. Теория информации), Пусть измеримые множества А i, образуют разбиение а вероятностного пространства (X, ц). Энтропией этого разбиения наз. число [c.630]

Регулярное движение (термоавтоколебания), которое возникает в потоке энтропии,— это простейший пример самоорганизации. Много других примеров можно найти в упоминавшейся книге М. В. Волькенштейна Энтропия и информация (в частности, конвективные течения в неоднородно нагретой жидкости). В самой общей постановке разнообразные задачи о возникновении регулярных структур из хаотического движения в настоящее время активно изучаются, по данной проблеме проводятся международные конференции последняя из них называлась Хаос-87 . Обзор достижений этой области математики, в которой ведущую роль играют труды советских ученых А. Н. Колмогорова и В. И. Арнольда, опубликовал Д. Кампбелл . [c.60]

Работа Колмогорова об энтропии положила начало строгому анализу динамических систем в предельном случае, который является обратным условием теоремы KAM, т. е. в случае максимального разрушения инвариантных торов. Развитие этого анализа нашло отражение в работах Аносова, Рохлина п Синая [47 — 51] (см. также обзоры [37 — 39, 52, 53]). Связь A-энтро-пии с различными физическими понятиями и, в том числе, с обычной энтропией рассматривалась Чириковым [24]. [c.33]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...