Энтропия Колмогорова-Синая

Существует предположение, что Э. В. как целого можно оценить, используя понятие энтропии Колмогорова — Синая (А-энтропии см. Энтропия, Эргодическая теория). К-энтропия явл. мерой хаотичности и неустойчивости, она связана со ср. скоростью разбегания близких в нач. момент траекторий. Причём ЛГ-энтропия тем больше, чем быстрее разбегаются траектории, т. е. чем сильнее неустойчивость траекторий и хаотичнее система. Однородное распределение вещества гравитационно неустойчиво развитие неустойчивости приводит к образованию отд. сгустков. При гравитац. сжатии сгустка гравитац. энергия вещества переходит в тепловую энергию движения частиц. Поэтому образование звёзд и галактик из равномерно распределённого вещества сопровождается ростом А -энтропии. Т. о., в рамках этого предположения для Вселенной справедлив закон роста энтропии, хотя она и не является термодинамич. системой и в ходе эволюции становится структурно более сложной. [c.619]

Хаотическое поведение свойственно большей части динамических систем как консервативных, с сохранением энергии, так и диссипативных. Для гамильтоновых систем, у которых фазовый объем сохраняется, движение носит характер перемешивания в фазовом пространстве начальная "капля" фазового пространства, размер которой задан неопределенностью начальных данных, сложным образом деформируется в процессе движения. "Капля" испускает из себя "отростки", которые затем вытягиваются, деформируются и постепенно "прорастают" во все фазовое пространство, сохраняя свой объем, так что все это становится похожим на комок ваты. Близкие траектории при таком движении экспоненциально быстро расходятся друг от друга, средний темп их разбегания характеризуется энтропией Колмогорова-Синая. В процессе перемешивания траектории могут сколь угодно близко подходить к любой заданной точке в пространстве. Такие системы называются эргодическими — средние значения некоторой функции от координат фазового пространства по времени и по пространству совпадают в них между собой. [c.340]

Величину Н называют метрической энтропией или энтропией Колмогорова-Синая. [c.463]

Видно, что в вашем случае корреляции со временем спадают экспоненциально. Показатель экспоненты, т. е. показатель Ляпунова, характеризующий скорость спадания корреляций (одновременно и скорость разбегания траекторий), — это энтропия Колмогорова-Синая. В данном случае энтропия h = 1п2. [c.469]

Энтропия Колмогорова-Синая 469 Эргодичность 461 Эффект Доплера 207, 215 [c.560]

Энтропия Л(Т) является, очевидно, метрическим инвариантом если Ti и Гг метрически изоморфны, то h(Ti) =h(T2). Иногда h(T) называется также метрической энтропией, энтропией Колмогорова, несколько реже энтропией Колмогорова— Синая. [c.48]

Понятие Э. используется также в классич. механике ка характеристика хаоса динамического в системах с неустойчивостью движения—экспоненциальной расходимостью близких в нач. момент траекторий. Количественной мерой неустойчивости таких систем служит энтропия Крылова— Колмогорова — Синая, или АГ-энтропия. Для широкого класса систем АГ-энтропия выражается через положительные показатели Ляпунова по формуле [c.618]

К-системы. К-системы называются по имени Колмогорова, который ввел это понятие в работе [230 ] ). Эти системы имеют положительную КС-энтропию (энтропию Колмогорова). КС-энтропия (по имени Крылова [241], Колмогорова [230] и Синая [376, 378 ]) определялась первоначально [230 ] посредством построения специального разбиения фазового пространства. В момент времени t = О разделим пространство на множество Л,- (0)) малых ячеек конечной меры и рассмотрим их эволюцию обратно по времени на единичном временном интервале ). В результате получим новое множество Ai (—l)j. Каждый элемент пересечения этих двух множеств В (— 1) = [А (0) П Aj (— 1)) имеет, как правило, меньшую меру, чем элемент Ai (0). Продолжая этот процесс, построим элементы множества [c.300]

В. И. Арнольда, Ю. Мозера, Я. Г. Синая и др. Именно в рамках этого круга идей возникли понятия полного перемешивания, теория Колмогорова — Арнольда — Мозера (KAM) о наличии интегральных торов у гамильтоновых динамических систем, понятия энтропии динамической системы и символическое описание ее движений, топологической марковской цепи, открывающие пути к статистическому описанию детерминированных динамических систем. [c.82]

Определение энтропии принадлежит Колмогорову и Синаю (см. [c.56]

Работа Колмогорова об энтропии положила начало строгому анализу динамических систем в предельном случае, который является обратным условием теоремы KAM, т. е. в случае максимального разрушения инвариантных торов. Развитие этого анализа нашло отражение в работах Аносова, Рохлина п Синая [47 — 51] (см. также обзоры [37 — 39, 52, 53]). Связь A-энтро-пии с различными физическими понятиями и, в том числе, с обычной энтропией рассматривалась Чириковым [24]. [c.33]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...