Отображение дифференцируемое

Ниже мы будем говорить о диффеоморфизме пространств f / " / " при этом, вообще говоря, подразумевается диффеоморфизм некоторых областей, принадлежащих этим пространствам. Кроме того, будем предполагать, что отображение дифференцируемо столько раз, сколько необходимо. [c.311]

Тем самым (14) действительно определяет взаимно однозначное отображение, дифференцируемость которого обеспечивается достаточной гладкостью функции S. [c.318]

Так как отображение / дифференцируемо в нуле, то отношение /(А"х)/А"х имеет предел при п-+оо, который не зависит от х и будет обозначаться а. Из уравнения (2.1.5) следует, что [c.74]

Если отображение / дифференцируемо и единица не является собственным значением D f", то по предложению 8.4.6 iпd , а = 1. Вышеупомянутое условие — это трансверсальность периодической точки. Поскольку по теореме 7.2.4 типичная периодическая точка дифференцируемого отображения трансверсальна, следствие 8.6.13 отвечает на предыдущие вопросы для типичных отображений. [c.337]

Ясно, что в этом определении следует рассматривать только те точки (а- -/г), которые принадлежат множеству й поскольку й предполагается открытым, то множество допустимых векторов Л содержит некоторый шар с центром в нуле пространства X. Легко видеть, что если отображение / дифференцируемо в точке а е й, то оно непрерывно в этой точке и элемент а) 2 Х У) определен единственным образом. Этот элемент / (а) 2 Х У) называется производной Фреше (или просто производной) отображения / в точке а. В случае когда и X — точка общего положения на прямой К, для производной используется также обозначение [c.42]

Если пространство Y представляет собой произведение К = У] X 2 X . X Ут нормированных векторных пространств Уг, то можно построить отображение / Q с X У, задавая т отображений /, Q с X У/, являющихся компонентами /. При этом очевидно, что отображение / дифференцируемо в точке а е Q тогда и только тогда, когда каждое Д- дифференцируемо в точке а. В этом случае производную f (а) S X Y) можно отождествить с элементом (/[(а), ..., пространства [c.43]

Теорема 1.2-1 (цепное правило). Пусть X, У, Z —нормированные векторные пространства, О и V — открытые подмножества в X и У соответственно, f U с X V с У — отображение, дифференцируемое в точке а U, g Уст У- Z — отображение, дифференцируемое в точке f a). Тогда композиция отображений g of и с X- Z дифференцируема в точке а U и [c.45]

Диффеоморфизмы и фазовые потоки.Диффеоморфизмом области и на область W называется взаимно однозначное отображение, дифференцируемое вместе с обратным. Всюду в дальнейшем, если не оговорено противное, дифференцируемость означает наличие непрерывных производных всех порядков. [c.14]

Пример. Рассмотрим отображение (х, Л.) F(x, Л.), Л), где F—усеченная -версальная деформация параболической функции / (см. гл. 1). По п. 1.7 это отображение дифференцируемо -устойчиво. При близких значениях модуля функции / получаются ростки, -эквивалентные топологически, ио не гладко. [c.195]

Перейдем теперь к выяснению геометрического смысла аргумента и модуля производной функции комплексного переменного. Пусть W =- W (z) — функция аналитическая на области D комплексной плоскости г. Предположим, что w (z) Ф О на D и обозначим w (г) = Ле . Так как w (г) О на D, то в каждой точке Z D числа А, а однозначно определены (ноль не имеет аргумента). Пусть С — некоторая гладкая кривая на области D, имеющая уравнение z = z (t), а с / < р, где z (t) — дифференцируемая функция, dz/dt =/= О на (а, Р). Функция комплексного переменного W W (z) осуществляет отображение области D ее определения (лежащей в плоскости z) на область Д ее значений (лежащей в плоскости w). При этом отображении кривой г = z (t) будет соответствовать ш = а [г (01 = (О и так как суперпозиция непрерывных функций есть снова непрерывная функция, то непрерывная кривая С с= D, уравнение которой z = z (t) при отображении W W (z) перейдет в некоторую непрерывную кривую Г с= Д, [c.183]

Особенности быстрого движения в точках срыва систем с одной быстрой переменной. Особенности проектирования медленной поверхности на базу описываются общей теорией особенностей дифференцируемых отображений [25]. Если быстрая [c.171]

Л/ — ТУ построить набор ф-ций числовых переменных у = а (ж1,. ... х ), 1=1,.,., . Если при любом выборе карт в М и N эти ф-ции оказываются дифференцируемыми, то отображение а наз, дифференцируемым. Дифференцируемое отображение наз. диффеоморфизмом, если оно взаимно однозначно и обратное к нему также дифференцируемо. Важную роль играют диффеоморфизмы М. на себя, называемые также дифференцируемыми преобразованиями. В физ. приложениях возникают группы диффеоморфизмов (преобразований), сохраняю-пщх ту или иную дополнит, матем. структуру на М. [c.162]

Дифференцируемое преобразование а М М порождает некоторое преобразование а пространства всех дифференцируемых ф-ций на М. Ф-ции ф сопоставляется при этом новая ф-ция а ф, значения к-рой находят но ф-ле (а ф)(г) = ф(а (л )), В дальнейшем под отображениями всегда будут иметься в виду дифференцируемые отображения. [c.163]

Пусть X = ф(/) [а, Р] [а, 6] — дифференцируемое отображение. Тогда [c.97]

ЯКОБИАН. Пусть функции fi xu Х2) и f2(Xi, Х2) непрерывно дифференцируемы в области Z), т.е. имеют непрерывные частные производные по обеим переменным. Отображение (II.1) также называ ется дифференцируемым. Его [c.70]

Всякое дифференцируемое отображение является локально аффинным , т. е. в бесконечно малой области обладает теми же свойствами, что и аффинное отображение во всей плоскости. Рассмотрим в качестве частного случая такие отображения при которых бесконечно малые окружности снова преобразуются в бесконечно малые окружности, при сохранении направления обхода контура. [c.71]

Якобиан обратного отображения. Если якобиан непрерывно дифференцируемого отображения отличен от йу-ля, то [c.72]

Якобиан суперпозиции отображений. Если дифференцируемое отображение [c.72]

Всякое дифференцируемое отображение является локально аффинным, поэтому, в.бесконечно малой области обладает теми же свойствами, что и аффинное отображение во всей области. [c.74]

Якобиан обратного отображения. Для якобианов взаимно-обратных дифференцируемых отображений справедливо следующее соотношение [c.75]

Если дифференцируемое отображение [c.75]

Касательное пространство. Пусть М — дифференцируемое многообразие и Касательным вектором к М в точке р называется отображение V, обладающее следующими свойствами [c.51]

Пусть F — вещественное векторное пространство размерности т. Дифференцируемым векторным расслоением со слоем F называется тройка т]=( , JX, М), где М — многообразие размерности п, база расслоения Е—(п+ )-мерное многообразие, расслоенное пространство п — отображение Е- М, называемое проекцией Е на Л1, причем п р) гомеоморфно пространству F для всех р М. F=n p) называется слоем над точкой р. [c.52]

Дифференциальным уравнением второго порядка на М называется дифференцируемое отображение X ТМ- ТТМ. X является векторным полем на ТМ. Решением дифференциального уравнения второго порядка X на называется дифференцируемая кривая с /- М такая, что отображение с 1- ТМ является интегральной кривой поля X, Локальное выражение дифференциального уравнения второго порядка [c.53]

В противном случае будет существовать такая вариация локальных координат, которая не приводит к вариации положения, что вступает в противоречие с требованием непрерывной дифференцируемости обратного отображения. [c.109]

Определение 1.1. Отображение / II —> , 11 С называется дифференцируемым по Фреше в точке х°, если сугцествует линейный оператор А Л Л" такой, что [c.187]

Предложение 1.1 (теорема о дифференцировании сложного отображения). Пусть заданы отображения f —) R , д R , отображение f R дифференцируемо в точке х°, а отображение д — в точке у° = f(x). Тогда отображения S R —> задаваемое суперпозицией s(x) = g(f(x)) дифференцируемо в точке х° и при этом [c.188]

Пусть отображение / П —> Л, II С дифференцируемо по Фреше в каждой точке области 11. Тогда возникает отображение [c.190]

Определение 2.1. Отображение / —) Л называется дважды дифференцируемым по Фреше в точке х , если отображение [c.190]

Пример 2.1. Отображение, задаваемое квадратичной функци-ей(1.13), дважды дифференцируемо, при этом хх -о- С + С. [c.190]

Определение ЗЛ. Отображение V и —8, и С называется дифференцируемым по Фреше в точке х , если существует линейный оператор А 8 —) 8 такой, что [c.192]

Эти функции осуществляют отображение взаимно однозначно и непрерывно начального положения на конечное V. В дальнейшем предполагаем, что непрерывная дифференцируемость функций нужное количество раз всегда есть. [c.212]

Определение. Взаимно однозначное отображение областей С/с/ " и Ус/ ", i.U V называется диффеоморфизмом, если прямое и обратное отображения непрерывно дифференцируемы. [c.311]

Доказательство. Если АDf 0), тогда трансверсальность означает, что единица не является собственным значением А, т. е. отображение Id —А обратимо, откуда следует, что существует такое 5 > О, что ж — Аж > 5 ж[ для всех ж. С другой стороны, так как отображение / дифференцируемо в О, существует такое г > О, что х — /(ж) — (ж — Лж) = = I Аж —/(ж) < 1 ж на 5j. Следовательно, отображения и г)д не антиподальны ни в одной точке, значит, они гомотопны. [c.326]

Векторные поля. Пусть М — п-мерное дифференцируемое многообразие, ТМ — касательное расслоенное пространство. Отображение Х М- ТМ, сопоставляющее каждой точке р М касательный вектор v TpM, называется векторным полем на М. Если тс ТМ- М — проекция касательного расслоения, то для любого векторного поля тсоХ М- - М — тождественно. Так как касательные пространства ТрМ являются векторными пространствами, векторные поля можно складывать, ум- [c.52]

Начнем с аксиоматического определения скобки Пуассона, идея которого восходит, по-видимому, к Дираку [193]. Пусть М — четномерное многообразие. Множество всех бесконечно дифференцируемых функций f М R обозначим С М). Симплекти-ческой (канонической) структурой Е М называется билинейное отображение , С М) х С М) —> С М), удовлетворяющее следующим условиям [c.19]

Ряд Маклорена интеграла (1.17) начинается с невырожденной квадратичной формы. Конечно, уравнения Гамильтона могут допускать вырожденный интеграл. По-видимому, теорема 3 справедлива и в том случае, когда вместо непрерывно дифференцируемых интегралов вида (1.17) рассматриваются 2тг-периодические по t интегргшы, представимые в окрестности точки х = у = О сходящимися степенными рядами. Этот результат, вероятно, можно доказать методом работы [59]. Необходимо проверить, что изолированные периодические точки отображения за период возмущенной системы (1.18) составляют ключевое множество для класса функций, аналитических в окрестности начала координат. [c.318]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...